Curso de Fisica-Matematica USP-SP
1304 pág.

Curso de Fisica-Matematica USP-SP


DisciplinaFísica38.712 materiais941.393 seguidores
Pré-visualização50 páginas
. . . . . . . . . . . . . . . . 1048
23.B Caracterizac¸o\u2dces e Propriedades de Func¸o\u2dces Mensura´veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1049
23.C Prova do Lema 23.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1055
23.D Demonstrac¸a\u2dco de (23.22) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1056
23.E A Equivale\u2c6ncia das Definic¸o\u2dces (23.23) e (23.24) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1057
23.F Prova do Teorema da Converge\u2c6ncia Mono´tona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1059
23.G Prova do Lema de Fatou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1060
23.H Prova do Teorema da Converge\u2c6ncia Dominada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1061
23.I Prova dos Teoremas 23.2 e 23.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1062
23.J Prova das Desigualdades de Ho¨lder e Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1065
23.K Prova do Teorema de Riesz-Fischer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1067
24 Alguns To´picos Especiais em Topologia e Ana´lise 1070
24.1 Uma Coleta\u2c6nea de Definic¸o\u2dces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1070
24.2 A Noc¸a\u2dco de Topologia Fraca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1076
24.3 A Topologia Produto de Espac¸os Topolo´gicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1077
24.4 O Teorema da Categoria de Baire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1079
24.5 Aproximac¸a\u2dco de Func¸o\u2dces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1080
13/1304
24.5.1 Aproximac¸a\u2dco de Func¸o\u2dces Cont´\u131nuas por Polino\u2c6mios . . . . . . . . . . . . . . . . 1080
VI Ana´lise Funcional 1087
25 Noc¸o\u2dces Ba´sicas Sobre Espac¸os de Hilbert 1088
25.1 Aspectos Topolo´gicos Ba´sicos de Espac¸os de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1088
25.2 Aspectos Geome´tricos Ba´sicos de Espac¸os de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1090
25.2.1 Bases Ortonormais Completas em Espac¸os de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . 1095
25.3 Funcionais Lineares e o Dual Topolo´gico de um Espac¸o de Hilbert . . . . . . . . . . . . 1109
25.3.1 O Teorema da Representac¸a\u2dco de Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1110
26 Operadores Lineares Limitados em Espac¸os de Banach e de Hilbert 1113
26.1 Operadores Lineares em Espac¸os Vetoriais Normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1115
26.1.1 Espac¸os de Banach de Operadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1119
26.1.2 O Dual Topolo´gico de um Espac¸o de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1123
26.1.3 O Teorema de Hahn-Banach e Algumas Consequ¨e\u2c6ncias do Mesmo . . . . . . . . 1127
26.1.4 O Teorema de Banach-Steinhaus ou Princ´\u131pio de Limitac¸a\u2dco Uniforme . . . . . . 1133
26.1.5 O Teorema da Aplicac¸a\u2dco Aberta e o Teorema do Gra´fico Fechado . . . . . . . . 1134
26.2 Operadores Limitados em Espac¸os de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1142
26.2.1 O Adjunto de um Operador em um Espac¸o de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . 1144
26.3 A´lgebras de Banach e A´lgebras C\u2217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1152
26.3.1 A´lgebras de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1152
26.3.2 A Inversa de Operadores Limitados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1155
26.3.3 O Espectro de Operadores em A´lgebras de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . 1161
26.3.4 O Homomorfismo de Gelfand em A´lgebras C\u2217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1171
26.3.5 Ra´\u131zes Quadradas de Operadores em A´lgebras de Banach . . . . . . . . . . . . . 1174
26.3.6 Elementos Positivos de A´lgebras C\u2217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1175
26.3.7 O Lema da Raiz Quadrada em espac¸os de Hilbert. A Decomposic¸a\u2dco Polar . . . 1179
26.4 Um Pouco sobre Estados e Representac¸o\u2dces de A´lgebras C\u2217 . . . . . . . . . . . . . . . . 1183
26.5 O Espectro de Operadores em Espac¸os de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1193
26.6 Operadores Compactos em Espac¸os de Banach e de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . 1202
26.6.1 O Teorema Espectral para Operadores Compactos Auto-adjuntos . . . . . . . . 1215
26.7 O Teorema Espectral para Operadores Limitados Auto-adjuntos em Espac¸os de Hilbert 1223
26.7.1 O Ca´lculo Funcional Cont´\u131nuo e o Homomorfismo de Gelfand . . . . . . . . . . 1223
14/1304
26.7.2 Generalizando o Ca´lculo Funcional Cont´\u131nuo. As Medidas Espectrais . . . . . . 1225
26.7.3 Medidas com Valores em Projec¸o\u2dces Ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1235
26.7.4 Os Projetores Espectrais e o Teorema Espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1240
26.7.5 A Releva\u2c6ncia do Teorema Espectral para a F´\u131sica Qua\u2c6ntica (um pouco de F´\u131sica,
finalmente) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1244
26.A Prova do Teorema 26.18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1253
27 Noc¸o\u2dces de Estruturas Alge´bricas 1257
27.1 A´lgebras Universais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1258
27.2 Ac¸a\u2dco de Uma A´lgebra Universal sobre uma Outra A´lgebra Universal (*) . . . . . . . . 1265
28 O Limite Indutivo de A´lgebras 1270
15/1304
Prefa´cio
intenc¸a\u2dco ba´sica destas Notas e´ fornecer a estudantes de F´\u131sica noc¸o\u2dces matema´ticas impor-
tantes para uma melhor compreensa\u2dco de desenvolvimentos modernos da F´\u131sica Teo´rica e da
Matema´tica.
De modo geral o texto e´ de leitura auto-suficiente, mas vez por outra algum estudo complementar
e´ sugerido. Estas Notas, pore´m, na\u2dco sa\u2dco substituto a` leitura dos bons livros sobre os assuntos aqui
tratados. Entretanto, procuramos apresentar (muitas vezes em exerc´\u131cios!) o maior nu´mero poss´\u131vel
de exemplos e contra-exemplos para as va´rias situac¸o\u2dces tratadas de modo a motivar melhor definic¸o\u2dces
e resultados, o que e´ menos comum em textos com tratamentos mais sistema´ticos. Parte do material
pode ser encontrada em diversas fontes, citadas na bibliografia, mas a apresentac¸a\u2dco e sua ordem sa\u2dco
pro´prias. Ha´ tambe´m nestas Notas demonstrac¸o\u2dces do pro´prio autor de resultados conhecidos que sa\u2dco,
por alguma raza\u2dco, dificilmente encontradas na literatura.
Fazemos notar que estas notas esta\u2dco ainda sendo trabalhadas e alguns cap´\u131tulos e sec¸o\u2dces podem
vir a ser alterados, corrigidos ou acrescidos de material. Ale´m disso, novos cap´\u131tulos sera\u2dco escritos. O
material ja´ presente e´, pore´m, u´til a todos aqueles que queiram iniciar-se nos assuntos aqui expostos.
Verso\u2dces atualizadas sera\u2dco colocadas na \u201crede\u201d (no enderec¸o acima indicado) sempre que poss´\u131vel.
O autor agradece a todos os que apresentarem sugesto\u2dces. Fabulosas somas em dinheiro sa\u2dco ofere-
cidas a todos aqueles que encontrarem erros no texto. Entre os ja´ aquinhoados encontram-se os Srs.
Matheus Grasselli, Alexandre T. Baraviera, Marcos V. Travaglia, Daniel Augusto Cortez, Djogo F. C.
Patra\u2dco, Cle´ber de Mico Muramoto, Katiu´scia Nadyne Cassemiro, Urbano Lopes Franc¸a Junior, Gus-
tavo Barbagallo de Oliveira, Priscila Vieira Franco Gondeck, Darielder Jesus Ribeiro, Daniel Augusto
Turolla Vanzella, Leonardo Fernandes Dias da Motta, Krishnamurti Jose´ de Andrade, Pedro Tavares
Paes Lopes, Diego Cortegoso Asse\u2c6ncio, Fleury Jose´ de Oliveira Filho, Paulo Henrique Reimberg, Fab´\u131ola
Diacenco Xavier e Ma´rcio Andre´ Prieto Apar´\u131cio Lopez aos quais somos muito gratos por correc¸o\u2dces e
sugesto\u2dces.
As Sec¸o\u2dces 13.B, pa´gina 764, e 17.3.1, pa´gina 897, foram originalmente escritas por Daniel Augusto
Cortez. A Sec¸a\u2dco 10.6, pa´gina 571, foi originalmente escrita por Andre´ M. Timpanaro, Fleury J. Oliveira
e Paulo H. Reimberg. A eles dedicamos agradecimentos