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Álgebra Linear (Resumo) - Thiago Carreiro parte 5

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Resumo de Álgera Linear III unidade 
 
1 
 
I. Produto interno: 
 É uma operação entre vetores que é característico de cada espaço vetorial. Essa operação 
“pega” dois vetores e “retorna” um número real. Representamos o produto interno entre dois 
vetores, v e w, por . 
 Existem diversos “produtos” entre vetores retornando números reais, mas para que ele seja 
interno é necessário que as seguintes condições sejam satisfeitas: 
Para vetores e : 
a) ; 
b) ; 
c) ; 
d) 
 
 
 . 
Obs.: Quando não é mencionado o produto interno, usa-se o produto interno canônico, que é o 
produto escalar visto em Geometria Analítica e Física I. 
Ex.: Seja e o produto interno usual (canônico) entre eles é 
 . 
II. Módulo de um vetor: 
 Para este assunto é melhor “esquecer” que módulo de um vetor refere-se ao „tamanho‟ 
dele. O módulo de um vetor é uma característica do próprio em relação a um determinado 
produto interno. Um mesmo vetor pode ter „módulos‟ diferentes, dependendo dos produtos 
internos usados, e por isso a ideia de „tamanho‟ acabaria confundindo um pouco. 
 O módulo de um vetor é definido como: (pela propriedade „d‟ do 
produto interno, temos a garantia de que ). 
III. Ângulo entre dois vetores: 
 Assim como o módulo, o ângulo entre dois vetores depende do produto interno em 
questão. Sabe-se da Geometria Analítica que: 
 
Onde é o menor ângulo formado entre os vetores. Portanto: 
 
 
 
 
IV. Ortogonalidade de vetores: 
 Dois vetores são ditos ortogonais quando fazem um ângulo de 90º entre si, portanto vai 
depender do produto interno mas, garantidamente, eles serão ortogonais se o produto interno 
entre eles for zero (cos90º = 0). Ou seja, são ortogonais se: 
 
Resumo de Álgera Linear III unidade 
 
2 
 
IMPORTANTE: Uma base é dita ORTOGONAL se todos os seus vetores são ortogonais entre si. 
É preferível que se trabalhe com bases ortogonais, pois facilita as contas. 
Obs.: O vetor nulo é ortogonal a TODOS os vetores, inclusive a ele mesmo. 
V. Normalização de vetores: 
 Como a aparição de módulos de vetores é bastante regular nas contas, costuma-se 
trabalhar com vetores „normalizados‟, ou seja, vetores que possuem módulo igual a um. 
 Para normalizar um vetor basta dividir o próprio vetor pelo seu módulo. Seja um vetor 
não normalizado, o vetor unitário (ou normalizado) é: 
 
 
 . 
IMPORTANTE: Uma base é dita NORMAL se todos os seus vetores são normalizados. 
IMPORTANTE: Uma base é dita ORTONORMAL se for simultaneamente ORTOGONAL e 
NORMAL. 
VI. Processo de ortogonalização de vetores (Gram-Schmidt): 
 Um método de se achar uma base ortogonal é através do processo de ortogonalização de 
vetores de Gram-Schmidt onde, a partir de vetores quaisquer, você vai obtendo vetores 
ortogonais entre si. Para se ter uma ideia geométrica, tomemos o espaço vetorial 
 
 e o produto 
interno usual (ou canônico). Sejam dois vetores quaisquer, a ideia é obter um vetor , 
ortogonal a a partir de e de sua projeção sobre . Segue na figura abaixo a ideia: 
 
Vetorialmente: 
 
  
 ; 
E, pela figura: 
 assim como . 
 O processo de Gram-Schmidt é baseado na mesma ideia, mas extendida para até 
dimensões. 
 Seja uma base qualquer, queremos achar uma base ortogonal 
 . A “fórmula” de Gram-Schmidt fica então: 
 
 
 
 
 
 
 
Ou seja, primeiro escolhemos um vetor qualquer de para ser o vetor e, a partir dele, 
obtemos os outros vetores da base ortogonal (o somatório faz o papel do 
 da figura). 
 
Resumo de Álgera Linear III unidade 
 
3 
 
Ex.: Seja uma base, ache uma base ortogonal a partir dela: 
Primeira coisa a se fazer é escolher um vetor qualquer de para ser o primeiro vetor da base 
ortogonal. Por fim, utiliza-se o processo de Gram-Schmidt para se obter os demais vetores. 
Fazendo : 
 : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto, a base 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 é uma base ortogonal (VERIFIQUE a 
ortogonalidade dois-a-dois vetores (produto interno entre eles igual a zero)). 
Obs.: Daí se tira o passo-a-passo para se obter uma base ortogonal: 
1) Acha-se uma base qualquer (I unidade); 
2) Utiliza-se o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt; 
3) CASO você queria uma base ORTONORMAL, basta normalizar os vetores da base 
ortogonal encontrada. 
VII. Coordenadas: 
 Foi visto que para se determinar as coordenadas de um vetor é necessário fazer uma 
combinação linear e resolver um sistema (o que pode ser, convenhamos, bastante trabalhoso). 
Uma das vantagens de se trabalhar com uma base ortogonal (e mais ainda se for ortonormal) é 
que as coordenadas podem ser obtidas de uma forma mais direta. 
 Seja o vetor com coordenadas, em relação a uma base qualquer , 
 
 
 
 
 
 , a i-ésima coordenada (é preciso entender que, ao se falar de i-ésima, estamos 
falando de algo que é obtido trocando o „i‟ pela ordenação. Por exemplo, a primeira coordenada é 
Resumo de Álgera Linear III unidade 
 
4 
 
quando se troca o „i‟ pelo „1‟, a nona coordenada é quando se troca o „i‟ pelo „9‟ e assim por 
diante) é obtida através da „fórmula‟: 
 
 
 
 
E essa „fórmula‟ é conhecida como „coeficiente de Fourier do vetor em relação ao vetor ‟. 
Ex.: Quais as coordenadas do vetor 
 
 em relação à base 
 ? 
A primeira coisa a se fazer é analisar se a base é ortogonal para verificar a validade no 
método de Fourier. Como não foi mencionado, o produto interno em questão é o canônico. 
Analisando os vetores aos pares: 
i) . Os vetores são ortogonais entre si. 
ii) . Os vetores são ortogonais. 
iii) . Os vetores são ortogonais. 
Então a base é ortogonal, o que permite a utilização do método de Fourier para obtenção 
das coordenadas. 
i) A primeira coordenada: 
 
 
 
 
 
 
 
ii) A segunda coordenada: 
 
 
 
 
 
 
 
iii) A terceira coordenada: 
 
 
 
 
 
 
 
 Logo, um vetor qualquer 
 
 tem coordenadas em relação à base : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
IMPORTANTE: Esse modo de se obter a coordenada é EXCLUSIVAMENTE quando a base em 
questão é ortogonal (ou ortonormal). 
Obs.: Se a base for ortonormal, repare que para qualquer , portanto a 
coordenada se resume a . 
Resumo de Álgera Linear III unidade5 
 
VIII. Complemento ortogonal de um subespaço: 
 Como o próprio nome diz, o complemento ortogonal de um subespaço é o complemento 
dele (ou seja, um outro subespaço do mesmo espaço vetorial) que é formado apenas por vetores 
ortogonais aos vetores do subespaço . 
Ou seja: 
Se é um subespaço de , dizemos que o complemento ortogonal de , representado 
por é o conjunto de vetores de que são ortogonais a todos os vetores de . 
Resumidamente: 
 
Obs.: Como o vetor nulo é ortogonal a todos os vetores (inclusive a ele próprio), ele pertence 
tanto a quanto a . Portanto . 
Obs².: Os vetores de e de somados resultam em qualquer vetor de . Dizemos portanto 
que a soma direta de e é : . Essa observação é especialmente importante 
pois nos garante que e, sendo base de e base de , 
podemos garantir que uma base de será (para o caso particular de e serem 
ortogonais/ortonormais, também será). 
 Um passo-a-passo pode ser montado para se determinar o complemento ortogonal de um 
subespaço. Seja um espaço vetorial e um subespaço de : 
1) Determinar o subespaço e uma base dele; 
2) A condição para que um vetor de seja ortogonal a qualquer um dos vetores de é 
simplesmente que ele seja ortogonal (produto interno igual a zero) simultaneamente a 
todos os vetores da base de ; 
3) Fazer a condição de . 
Ex.: Seja o espaço vetorial das matrizes 2 por 2 e 
 
 
 , determine: 
a) O complemento ortogonal de . 
b) Uma base de . 
c) Uma base de V. 
 
Para responder, basta seguir o passo-a-passo anterior: 
a) Passo-a-passo do complemento ortogonal: 
1) já está determinado, falta achar uma base: 
O vetor na forma mais geral é 
 
 
 . 
Separando as „letras‟: 
 
 
 
 
 
 . 
Colocando em „evidência‟: 
 
 
 
 
 
 . 
Como 
 
 
 e 
 
 
 são LI, formam uma base de . 
Resumo de Álgera Linear III unidade 
 
6 
 
2) O vetor do complemento precisa ser ortogonal aos dois vetores da base achada 
anteriormente, portanto, seja 
 
 
 um vetor qualquer de : 
 
 
 
 
 
 
 , logo: . 
 
 
 
 
 
 
 , logo . 
 
3) 
 
 
 . 
 
b) Passo-a-passo para achar uma base: 
O vetor na forma mais geral é 
 
 
 . 
Separando as „letras‟: 
 
 
 
 
 
 . 
Colocando em „evidência‟: 
 
 
 
 
 
 . 
Como 
 
 
 e 
 
 
 são LI, formam uma base de . 
c) Como a soma direta de e de resultam em , uma base de é a união das bases de 
 e . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
IX. Operador linear auto-adjunto: 
Também chamado de auto-operador ou operado simétrico se, para qualquer que seja uma 
base ORTONORMAL (exclusivamente), a matriz é simétrica (como se tivesse um espelho 
na diagonal principal), isto é: 
 
 
 
 
A definição é que, sejam vetores e será um auto-operador se, e somente se: 
 
 
Ex.: Seja 
 
, o operador 
 
 
 
 definido por: 
 
E o produto interno usual, diga se é auto-adjunto. 
 A primeira coisa a se fazer é achar uma base ortonormal de . Pode ser achada partindo 
de uma base qualquer, utilizando o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt e, por fim, 
normalizando-a. Mas como o espaço vetorial em questão é o 
 
 sem restrições, a base canônica 
 já é ortonormal. 
 Agora é achar a matriz da transformação linear: 
i) ; 
Resumo de Álgera Linear III unidade 
 
7 
 
ii) ; 
iii) . 
Lembrando que . Então: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 que é uma matriz simétrica (números coloridos). 
 Como a matriz de transformação do operador com relação a uma base ORTONORMAL é 
simétrica, o operador é auto-adjunto. 
Obs.: O fato de um operador ser auto-adjunto GARANTE que existe uma base ortonormal de 
autovetores. Pode ser obtida calculando-se os autovalores e assim os autovetores associados 
como na unidade anterior. Os autovetores de operadores auto-adjuntos são SEMPRE ortogonais, 
bastando portanto normalizar a base de autovetores para obter a base ortonormal. Com isso, é 
garantia que se pode diagonalizar este operador. 
Obs².: Daí se tira o passo-a-passo para se determinar se o operador é auto-adjunto: 
1) Determinar uma base ortonormal; 
2) Fazer a matriz de transformação dos vetores da base; 
3) Ver se a matriz é simétrica. Caso seja, então T será auto-adjunta. 
X. Operador (e matriz) ortogonal: 
Um operador é dito ortogonal quando ele preserva o módulo de um vetor. Ou seja: 
 
Além disso, ele preserva o produto interno entre dois vetores. Ou seja: 
 
Existem ainda outros dois métodos de se determinar se um operador é ortogonal: 
i) Se a matriz transposta da transformação for igual à matriz inversa da transformação. 
Ou seja: 
 
ii) Se as colunas da matriz de transformação (em relação a uma base ortonormal) 
formam uma base ortonormal em relação ao produto interno usual. Exemplo: 
Seja uma base ortonormal. 
Seja 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
, se forem tomados os vetores 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 , eles formam uma base ortonormal 
(VERIFIQUE). 
Resumo de Álgera Linear III unidade 
 
8 
 
Obs.: Uma matriz é dita ortogonal se ela define um operador ortogonal (basta verificar as 
condições anteriores). 
Obs².: Para esta parte existem várias formas de se determinar se o operador é ortogonal 
(utilizando as condições dadas anteriormente), abaixo estão dois passo-a-passos possíveis: 
i) Se você tem a matriz: 
a) A matriz tem que ser em relação a uma base ortonormal (se não for, basta obter 
uma através desta primeira); 
b) Verificar se as colunas formam uma base ortonormal em relação ao produto interno 
usual. 
ii) Se você tem a transformação linear definida: 
a) Verificar se um vetor (na forma mais geral) tem seu módulo preservado. Ou seja, 
se . 
Ex.: Diga se a matriz A é ortogonal: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Como temos a matriz, basta verificar se as colunas formam uma base ortonormal com 
relação ao produto escalar. 
i) Coluna 1: ; 
ii) Coluna 2: ; 
iii) Coluna 3: . 
Já está verificado que são normais, resta agora saber se são ortogonais entre si: 
i) Colunas 1 e 2: 
 ; 
ii) Colunas 1 e 3: ; 
iii) Colunas 2 e 3: . 
Foi verificado que as colunas formam uma base ortonormal em relação ao produto escalar, 
então a matriz é ortogonal. 
IMPORTANTE: Se a matriz caracterizasse uma transformação, esta seria ortogonal APENAS SE 
ESSA MATRIZ FOSSE EM RELAÇÃO A UMA BASE ORTONORMAL. 
Ex².: Seja 
 
 
 
 com produto interno usual onde . Diga se T é 
ortogonal. 
 Como temos a transformação linear definida, basta verificar (literalmente) se o módulo do 
vetor é preservado:Resumo de Álgera Linear III unidade 
 
9 
 
 
Como , temos que é um operador ortogonal. 
XI. Projeção ortogonal: 
 A projeção de um subespaço vetorial em outro (ou de um vetor em particular sobre um 
subespaço) é a “componente” que cada vetor do primeiro teria sobre o segundo (a “sombra” de 
um em outro). 
 Para ter uma noção geométrica, imagine o 
 
 e um subespaço dele, um plano que passa 
pela origem . 
 Na figura a seguir um vetor 
 
 (em vermelho) é projetado ortogonalmente (em azul) 
sobre o plano . Para qualquer outro subespaço a ideia é a mesma, embora não faça mais 
sentido tentar uma visualização geométrica. 
 
 A projeção de um vetor em seu próprio subespaço é ele mesmo: 
 Seja , seja um vetor , então . Logo, é um autovetor 
associado ao autovalor . (“A projeção de um vetor em seu próprio espaço vetorial é um 
autovetor associado ao autovalor 1”). 
 A projeção de um vetor em um subespaço ortogonal ao seu (por exemplo, a projeção de 
um vetor de em ) é o vetor nulo: 
 Seja 
 , seja , então . Logo, é um autovetor associado ao 
autovalor . (“A projeção de um vetor sobre um subespaço ortogonal ao seu é um autovetor 
associado ao autovalor 0”); 
IMPORTANTE: Passo-a-passo para se achar uma projeção ortogonal de um vetor em um 
subespaço : 
a) Achar uma base ortogonal (ou ortonormal) do subespaço ; 
Resumo de Álgera Linear III unidade 
 
10 
 
b) Calcula a projeção pela fórmula: 
 
 
 
 
 
 
 , onde: 
 Projeção do vetor sobre o subespaço ; 
 Base ortogonal (ou ortonormal) de . 
Obs.: Se for pedido a projeção de um subespaço sobre outro, é só usar o vetor na forma mais 
geral no lugar de . 
Ex.: Seja 
 
 , ache 
 
 e depois ache . 
Aplicando o passo-a-passo: 
a) Achar uma base ortonormal (pode ser ortogonal, mas normalizar facilita as contas): 
i) Condição: a forma mais geral de um vetor de é ; 
ii) “Separando por letras”: (já está separado); 
iii) Colocando em evidência: 
Então é um gerador e, por ser LI a si mesmo, é uma base ortogonal (como é 
único é ortogonal); 
iv) Normalizando: 
 
 
; 
v) 
 
 
 é base ortonormal de . 
b) Como estamos pedindo de um espaço, pegamos o vetor mais geral do espaço. No caso, 
 e . Aplicando a “fórmula” de projeção (como está normalizada, 
 : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 . 
c) Substituindo por : 
 
 
 
 
 
 
 
Como dito antes, a projeção de um vetor sobre o subespaço em que ele está contido 
(repare que ) é ele mesmo, pois se trata de um autovetor associado ao autovalor . 
XII. Reflexão: 
Na reflexão de um vetor em relação a outro subespaço, é como se o subespaço 
funcionasse como um espelho e nós estivéssemos interessados no reflexo. 
A figura abaixo serve para dar uma noção geométrica, tomando um vetor em 
 
 (de 
vermelho) e uma reta . Acha-se a reflexão (em azul) em torno da reta. 
 
Resumo de Álgera Linear III unidade 
 
11 
 
A reflexão de um vetor do subespaço no próprio subespaço é ele mesmo. . 
Então os vetores de (exceto o vetor nulo) são autovetores associados ao autovalor . A 
reflexão em de um vetor ortogonal ao subespaço (ou seja, um vetor de ) é o seu oposto. 
 . Então os vetores de 
 são autovetores associados ao autovalor . 
IMPORTANTE: Passo-a-passo para se achar reflexão de um vetor em um subespaço : 
a) Calcular a projeção ortogonal do vetor sobre o subespaço; 
b) Aplicar a “fórmula”: ; 
A explicação para a fórmula vem da figura abaixo (foi usado 
 
 para dar a ideia 
geométrica, mas a ideia é a mesma para qualquer subespaço). 
 
Se um vetor (em vermelho) for decomposto em sua componente vertical (roxo) e horizontal 
(verde  projeção do vetor em π) e for feito a reflexão em relação à reta, é fácil notar que, por 
soma vetorial: 
 
Além de: 
 
Substituindo a primeira igualdade na segunda: 
 
 
IMPORTANTE: Existe um outro passo-a-passo para se resolver esse tipo de problema. Se der 
preguiça de calcular a projeção (muito embora esse método também tenha muito cálculo), a 
reflexão de um subespaço em um subespaço : 
a) Encontrar uma base ortogonal do subespaço ; 
b) Encontrar uma base ortogonal do complemento ortogonal do subespaço ; 
c) Fazer a base do subespaço ser a união das duas bases encontradas; 
d) Escrever o vetor mais geral de como combinação linear de sua base (os 
coeficientes que multiplicam os vetores da base devem ser deixados em função das 
entradas do vetor mais geral); 
e) “Aplicar” o operador reflexão dos dois lados da combinação linear; 
Obs.: Mais uma vez, se for pedido um vetor específico ou de um subespaço inteiro, basta alternar 
no uso do vetor ou do vetor na forma mais geral. 
Obs².: Eu aconselho usar o primeiro método (=P). 
Resumo de Álgera Linear III unidade 
 
12 
 
Ex.: Seja 
 
 , ache 
 
 e depois ache . 
PELO PRIMEIRO PASSO-A-PASSO: 
Já sabemos que a projeção (pelo exemplo resolvido na parte de Projeção Ortogonal) é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aplicando a fórmula: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para o vetor específico (4,-2): 
 
 
 
 
 
 
 
PELO SEGUNDO PASSO-A-PASSO: 
a) Encontrar uma base ortogonal do subespaço : 
 
Como a condição já está dada, os vetores de são da forma , então 
 é base ortogonal de . 
 
b) Encontrar uma base ortogonal do complemento ortogonal do subespaço : 
 
 é base ortogonal de (VERIFIQUE). 
 
c) Fazer a base do subespaço ser a união das duas bases encontradas: 
 
 é base ortogonal de 
 
. 
 
d) Escrever o vetor mais geral de como combinação linear de sua base (os 
coeficientes que multiplicam os vetores da base devem ser deixados em função das 
entradas do vetor mais geral): 
 
O vetor que queremos é o mais geral de 
 
, : 
 
Daí tiramos o sistema: 
 
 
 
 
Mas lembrar que os coeficientes ( ) deve estar em função das entradas do vetor 
( ), portanto eles devem ser isolados.Isolando e : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resumo de Álgera Linear III unidade 
 
13 
 
e) “Aplicar” o operador reflexão dos dois lados da combinação linear: 
 
 
Como se trata de uma transformação linear, podemos aplicar as propriedas aqui (vide 
resumo da 2ª unidade): 
 
 
Substituindo os valores de e : 
 
 
 
 
 
 
 
Vale agora lembrar que, como o vetor , a reflexão de um vetor em relação ao 
seu próprio subespaço é ele mesmo (autovetor associado ao autovalor ), 
portanto: 
 
Como o vetor , a reflexão de um vetor do complemento ortogonal de um 
subespaço em relação ao subespaço é seu oposto (autovetor associado ao autovalor 
 ), portanto: 
 
Então temos no fim que:Para o vetor específico (4,-2): 
 
 
 
 
 
 
 
XIII. Cônicas: 
 Chamamos de cônica um conjunto de pontos do plano que satisfazem a equação: 
 
E pode ser representado por uma matriz associada ao vetor correspondente ao ponto, onde 
a matriz é: 
 
 
 
 
 
 Assim, a cônica pode ser escrita na forma matricial: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Como pode ser observado, a matriz está determinada para a base canônica de 
 
 
(espaço ao qual pertence o vetor ) que é ortonormal. Além disso ela é simétrica. Portanto 
admite uma base de autovetores ortonormais. 
Resumo de Álgera Linear III unidade 
 
14 
 
Rotação: 
 As cônicas podem ser “desenhadas” no plano . O que chamamos de termo cruzado é o 
termo que multiplica ao mesmo tempo e . No caso apresentado, é o termo . O termo cruzado 
está associado à rotação da cônica no plano e, para melhor ser representado é preferível eliminar 
esse termo (fazer ). Isso é possível se mudarmos da base ortonormal canônica para a base 
ortonormal de autovetores. Podemos escrever a cônica eliminando o termo cruzado da seguinte 
forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Onde e representam as novas coordenadas. Equivalentemente, podemos achar a 
forma canônica da cônica: 
 
 Isso nada mais é do que uma mudança de base. Podemos então definir e e, assim, 
toda a forma canônica. 
 Serão encontrados dois autovetores unitários (que formarão a nova base ortonormal do 
plano). Esses dois autovetores serão chamados e . Temos então que fazer a 
mudança de coordenadas de para : 
 
 
 
Temos então que: 
 
 
 
Obs.: Note que não muda com a mudança de base. 
A cônica pode ser classificada de três maneiras, de acordo com seus autovalores: 
 
 
 
 
Translação: 
 Por vezes, ao eliminar o termo misto, a equação obtida ainda não fica na origem, então 
recorremos à translação dos novos eixos (visto em Geometria Analítica, Cálculo 1 e Cálculo 2). 
Basta completar quadrados, ver o centro da cônica e, então, transladar os eixos de modo que a 
origem coincida com o centro da cônica. 
IMPORTANTE: Para eliminar o termo cruzado, o passo-a-passo é: 
a) Achar os autovalores e e os autovetores associados a eles. (Esses vetores formarão 
a nova base ortonormal); 
b) Determinar e ; 
c) Classificar a cônica e determinar sua nova forma canônica. 
Resumo de Álgera Linear III unidade 
 
15 
 
Ex.: Considere a cônica . 
a) Escreva a equação da cônica na forma matricial. 
b) Determine uma base ortonormal de 
 
 de forma que a equação com novas coordenadas 
nesta base não tenha termo misto (cruzado). Escreva esta nova equação explicitamente e 
classifique a cônica. 
 
 
a) Basta determinar as correspondências dos termos, lembrando que: 
 
  
 
 
 
 
 
 
 
 
Temos então que: 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto, na forma matricial: 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) A base ortonormal que elimina o termo cruzado é a base de autovetores normalizados: 
 
# Achando os autovalores: 
 
 
 
 
 
Os autovalores são as raízes do polinômio característico (vide resumo da 2ª unidade): 
 
 
 
 
 
# Achando os autovetores associados a cada autovalor (vide resumo da 2ª unidade 
para entender os passos): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto o autovetor na forma mais geral fica e um autovetor associado a é 
 . 
Normalizando para a forma : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto o autovetor na forma mais geral fica e um autovetor associado a é 
 . 
Resumo de Álgera Linear III unidade 
 
16 
 
Normalizando para a forma : 
 
 
 
 
 
 
 
 
A base ortonormal que elimina o termo cruzado é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
# Determinando e : 
Lembrar que: 
 
 
 
Fazendo as equivalências: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E portanto: 
 
 
 
 
# Determinando a nova forma matricial da cônica: 
Lembrar que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fazendo as equivalências: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
# Determinando a nova forma canônica da cônica: 
Lembrar que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fazendo as equivalências: 
 
E não há necessidade de fazer translação. 
 
# Classificando a cônica: 
 
 
 
Logo, a cônica é uma parábola. 
 
A figura abaixo mostra o que foi feito nessa questão. 
A cônica (de verde) não sofre alteração, tudo o que é feito é a definição de novos eixos (de 
roxo) com vetores diretores e (em vermelho). Como não houve translação, os novos 
eixos são os antigos, rotacionados de um ângulo . 
Resumo de Álgera Linear III unidade 
 
17 
 
 
XIV. Quádricas: 
As quádricas são semelhantes às cônicas, mas são superfícies, ou seja, são 
tridimensionais. Tudo o que se aplica nas cônicas, aplica-se nas quádricas. 
Elas são da forma: 
 
E pode ser representado por uma matriz associada ao vetor correspondente ao ponto, 
onde a matriz é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Assim, a cônica pode ser escrita na forma matricial: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Como pode ser observado, a matriz está determinada para a base canônica de 
 
 
(espaço ao qual pertence o vetor ) que é ortonormal. Além disso ela é simétrica. Portanto 
admite uma base de autovetores ortonormais. 
Rotação: 
 As quádricas podem ser “desenhadas” no espaço. No caso apresentado, são os termos „d‟, 
„e‟, „f‟. Assim como nas cônicas, é preferível eliminar esses termos. Isso é possível se mudarmos 
da base ortonormal canônica para a base ortonormal de autovetores. Podemos escrever a 
quádrica eliminando os termos cruzados da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resumo de Álgera Linear III unidade 
 
18 
 
Onde , e representam as novas coordenadas. Equivalentemente, podemos achar a 
forma canônica da quádrica: 
 
 Isso nada mais é do que uma mudança de base. Podemos então definir , e e, assim, 
toda a forma canônica. 
 Serão encontrados três autovetores unitários (que formarão a nova base ortonormal do 
plano). Esses autovetores serão chamados e . Temos então 
que fazer a mudança de coordenadas de para : 
 
 
 
 
 
Temos então que: 
 
 
 
 
Obs.: Note que não mudacom a mudança de base. 
A quádrica pode ser classificada de três maneiras, de acordo com seus autovalores: 
Se os três autovalores tiverem o mesmo sinal, ela é uma elipsóide; 
Se pelo menos um autovalor tiver sinal diferente dos outros, ela é uma hiperbolóide; 
Se pelo menos um autovalor for nulo, ela é uma parabolóide.

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