o conceito de funÇÃo

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Disciplina: Ensino de Funções no Ensino Médio 
Responsáveis: Equipe de Matemática – CAp/UFRJ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O CONCEITO DE FUNÇÃO 
 
 
 
 
 
AUTOR: SAMUEL SILVA 
COLÉGIO ESTADUAL CASEMIRO MEIRELLES 
SÃO JOÃO DE MERITI/RJ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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CONCEITO DE FUNÇÃO 
 
 
APRESENTAÇÃO 
 
• Esse trabalho se propõe a conduzir o aluno a um entendimento amplo e objetivo sobre 
a conceituação de função. Levá-lo a raciocinar matematicamente situações do seu 
cotidiano e encaminhá-lo na busca de soluções práticas para problemas que, por 
outros meios, lhe pareceriam insolúveis. 
• Esse trabalho é basicamente conceitual e não se propõe à elaboração de formas, mas 
a exposição de semelhanças e contradições, apresentando um corolário para que o 
aluno, por si próprio, fazendo ilações, chegue ao conceito de função, facilitando o seu 
entendimento e o seu uso nas questões cotidianas. 
• Propõe-se uma relação interdisciplinar como por exemplo, a Sociologia e a Física 
(ressaltadas no bojo desse trabalho). 
• Sugere-se a execução desse trabalho em, no mínimo, uma sessão correspondente a 
três horas/aula e no máximo, cinco horas/aula, portanto, em um ou dois dias letivos. 
• Destina-se prioritariamente, à 1ª série do Ensino Médio, porém, experimentalmente, 
poderá ser aplicado à 8ª série do Ensino Fundamental. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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OBJETIVOS ESPECÍFICOS: 
 
• Levar o aluno a propor, segundo o seu entendimento, um ou mais conceitos lógicos 
para o tema em questão; 
• Fazer o aluno raciocinar dentro desse contexto na resolução de problemas propostos; 
• Fazer o aluno se sentir como um agente dentro desse contexto e não meramente um 
interlocutor; 
• Torná-lo capaz de interagir com as idéias propostas e chegar a conclusões objetivas e 
práticas; 
 
CONCEITOS MÍNIMOS EXIGIDOS: 
 
• Operações fundamentais no campo dos reais: 
- operações com frações; 
- expressões numéricas; 
- expressões algébricas; 
- potenciação e radiciação. 
• Teoria dos conjuntos: 
- união; 
- intersecção; 
- diferença; 
-complementaridade; 
- produto cartesiano. 
• Sistema cartesiano 
- plano cartesiano ortogonal; 
- representação gráfica. 
 
 
 
 
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ANÁLISE DE PROPOSTA INTERDISCIPLINAR 
Uma sugestão de interação interdisciplinar é demonstrar como o conceito de função pode se aplicar 
perfeitamente a outras disciplinas como a Física, a Química, a Biologia, a Sociologia etc. 
 Exemplo: 
 Em Sociologia é possível o desenvolvimento de um trabalho sobre relacionamento 
familiar, onde os alunos seriam levados a construir listagens de parentes, até um determinado 
grau de parentesco e, a partir daí, estabeleceriam tabelas para que se pudesse demonstrar 
pela forma de relacionamento observado, a dependência ou não entre essas relações, o que, 
em última análise já seria uma apresentação prévia do conceito de função. 
 “Em que sentido determinados relacionamentos podem ser classificados como uma 
 função?” 
 A relação entre pais e filhos, por exemplo, apresentaria algumas implicações a serem 
trabalhadas. Se ambos os pais (pai e mãe) se fizerem presentes, certamente, em nenhum 
sentido, se efetivará o conceito de função, pela ambigüidade das relações. Todavia, subtraída 
a presença de um deles, em um determinado sentido estará clara a existência de uma função. 
Pergunte-se aos alunos em que sentido essa verdade está configurada. Certamente, a 
presença de apenas um dos pais nesta relação, independentemente da quantidade de filhos, 
configuraria uma função, se tomarmos a relação no sentido filhos→pais, o que não ocorreria 
em sentido contrário. Do mesmo modo, a presença de ambos os pais configuraria uma função 
no sentido pais→filhos, se houver apenas um filho. 
 
 
 CONCEITO DE FUNÇÃO 
 
Essa aula é uma dramatização e deve se iniciar com todos os alunos e depois, ao 
longo da exposição, procedendo ao fracionamento em grupos, nas quantidades 
que satisfaçam os objetivos propostos pelo conteúdo. 
 
 
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PRIMEIRO MOMENTO: TODA A TURMA 
 Professor contando: – Um, dois, três, quatro,..., trinta e cinco. Temos 35 alunos 
presentes. Se dividirmos a turma em pares, quantos pares teremos? 
– 17 pares, professor, mas sobra um aluno ou aluna. 
– Muito bem, agora vamos separar a turma por sexo, meninos de um lado e meninas 
do outro. Quantas meninas temos? 
– 1, 2, 3,..., 18 
– Quantos meninos? 
– Nem precisa contar, professor, diminuindo 18 de 35, temos 17 meninos. 
– Perfeito! Agora vamos formar pares entre meninos e meninas, separadamente 
(meninos com meninos e meninas com meninas) o que temos? 
– 9 pares de meninas. 
– 8 pares de meninos, mas sobra um menino. 
– Que interessante! Sobra um menino, perdido no ninho. Agora vamos formar casais, 
cada menino com uma menina. E agora, o que temos? 
– 17 casais professor e sobra uma menina. 
– Que pena! Vai ficar pra “titia”. Brincadeira. Observem a relação que fizemos e vamos 
nomear os dois grupos, ao grupo das meninas daremos a denominação F e ao grupo dos 
meninos, a denominação M. Observem que quando estabelecemos uma relação entre os dois 
grupos com uma sentença restritiva, do tipo, FORMAR CASAIS “NÃO-BÍGAMOS”, estaremos 
construindo uma função, em seu senso primitivo, em qualquer sentido, se o número de 
elementos de F fosse igual ao número de elementos de M. Como isso não ocorre no nosso 
exemplo, a função só será verdadeira no sentido de M para F. 
– Por que professor? 
– Porque essa é uma das exigências para que a relação seja uma função: “todos os 
elementos do domínio (nesse caso, M) devem estar relacionados a um e apenas um diferente 
elemento do contradomínio (nesse caso, F)”. 
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–Então o conjunto dos meninos é domínio e o das meninas o contradomínio? 
– Perfeito! 
– E o que é domínio e contradomínio? 
 – Calma! Vamos por partes. Podemos dizer que o domínio é “a casa onde habitam 
todos os elementos do nosso conjunto de referência” e “o contradomínio a casa dos 
elementos que estarão, de alguma forma, relacionados àqueles”. E os elementos do 
contradomínio que estão relacionados com elementos do domínio, formam um novo conjunto 
chamado conjunto imagem. 
 
 
SEGUNDO MOMENTO (INTERDISCIPLINAR) - BIOLOGIA 
 
Vamos analisar uma outra situação. 
Jack 
Flash 
Sunshine
Spike 
Summer
Springer
A01 
A02 
B01 
B02 
C01 
C02 
C (cavalos) B (Baias) 
 Em um haras (fazenda de criação de cavalos de 
raça), as baias estão representadas por símbolos alfa-
numéricos. 
 B = { A01, A02, B01, B02, C01, C02} 
 Seja C o conjunto dos cavalos desse haras, que 
têm cada um a sua baia. 
 C = {Jack, Flash, Sunshine, Spike, Summer, 
Springer,} 
 Vamos associar cada cavalo de C a uma baia de B 
onde ele é alojado 
 Eis aí, uma função que associa cada cavalo à sua 
respectiva baia. 
 
 
 
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TERCEIRO MOMENTO (INTERDISCIPLINAR) - FÍSICA 
 Analisemos uma outra situaçãointeressante. 
Considere a variação de espaço em relação a tempo durante a trajetória de um trem por uma 
ferrovia. 
O que se deseja saber é como varia o espaço percorrido pelo trem de acordo com o tempo 
gasto. 
Imaginemos que de uma forma qualquer tenham sido feitas medidas do espaço percorrido 
pelo trem em intervalos de tempo iguais, digamos, de hora em hora, com os seguintes resultados: 
Tempo em horas 0 1 2 3 4 5 
Espaço em km 0 20 20 60 80 100
 Em que consiste essa tabela? 
Em síntese, podemos nos referir a dois conjuntos de números, postos em correspondência, ou 
seja, um relacionado ao outro por uma lei. 
 
Podemos afirmar que entre dois conjuntos há uma correspondência quando existe uma “Lei” 
tal que ao se considerar um elemento de um conjunto, podemos associá-lo fazendo uso da “lei” a 
outro elemento do outro conjunto. 
- Que “Lei “ é essa professor? 
 – É a regra pela qual se correspondem os elementos dos dois conjuntos, regra essa que serve 
de instrumento para caracterizar a função. 
0 
20 
40 
60 
80 
E 
0 
1 
2 
3 
4 
T 
 Vejamos: 
 
 
 
 
 
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 Dados os conjuntos T (tempo) e E (espaço). Qual a regra ou lei que associa um elemento de T 
a um elemento de E? 
 Observando a formação ou regularidade dos elementos que se sucedem em ambos os 
conjuntos, podemos dizer que a correspondência entre os mesmos pode ser representada 
pela seguinte frase: 
 “O espaço é numericamente igual a 20 vezes o tempo, ou seja, 
 Espaço = 20 x tempo” 
 Então,que regra deveríamos usar para passarmos do conjunto T para o conjunto E? 
 “Multiplique por 20 os elementos de T para obter os elementos de E” 
 A função entre os conjuntos T e E fica determinada por essa regra. 
 
 
 
NOÇÃO DE VARIÁVEL 
 Variável é um elemento genérico de um conjunto, ou seja, é o símbolo que tem a 
propriedade de poder representar qualquer elemento do conjunto. 
 Costuma-se representa as variáveis pelas letras do alfabeto: w, x, y, z, etc. 
 Exemplo: 
 Dado o conjunto dos números naturais 
 N = {1, 2, 3, 4,...} 
 Podemos representar genericamente qualquer elemento desse conjunto pela 
letra n (ou qualquer outra). 
 Nesse caso, dizemos que n é uma variável, cujo campo de variação ou 
“domínio” é o conjunto N dos números naturais. 
 
Concluímos, portanto, que o “domínio” da variável é o conjunto sobre o qual a mesma é 
definida. 
 
 
 
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CONCEITO FORMAL DE FUNÇÃO 
 Considerando dois conjuntos quaisquer. 
 Se a cada elemento de um dos conjuntos, que vamos nomear por A, estiver associado de 
algum modo, a apenas um elemento do outro conjunto, que chamaremos de B, essa associação pode 
ser definida como uma função de A em B. 
 A função é representada pelas letras: 
 f, g, h, ...., etc 
 Resumidamente: 
 f: A→B 
 que pode ser lido das seguintes maneiras: 
 – A função f associa a cada elemento de A um só elemento de B; 
 – f é uma função de A em B. 
Exemplos de funções: 
1. Sejam os conjuntos M e N. A correspondência entre os elementos x de M e os 
 elementos y de N estabelecida pela direção das setas, pode ser considerada uma 
 função de M em N. 
 
 
 
 
 
 
N M 
1 
2 
3 
4 
5 
0 
1 
0 
9 
4 
25 
16 
 
 
Observe que a todo elemento x de M corresponde apenas um elemento y de N, logo o 
esquema representa uma função de M em N. 
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2. Observando o tipo de relação anterior, você seria capaz de formular uma lei para essa 
relação? 
 Se f: M→N e se para: 
 x = 0, temos y = 0 
 x = 1. temos y = 1 
 x = 2, temos y = 4 
 x = 3, temos y = 9 
 x = 4, temos y = 16 
 x = 5, temos y = 25, 
 podemos concluir que quando multiplicamos a variável x de M por ela própria encontramos o 
elemento y em N correspondente a x, assim: 
 y = x.x ou y = x², ou ainda f(x) = x² 
3. De quantas maneiras simbólicas podemos escrever a função do exemplo anterior? 
Podemos utilizar uma das seguintes simbologias: 
a) f:M→N tal que f(x) = x² 
b) f:M→N tal que y = f(x) = x² 
c) f de M em N tal que f(x) = x² 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXERCÍCIOS 
1) Observando cada um dos diagramas abaixo diga qual das relações estabelecidas por meio de 
setas, são funções e justifique. 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
b) c) 
d) 
 
 
 
 
 
 
e) f) 
a 
b 
c 
d 
x 
y 
z 
w 
a 
b 
c 
d 
x 
y 
z 
 
f4 
a 
b 
c 
d 
x 
y 
z 
 
f5 
a 
b 
c 
 
f6 
x 
y 
z 
 
a 
b 
c 
x 
y 
z 
w 
f2 
a 
b 
c 
d 
f3 
x 
y 
z 
 
f1 
 
2) Que conjunto constitui o domínio das funções f1,f3, f5 e f6 do exercício anterior? 
 
3) Em um mapa geográfico, cada cidade ou cada região corresponde a um determinado ponto. 
Tal correspondência é uma função? 
 
4) Sabe-se que, aquecendo um corpo, este se dilata, isto é, aumenta de volume. Podemos 
afirmar então que volume (V) é uma função da temperatura (T)? 
 
5) Represente por meio de símbolos a funções dos exercícios anteriores. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES 
 
1) Qual é a notação das seguintes funções de ℜ em ℜ? 
a) F que associa cada número real ao seu dobro. 
b) g que associa cada número real ao seu quadrado. 
c) h que associa cada número real ao seu triplo menos 1. 
 
2) Qual a notação de cada uma das funções? 
a) f é a função de ℜ* em ℜ* que associa cada número real ao seu inverso. 
b) g é a função de Ν em Ν que associa cada número natural ao quadrado de seu 
sucessor. 
 
3) Seja f a função de Ζ em Ζ definida por f(x) = 2x + 3. Calcule: 
a) f(0) b) f(1) c) f(-2) 
 
4) Em relação à questão anterior, explique por que não é possível calcular f(½) 
 
5) Dados os conjuntos A = {-1, 0, 1, 2} e B = {-1, 0, 1, 2, 3, 5, 8}, quais das relações seguintes 
são funções de A em B? 
a) R = {(x,y), com x∈A e y∈B / y = 1/x} 
b) f = {(x,y), com x∈0A e y∈0B / y = x² + 1} 
c) g = {(x, y), com x∈0A e y∈0B / y² = x²} 
d) h = {(x,y), com x∈A e y∈B / y = x³} 
 
6) Dados A = {-2, -1, 0, 1, 2}, B = {-1, 0, 1, 3, 4} e a correspondência entre A e B dada por y = x² 
com x∈A e y∈B, faça um diagrama e diga se f é uma função de A em B. 
 
 
 
 
 
 
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7) Um consumidor comprou um automóvel por R$ 20.000,00, constatando que, no final de cada 
ano de uso, o valor do veículo diminui para 90% do valor de um ano atrás. Veja na tabela a 
seguir o que acontece até o final do 2º ano. 
 
Tempo de uso do automóvel (ano) Valor de mercado (R$) 
0 20.000,00 
1 0,9x20.000,00 
2 0,9x0,9x20.000,00= (0,9)²x20.000,00 
 
 
 
 
a) Determine o valor do automóvel ao final de 3 anos e ao final de x anos. 
b) Indicando por y o valor de mercado desse automóvel com x anos de uso, obtenha a 
equação que relaciona x e y. 
c) O valor de mercado do automóvel é função do tempo de uso? Por quê? 
 
8) Dentro de certos limites, a variação do comprimento da coluna de mercúrio contido em um 
certo termômetro é de 8 mm, para mais ou menos, conforme a temperatura aumente 5° C ou 
diminua 5° C, respectivamente. À temperatura 0° C, o comprimento da coluna é 40 mm. 
a) Construa uma tabela para registrar a temperatura em graus Celsius, variando de 5 em 
5° C, e o comprimento da coluna, em milímetros, até que o termômetro marque 15° C. 
b) Indicando por y o comprimento, em milímetros, da coluna para cada temperatura x, em 
graus Celsius, dentro dos limites considerados, obtenha y em função de x. 
 
9) Para encher uma piscina, até então vazia, foi aberta uma torneira cuja vazão é de 26 litros por 
minuto. 
a) Indicando por y o volume em litros de água despejada pela torneira em x minutos, 
obtenha a equação que relaciona x e y. 
b) O volume de água despejada é função do tempo? Pro quê? 
 
 
 
 
 
 
 
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ORIENTAÇÕES AO PROFESSOR 
 
 Não é necessário decorar o texto. Você pode criar seu próprio texto, propondo novas 
situações, mantendo os alunos agrupados ou dividindo-os em grupos em quantidades apropriadas à 
formulação e exposição dos conteúdos. 
 Havendo a possibilidade técnica (existência de laboratório de informática na unidade escolar), 
uma alternativa interessante para desperta mais ainda o interesse do aluno e provocar a sua maior 
compreensão do comportamento gráfico das funções, é o uso de ferramenta gráfica, como o Winplot 
e outra de geometria dinâmica, o Régua e Compasso, dois softwares bastante interessantes e com 
excelentes recursos, que o professor pode ‘baixar’ gratuitamente pela Internet, nos seguintes 
endereços eletrônicos: 
 
 http://www.ufrj.br/ 
 http://www.ufrgs.br/ 
 
Esse trabalho inicial se propõe a construção conceitual de funções.. Sugere-se que não sejam 
propostos exercícios muito complexos que possam criar atritos e desvirtuar do propósito inicial. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
BIBLIOGRAFIA 
 
 
− DANTE, L R. Matemática, 1ª ed. São Paulo, Ática, 2005. 
− OLIVEIRA, Antonio Marmo de e SILVA, Agostinho. Biblioteca de Matemática Moderna, 1ª ed. São 
Paulo, Lisa, 1968. 
− PAIVA, Manoel. Matemática, 1ª ed. São Paulo, Moderna, 2004. 
− IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; DEGENSZAJN, David Mauro e PÉRIGO, Roberto. 
Matemática, volume único- manual do professor, 8ª ed. São Paulo, Atual, 1997. 
 
 
 
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