Curso de Fisica-Matematica USP-SP
1304 pág.

Curso de Fisica-Matematica USP-SP


DisciplinaFísica38.826 materiais951.220 seguidores
Pré-visualização50 páginas
especiais.
Joa\u2dco Carlos Alves Barata Sa\u2dco Paulo, 29 de setembro de 2005.
Departamento de F´\u131sica Matema´tica do IFUSP
16/1304
\u201cO comportamento de um f´\u131sico em relac¸a\u2dco a` Matema´tica e´ similar a de um ladra\u2dco inteligente em
relac¸a\u2dco ao co´digo penal: ele estuda apenas o suficiente para evitar punic¸o\u2dces\u201d.
I. M. Gelfand (1913-).
\u201cA mente na\u2dco e´ um vaso a ser repleto, mas uma tocha a ser acesa\u201d.
Plutarco (46?-120).
\u201cTalvez eu na\u2dco tenha tido e\u2c6xito em fazer as coisas dif´\u131ceis tornarem-se fa´ceis, mas pelo menos eu nunca
fiz um assunto fa´cil tornar-se dif´\u131cil\u201d.
F. G. Tricomi (1897-1978).
\u201cIn science, self-satisfaction is death. Personal self-satisfaction is the death of the scientist. Collective
self-satisfaction is the death of the research. It is restlessness, anxiety, dissatisfaction, agony of mind
that nourish science\u201d.
Jacques Lucien Monod (1910-1976), in New Scientist, 1976.
\u201cNa\u2dco existe nenhuma categoria da Cie\u2c6ncia a` qual se possa dar o nome de Cie\u2c6ncia Aplicada. O que
existe sa\u2dco a Cie\u2c6ncia e as aplicac¸o\u2dces da Cie\u2c6ncia, intimamente ligadas, como frutos a` a´rvore que os
gerou\u201d.
Louis Pasteur (1822-1895), in \u201cPourquoi la France n\u2019a pas trouve´ d\u2019hommes supe´rieurs au moment du
pe´ril\u201d, Revue Scientifique (Paris, 1871).
17/1304
Notac¸a\u2dco e Adverte\u2c6ncias
Para facilitar a consulta e a leitura, listamos aqui sem muitos comenta´rios um pouco da notac¸a\u2dco
que empregaremos nestas Notas.
\ufffd Se z e´ um nu´mero complexo denotaremos seu complexo conjugado por z. A notac¸a\u2dco z\u2217 (mais
comum em textos de F´\u131sica) pode ocorrer mais raramente.
\ufffd O s´\u131mbolo A := B ou B =: A denota que A e´ definido pela expressa\u2dco B. O s´\u131mbolo A \u2261 B indica
que A e B sa\u2dco duas notac¸o\u2dces distintas para o mesmo objeto.
\ufffd Se x = (x1, . . . , xn) e y = (y1, . . . , yn) sa\u2dco vetores reais com n componentes (ou seja, elementos
de \ufffd n) enta\u2dco definimos
\u3008x, y\u3009 \ufffd := x1y1 + · · ·+ xnyn .
Trata-se do produto escalar usual em \ufffd n.
\ufffd Se x = (x1, . . . , xn) e y = (y1, . . . , yn) sa\u2dco vetores complexos com n componentes (ou seja,
elementos de
\ufffd
n) enta\u2dco definimos
\u3008x, y\u3009 \ufffd := x1y1 + · · ·+ xnyn .
Trata-se do produto escalar usual em
\ufffd
n.
\ufffd Se x = (x1, . . . , xn) e y = (y1, . . . , yn) sa\u2dco vetores complexos com n componentes (ou seja,
elementos de
\ufffd
n) enta\u2dco definimos
\u3008x, y\u3009 \ufffd := x1y1 + · · ·+ xnyn .
Trata-se de uma forma bilinear em
\ufffd
n.
\ufffd Mat( \ufffd , n) ou Mat(n, \ufffd ) designa o conjunto de todas as matrizes reais n × n. Mat( \ufffd , n) ou
Mat(n,
\ufffd
) designa o conjunto de todas as matrizes complexas n× n.
\ufffd Se A e´ um elemento de Mat( \ufffd , n) ou de Mat(
\ufffd
, n), enta\u2dco AT designa a matriz transposta de
A, ou seja, a matriz cujos elementos de matriz ij sa\u2dco
(
AT
)
ij
= Aji.
\ufffd Se A e´ um operador linear em um espac¸o vetorial complexo (com um certo produto escalar),
seu adjunto e´ denotado por A\u2217. Em textos de F´\u131sica e´ mais comum denota´-lo por A\u2020, mas na\u2dco
usaremos isso aqui.
Assim, se A \u2208 Mat( \ufffd , n), enta\u2dco A\u2217 sera´ a adjunta de A (em relac¸a\u2dco ao produto escalar usual,
acima). O elemento de matriz ij de A\u2217 sera´ (A\u2217)ij = Aji.
\ufffd Denotaremos o operador identidade agindo em um espac¸o vetorial (a matriz identidade, agindo
em um espac¸o vetorial de dimensa\u2dco finita) pelo s´\u131mbolo \ufffd . Esse s´\u131mbolo tambe´m representara´ a
unidade de uma a´lgebra.
18/1304
\ufffd Designaremos um produto escalar entre dois vetores u e v sempre por \u3008u, v\u3009 e nunca por (u, v),
para na\u2dco causar confusa\u2dco com a notac¸a\u2dco para par ordenado. Outra notac¸a\u2dco poss´\u131vel e´ aquela
empregada frequ¨entemente em textos de Meca\u2c6nica Qua\u2c6ntica: \u3008u | v\u3009, mas faremos raramente uso
dessa notac¸a\u2dco.
\ufffd Ainda sobre produtos escalares, seguiremos sempre a convenc¸a\u2dco dos textos de F´\u131sica: um produto
escalar em um espac¸o vetorial sobre os complexos e´ linear em relac¸a\u2dco ao segundo argumento e
antilinear em relac¸a\u2dco ao primeiro. Assim, se \u3b1 e \u3b2 sa\u2dco nu´meros complexos, teremos \u3008\u3b1u, \u3b2v\u3009 =
\u3b1\u3b2\u3008u, v\u3009. Textos de Matema´tica adotam por vezes a convenc¸a\u2dco oposta (ou mesmo ambas!).
\ufffd Sobre o emprego das palavras func¸a\u2dco, aplicac¸a\u2dco, mapeamento, mapa, funcional, operador, operac¸a\u2dco,
produto e forma, que por vezes causam perplexidade em estudantes, remetemos ao comenta´rio a`
pa´gina 23.
\ufffd Dado um conjunto X 6= \u2205, denota-se por \ufffd (X) a colec¸a\u2dco de todos os sub-conjuntos de X. \ufffd (X)
e´ denominado o conjunto das partes de X.
\ufffd A topologia usual da reta real \ufffd sera´ denotada aqui por \u3c4 \ufffd .
\ufffd A \u3c3-a´lgebra de Borel de \ufffd sera´ (quase sempre) denotada aqui por M[\u3c4 \ufffd ].
\ufffd A \u3c3-a´lgebra dos sub-conjuntos de \ufffd mensura´veis por Lebesgue sera´ (quase sempre) denotada
aqui por MµL.
\ufffd Para x \u2208 \ufffd , o s´\u131mbolo bxc designa o maior inteiro menor ou igual a x. O s´\u131mbolo dxe designa o
menor inteiro maior ou igual a x.
\ufffd Ha´ ainda nestas Notas um problema na\u2dco totalmente sanado quando ao conjunto dos nu´meros
naturais \ufffd . Em algumas sec¸o\u2dces adotou-se 0 \u2208 \ufffd , ou seja, \ufffd = {0, 1, 2, 3, . . .} em outras,
adotou-se 0 6\u2208 \ufffd , ou seja, \ufffd = {1, 2, 3, . . .}. Esperamos que isso seja definitivamente corrigido
futuramente. Por ora, pedimos atenc¸a\u2dco ao leitor.
\ufffd O s´\u131mbolo 2 indica o fim de um enunciado. O s´\u131mbolo indica o fim de uma demonstrac¸a\u2dco. O
s´\u131mbolo 6 indica o fim do enunciado de um exerc´\u131cio. O s´\u131mbolo \u25ca indica o fim do enunciado de
um exemplo.
\ufffd
B(X) designa o conjunto de operadores limitados agindo em um espac¸o de Banach X. B(H)
designa o conjunto de operadores limitados agindo em um espac¸o de Hilbert H.
\ufffd C(L) designa o conjunto de todas as func¸o\u2dces cont´\u131nuas (reais ou complexas, dependendo do caso),
definidas em L (na topologia que se estiver considerando em L).
\ufffd B(L) designa a colec¸a\u2dco de todos os conjuntos Borelianos de L (em relac¸a\u2dco a` topologia que se
estiver considerando em L). Bl(L) designa a colec¸a\u2dco de todas as func¸o\u2dces Borelianas (reais ou
complexas, dependendo do caso), definidas em L.
\ufffd O dom\u131´nio de um operador T (agindo em um espac¸o de Banach ou de Hilbert) sera´ denotado
por D(T ) ou por Dom(T ). A imagem (\u201crange\u201d) de T sera´ denotada por R(T ) ou por Ran (T )
ou, mais raramente, por Im (T ), mas essa u´ltima notac¸a\u2dco pode causar confusa\u2dco com a da parte
19/1304
imagina´ria de um nu´mero complexo ou mesmo com a da parte imagina´ria de um operador agindo
em um espac¸o de Hilbert: Im (T ) := 1
2i
(T \u2212 T \u2217).
\ufffd As noc¸o\u2dces de propriedade va´lida quase em toda parte e de propriedade gene´rica sa\u2dco definidas nas
pa´ginas 960 e 1072, respectivamente.
\u2022 Intervalos
Ainda na\u2dco introduzimos os nu´meros reais nem a relac¸a\u2dco de ordem entre eles mas, como essas noc¸o\u2dces
sa\u2dco conhecidas, vamos colocar aqui uma palavra sobre a nomenclatura usada para descrever intervalos
da reta real. Para a < b \u2208 \ufffd o conjunto
(a, b) = {x \u2208 \ufffd , com a < x < b}
e´ dito ser um intervalo aberto. Para a \u2264 b \u2208 \ufffd o conjunto
[a, b] = {x \u2208 \ufffd , com a \u2264 x \u2264 b}
e´ dito ser um intervalo fechado. Para a < b \u2208 \ufffd os conjuntos
[a, b) = {x \u2208 \ufffd , com a \u2264 x < b}
e
(a, b] = {x \u2208 \ufffd , com a < x \u2264 b}
sa\u2dco ditos ser intervalos semi-abertos (ou semi-fechados).
E´ importante dizer que a nomenclatura \u201caberto\u201d ou \u201cfechado\u201d acima e´ usada independentemente
da topologia usada em \ufffd (a noc¸a\u2dco de topologia sera´ introduzida adiante).
Parte I
Cap´\u131tulos Introduto´rios
20
Cap´\u131tulo 1
Noc¸o\u2dces Ba´sicas
Conteu´do
1.1 Conjuntos, Relac¸o\u2dces e Func¸o\u2dces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.1.1 Relac¸o\u2dces e Func¸o\u2dces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.1.2 Relac¸o\u2dces de Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.1.3 Cardinalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.1.4 I´nfimos e Supremos de Fam\u131´lias de Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.2 Estruturas Alge´bricas Ba´sicas . . .