Curso de Fisica-Matematica USP-SP
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3.9 Seja A \u2208 Mat ( \ufffd , n) com r autovalores distintos \u3b11, . . . , \u3b1r \u2208 \ufffd , cada qual com
multiplicidade alge´brica a1, , . . . , ar, sendo 1 \u2264 r \u2264 n. Enta\u2dco M , o polino\u2c6mio m\u131´nimo de A, e´ da
forma
M(x) =
r\u220f
k=1
(x\u2212 \u3b1k)bk , (3.25)
\u2200x \u2208 \ufffd , onde 0 < bl \u2264 al para todo 1 \u2264 l \u2264 r. Em particular, se A \u2208 Mat ( \ufffd , n) tiver exatamente n
autovalores distintos, teremos que bl = al = 1 para todo 1 \u2264 l \u2264 n, e
M(x) = q(x) =
n\u220f
k=1
(x\u2212 \u3b1k) ,
\u2200x \u2208 \ufffd . 2
3.4 Matrizes Diagonaliza´veis e o Teorema Espectral
\u2022 Matrizes Diagonaliza´veis
Vamos agora apresentar uma noc¸a\u2dco intimamente ligada a` de matriz simples introduzida acima
(pa´gina 152), mas de importa\u2c6ncia maior.
Definic¸a\u2dco. Uma matriz A \u2208 Mat ( \ufffd , n) e´ dita ser uma matriz diagonaliza´vel se existir uma matriz
invert´\u131vel P \u2208 Mat ( \ufffd , n) tal que P\u22121AP e´ uma matriz diagonal, ou seja,
P\u22121AP = D = diag (d1, . . . , dn) =
\uf8eb\uf8ec\uf8edd1 · · · 0... . . . ...
0 · · · dn
\uf8f6\uf8f7\uf8f8 .
E´ fa´cil de se ver que os elementos da diagonal de D sa\u2dco os autovalores de A. De fato, se A e´
diagonaliza´vel por P , vale para seu polino\u2c6mio caracter´\u131stico
p(\u3bb) = det(\u3bb \ufffd \u2212 A) = det(P\u22121(\u3bb \ufffd \u2212 A)P ) = det(\u3bb \ufffd \u2212 P\u22121AP ) = det(\u3bb \ufffd \u2212D)
= det
\uf8eb\uf8ec\uf8ed\u3bb\u2212 d1 · · · 0... . . . ...
0 · · · \u3bb\u2212 dn
\uf8f6\uf8f7\uf8f8 = (\u3bb\u2212 d1) · · · (\u3bb\u2212 dn) ,
o que mostra que os di sa\u2dco as ra´\u131zes do polino\u2c6mio caracter´\u131stico de A e, portanto, seus autovalores.
E. 3.16 Exerc´\u131cio. Justifique todas as passagens acima. 6
JCABarata. Curso de F´\u131sica-Matema´tica Versa\u2dco de 29 de setembro de 2005. Cap´\u131tulo 3 163/1304
\u2022 Diagonalizac¸a\u2dco de Matrizes
O pro´ximo teorema e´ fundamental no estudo de matrizes diagonaliza´veis.
Teorema 3.3 Uma matriz A \u2208 Mat ( \ufffd , n) e´ diagonaliza´vel se e somente se possuir um conjunto de
n autovetores linearmente independentes, ou seja, se e somente se o sub-espac¸o gerado pela colec¸a\u2dco de
todos os autovetores de A possuir dimensa\u2dco n. 2
Prova. Vamos primeiro provar que se A \u2208 Mat ( \ufffd , n) possui um conjunto de n autovetores linearmente
independentes enta\u2dco A e´ diagonaliza´vel. Para tal vamos construir a matriz P que diagonaliza A.
Seja {v1, . . . , vn} um conjunto de n autovetores linearmente independentes de A, cujos autovalores
sa\u2dco {d1, . . . , dn}, respectivamente. Vamos denotar as componentes de vi na base cano\u2c6nica por vij,
j = 1, . . . , n. Seja a matriz P definida por P =
[[
v1, . . . , vn
]]
, ou seja,
P =
\uf8eb\uf8ec\uf8edv
1
1 · · · vn1
...
. . .
...
v1n · · · vnn
\uf8f6\uf8f7\uf8f8 .
Como se ve\u2c6 pela construc¸a\u2dco, a a-e´sima coluna de P e´ formada pelas componentes do vetor va. Por
(3.4), segue que
AP =
[[
Av1, . . . , Avn
]]
=
[[
d1v
1, . . . , dnv
n
]]
.
Por (3.6) vale, pore´m, que
[[
d1v
1, . . . , dnv
n
]]
=
\uf8eb\uf8ec\uf8edv
1
1 · · · vn1
...
. . .
...
v1n · · · vnn
\uf8f6\uf8f7\uf8f8
\uf8eb\uf8ec\uf8edd1 · · · 0... . . . ...
0 · · · dn
\uf8f6\uf8f7\uf8f8 = PD .
E. 3.17 Exerc´\u131cio. Verifique. 6
Portanto, AP = PD. Como, por hipo´tese, as colunas de P sa\u2dco formadas por vetores linearmente
independentes, tem-se que det(P ) 6= 0 (por que?). Logo, P e´ invert´\u131vel e, portanto, P \u22121AP = D, como
quer´\u131amos demonstrar.
Vamos provar agora a afirmac¸a\u2dco rec´\u131proca que se A e´ diagonaliza´vel, enta\u2dco possui n autovetores
linearmente independentes. Suponha que exista P tal que
P\u22121AP = D =
\uf8eb\uf8ec\uf8edd1 · · · 0... . . . ...
0 · · · dn
\uf8f6\uf8f7\uf8f8 .
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E´ evidente que os vetores da base cano\u2c6nica
e1 =
\uf8eb\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ed
1
0
0
...
0
\uf8f6\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f8 , e2 =
\uf8eb\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ed
0
1
0
...
0
\uf8f6\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f8 , . . . , en =
\uf8eb\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ed
0
0
...
0
1
\uf8f6\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f8
sa\u2dco autovetores de D com Dea = dae
a. Logo, va = Pea sa\u2dco autovetores de A, pois
Ava = APea = PDea = P (dae
a) = daPe
a = dav
a .
Provar que os vetores va sa\u2dco linearmente independentes e´ fa´cil. Suponha que existam nu´meros com-
plexos \u3b11, . . . , \u3b1n tais que
\u3b11v
1 + · · ·+ \u3b1nvn = 0 .
Multiplicando-se a` esquerda por P\u22121 ter´\u131amos
\u3b11e
1 + · · ·+ \u3b1nen = 0 .
Como os ea sa\u2dco obviamente linearmente independentes, segue que \u3b11 = · · · = \u3b1n = 0, provando que os
va sa\u2dco linearmente independentes.
\u2022 Matrizes Diagonaliza´veis e Matrizes Simples
Vamos agora discutir a relac¸a\u2dco entre os conceitos de matriz diagonaliza´vel e o de matriz simples,
conceito esse introduzido a` pa´gina 152. Tem-se a saber o seguinte fato:
Proposic¸a\u2dco 3.10 Uma matriz A \u2208 Mat ( \ufffd , n) e´ diagonaliza´vel se e somente se for simples, ou
seja, se e somente se a multiplicidade alge´brica de cada um dos seus autovalores coincidir com sua
multiplicidade geome´trica. 2
Prova. Se A e´ diagonaliza´vel existe P tal que P\u22121AP = D, diagonal. Como toda matriz diagonal, D
e´ simples. Escrevamos D na forma
D = diag
\uf8eb\uf8ed\u3b11, . . . , \u3b11\ufe38 \ufe37\ufe37 \ufe38
a1 vezes
, . . . , \u3b1r, . . . , \u3b1r\ufe38 \ufe37\ufe37 \ufe38
ar vezes
,
\uf8f6\uf8f8 .
Um conjunto de n-autovetores de D linearmente independentes e´ fornecido pelos vetores da base
cano\u2c6nica:
e1 =
\uf8eb\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ed
1
0
0
...
0
\uf8f6\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f8 , e2 =
\uf8eb\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ed
0
1
0
...
0
\uf8f6\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f8 , . . . , en =
\uf8eb\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ed
0
0
...
0
1
\uf8f6\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f8 .
JCABarata. Curso de F´\u131sica-Matema´tica Versa\u2dco de 29 de setembro de 2005. Cap´\u131tulo 3 165/1304
Os vetores e1, . . . , ea1 geram o subespac¸o de autovetores com autovalor \u3b11 de D etc.
Para a matriz A, os vetores Pe1, . . . , P ea1 geram o subespac¸o de autovetores com autovalor \u3b11 etc.
E´ claro que a dimensa\u2dco desse subespac¸o e´ a1, pois Pe
1, . . . , P ea1 sa\u2dco linearmente independentes, ja´
que os vetores da base cano\u2c6nica e1, . . . , ea1 o sa\u2dco. Como isso tambe´m vale para os demais autovalores
conclu´\u131mos que A e´ simples.
Resta-nos agora mostrar que se A \u2208 Mat ( \ufffd , n) e´ simples enta\u2dco A e´ diagonaliza´vel. Como antes,
sejam \u3b11, . . . , \u3b1r, 1 \u2264 r \u2264 n, seus autovalores distintos, cada qual com multiplicidade alge´brica
a1, . . . , ar, respectivamente, e seja E(\u3b1i) o subespac¸o gerado pelos autovetores com autovalor \u3b1i.
Como A e´ simples, tem-se que a dimensa\u2dco de E(\u3b1i) e´ ai. Ja´ observamos (pa´gina 150) que sub-espac¸os
E(\u3b1i) associados a autovalores distintos te\u2c6m em comum apenas o vetor nulo. Assim, se em cada E(\u3b1i)
escolhermos ai vetores independentes, teremos ao todo um conjunto de
\u2211r
i=1 ai = n autovetores (vide
(3.13)) linearmente independentes de A. Pelo Teorema 3.3, A e´ diagonaliza´vel, completando a prova.
\u2022 Projetores
Uma matriz E \u2208 Mat ( \ufffd , n) e´ dita ser um projetor se satisfizer
E2 = E .
Discutiremos va´rias propriedades importantes de projetores adiante, especialmente de uma classe
especial de projetores denominados projetores ortogonais. Por ora, vamos mostrar duas propriedades
que usaremos logo abaixo quando discutirmos o teorema espectral.
A primeira propriedade e´ a afirmac¸a\u2dco que se \u3bb e´ um autovalor de um projetor E enta\u2dco ou \u3bb e´ igual
a zero ou a um. De fato se v e´ um autovetor associado a um autovalor \u3bb de E, tem-se que Ev = \u3bbv e
E2v = \u3bb2v. Como E2 = E, segue que \u3bb2v = \u3bbv. Logo \u3bb(\u3bb\u2212 1) = 0 e, portanto, \u3bb = 0 ou \u3bb = 1.
A segunda propriedade e´ uma consequ¨e\u2c6ncia da primeira: o trac¸o de um projetor E \u2208 Mat ( \ufffd , n) e´
um nu´mero inteiro positivo ou nulo, mas menor ou igual a n. De fato, pela definic¸a\u2dco, o trac¸o de um
projetor E e´ a soma de seus autovalores. Como os mesmos valem zero ou um a soma e´ um inteiro
positivo ou nulo. Como ha´ no ma´ximo n autovalores a soma na\u2dco pode exceder n. Na verdade, o u´nico
projetor cujo trac¸o vale exatamente n e´ a identidade \ufffd e o u´nico projetor cujo trac¸o vale exatamente 0
e´ a matriz nula (por que?).
Essas observac¸o\u2dces te\u2c6m a seguinte consequ¨e\u2c6ncia que usaremos adiante. Se E1, . . . , Er sa\u2dco r projetores
na\u2dco-nulos com a propriedade que
\ufffd =
r\u2211
a=1
Ea
enta\u2dco r \u2264 n. Para ver isso, basta tomar o trac¸o de ambos os lados dessa expressa\u2dco:
Tr( \ufffd ) =
r\u2211
a=1
Tr(Ea) . (3.26)
O lado esquerdo vale n enquanto que o lado direito e´ uma soma de r inteiros positivos.