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Resumo III Unidade

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VIII. Complemento ortogonal de um subespaço: 
 Como o próprio nome diz, o complemento ortogonal de um subespaço é o complemento 
dele (ou seja, um outro subespaço do mesmo espaço vetorial) que é formado apenas por vetores 
ortogonais aos vetores do subespaço . 
Ou seja: 
Se é um subespaço de , dizemos que o complemento ortogonal de , representado 
por é o conjunto de vetores de que são ortogonais a todos os vetores de . 
Resumidamente: 
 
Obs.: Como o vetor nulo é ortogonal a todos os vetores (inclusive a ele próprio), ele pertence 
tanto a quanto a . Portanto . 
Obs².: Os vetores de e de somados resultam em qualquer vetor de . Dizemos portanto 
que a soma direta de e é : . Essa observação é especialmente importante 
pois nos garante que e, sendo base de e base de , 
podemos garantir que uma base de será (para o caso particular de e serem 
ortogonais/ortonormais, também será). 
 Um passo-a-passo pode ser montado para se determinar o complemento ortogonal de um 
subespaço. Seja um espaço vetorial e um subespaço de : 
1) Determinar o subespaço e uma base dele; 
2) A condição para que um vetor de seja ortogonal a qualquer um dos vetores de é 
simplesmente que ele seja ortogonal (produto interno igual a zero) simultaneamente a 
todos os vetores da base de ; 
3) Fazer a condição de . 
Ex.: Seja o espaço vetorial das matrizes 2 por 2 e 
 
 
 , determine: 
a) O complemento ortogonal de . 
b) Uma base de . 
c) Uma base de V. 
 
Para responder, basta seguir o passo-a-passo anterior: 
a) Passo-a-passo do complemento ortogonal: 
1) já está determinado, falta achar uma base: 
O vetor na forma mais geral é 
 
 
 . 
Separando as „letras‟: 
 
 
 
 
 
 . 
Colocando em „evidência‟: 
 
 
 
 
 
 . 
Como 
 
 
 e 
 
 
 são LI, formam uma base de . 
Resumo de Álgera Linear III unidade 
 
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2) O vetor do complemento precisa ser ortogonal aos dois vetores da base achada 
anteriormente, portanto, seja 
 
 
 um vetor qualquer de : 
 
 
 
 
 
 
 , logo: . 
 
 
 
 
 
 
 , logo . 
 
3) 
 
 
 . 
 
b) Passo-a-passo para achar uma base: 
O vetor na forma mais geral é 
 
 
 . 
Separando as „letras‟: 
 
 
 
 
 
 . 
Colocando em „evidência‟: 
 
 
 
 
 
 . 
Como 
 
 
 e 
 
 
 são LI, formam uma base de . 
c) Como a soma direta de e de resultam em , uma base de é a união das bases de 
 e . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
IX. Operador linear auto-adjunto: 
Também chamado de auto-operador ou operado simétrico se, para qualquer que seja uma 
base ORTONORMAL (exclusivamente), a matriz é simétrica (como se tivesse um espelho 
na diagonal principal), isto é: 
 
 
 
 
A definição é que, sejam vetores e será um auto-operador se, e somente se: 
 
 
Ex.: Seja 
 
, o operador 
 
 
 
 definido por: 
 
E o produto interno usual, diga se é auto-adjunto. 
 A primeira coisa a se fazer é achar uma base ortonormal de . Pode ser achada partindo 
de uma base qualquer, utilizando o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt e, por fim, 
normalizando-a. Mas como o espaço vetorial em questão é o 
 
 sem restrições, a base canônica 
 já é ortonormal. 
 Agora é achar a matriz da transformação linear: 
i) ; 
Resumo de Álgera Linear III unidade 
 
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ii) ; 
iii) . 
Lembrando que . Então: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 que é uma matriz simétrica (números coloridos). 
 Como a matriz de transformação do operador com relação a uma base ORTONORMAL é 
simétrica, o operador é auto-adjunto. 
Obs.: O fato de um operador ser auto-adjunto GARANTE que existe uma base ortonormal de 
autovetores. Pode ser obtida calculando-se os autovalores e assim os autovetores associados 
como na unidade anterior. Os autovetores de operadores auto-adjuntos são SEMPRE ortogonais, 
bastando portanto normalizar a base de autovetores para obter a base ortonormal. Com isso, é 
garantia que se pode diagonalizar este operador. 
Obs².: Daí se tira o passo-a-passo para se determinar se o operador é auto-adjunto: 
1) Determinar uma base ortonormal; 
2) Fazer a matriz de transformação dos vetores da base; 
3) Ver se a matriz é simétrica. Caso seja, então T será auto-adjunta. 
X. Operador (e matriz) ortogonal: 
Um operador é dito ortogonal quando ele preserva o módulo de um vetor. Ou seja: 
 
Além disso, ele preserva o produto interno entre dois vetores. Ou seja: 
 
Existem ainda outros dois métodos de se determinar se um operador é ortogonal: 
i) Se a matriz transposta da transformação for igual à matriz inversa da transformação. 
Ou seja: 
 
ii) Se as colunas da matriz de transformação (em relação a uma base ortonormal) 
formam uma base ortonormal em relação ao produto interno usual. Exemplo: 
Seja uma base ortonormal. 
Seja 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
, se forem tomados os vetores 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 , eles formam uma base ortonormal 
(VERIFIQUE). 
Resumo de Álgera Linear III unidade 
 
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Obs.: Uma matriz é dita ortogonal se ela define um operador ortogonal (basta verificar as 
condições anteriores). 
Obs².: Para esta parte existem várias formas de se determinar se o operador é ortogonal 
(utilizando as condições dadas anteriormente), abaixo estão dois passo-a-passos possíveis: 
i) Se você tem a matriz: 
a) A matriz tem que ser em relação a uma base ortonormal (se não for, basta obter 
uma através desta primeira); 
b) Verificar se as colunas formam uma base ortonormal em relação ao produto interno 
usual. 
ii) Se você tem a transformação linear definida: 
a) Verificar se um vetor (na forma mais geral) tem seu módulo preservado. Ou seja, 
se . 
Ex.: Diga se a matriz A é ortogonal: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Como temos a matriz, basta verificar se as colunas formam uma base ortonormal com 
relação ao produto escalar. 
i) Coluna 1: ; 
ii) Coluna 2: ; 
iii) Coluna 3: . 
Já está verificado que são normais, resta agora saber se são ortogonais entre si: 
i) Colunas 1 e 2: 
 ; 
ii) Colunas 1 e 3: ; 
iii) Colunas 2 e 3: . 
Foi verificado que as colunas formam uma base ortonormal em relação ao produto escalar, 
então a matriz é ortogonal. 
IMPORTANTE: Se a matriz caracterizasse uma transformação, esta seria ortogonal APENAS SE 
ESSA MATRIZ FOSSE EM RELAÇÃO A UMA BASE ORTONORMAL. 
Ex².: Seja 
 
 
 
 com produto interno usual onde . Diga se T é 
ortogonal. 
 Como temos a transformação linear definida, basta verificar (literalmente) se o módulo do 
vetor é preservado: