ensino prendizagem com Modelagem matemática
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ensino prendizagem com Modelagem matemática


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Ensino	-	aprendizagem	com	Modelagem
matemática
BOOK	·	AUGUST	2002
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32
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660
1	AUTHOR:
Rodney	Carlos	Bassanezi
University	of	Campinas
155	PUBLICATIONS			1,077	CITATIONS			
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Available	from:	Rodney	Carlos	Bassanezi
Retrieved	on:	22	March	2016
Suma´rio
1 Modelagem Matema´tica \u2013 Um me´todo cient´\u131fico de pesquisa ou uma es-
trate´gia de ensino e aprendizagem? 15
1.1 Introduc¸a\u2dco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2 Considerac¸o\u2dces sobre Modelagem Matema´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.1 Modelagem e Modelos Matema´ticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2.2 Usos da Modelagem Matema´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2 Te´cnicas de Modelagem 43
2.1 Introduc¸a\u2dco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.2 Formulac¸a\u2dco de Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.2.1 Escolha de temas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.2.2 Coleta de dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.2.3 Formulac¸a\u2dco de modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.3 Regressa\u2dco ou Ajuste de Curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.3.1 Ajuste Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.3.2 Ajuste Quadra´tico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
2.4 Variac¸o\u2dces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
2.4.1 Variac¸o\u2dces Discretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2.4.2 Variac¸o\u2dces Cont´\u131nuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
2.5 Equac¸o\u2dces de Diferenc¸as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
2.5.1 Equac¸o\u2dces de Diferenc¸as Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
2.5.2 Sistemas de Equac¸o\u2dces de Diferenc¸as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
2.5.3 Equac¸o\u2dces de Diferenc¸as na\u2dco-lineares (1a¯ ordem) - estabilidade . . . . . 117
2.6 Equac¸o\u2dces Diferenciais Ordina´rias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
2.6.1 Equac¸o\u2dces Diferenciais Ordina´rias de 1a¯ ordem . . . . . . . . . . . . . . 125
2.6.2 Equac¸o\u2dces diferenciais lineares ordina´rias de 2a¯ ordem . . . . . . . . . . 141
2.6.3 Modelos compartimentais lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
2.6.4 Modelos compartimentais na\u2dco-lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
3 Modelagem Matema´tica em Programas de Cursos Regulares 171
3.1 Modelac¸a\u2dco Matema´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
3.2 Modelagem matema´tica \u2013 uma disciplina emergente nos programas de
formac¸a\u2dco de professores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
3.2.1 Modelagem Matema´tica: uma disciplina para formac¸a\u2dco de professores. 181
5
3.3 Algumas Experie\u2c6ncias de Modelagem em Disciplinas Regulares . . . . . . . . 184
3.3.1 Escolha de um tema para todo o curso . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
3.3.2 Modelagem Parcial e Resoluc¸a\u2dco de problemas . . . . . . . . . . . . . . 185
4 Modelagem como Estrate´gia para Capacitac¸a\u2dco de Professores de
Matema´tica 203
4.1 Introduc¸a\u2dco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
4.2 Programa para Cursos de Aperfeic¸oamento de Professores . . . . . . . . . . . 204
4.2.1 Justificativas para o ensino de matema´tica . . . . . . . . . . . . . . . . 206
4.2.2 Diretrizes ba´sicas para planejamento do curso . . . . . . . . . . . . . . 208
4.2.3 Etapas de desenvolvimento do programa . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
4.3 Casos Estudados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
4.3.1 Tema: abelha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
4.3.2 Tema: MAC¸A\u2dc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
4.4 Ana´lise de dados (Me´todos estat´\u131sticos) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
4.5 Modelos Variacionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
4.5.1 Processo de Resfriamento da Mac¸a\u2dc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
4.5.2 Propagac¸a\u2dco de Doenc¸as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
4.5.3 Tema: Vinho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
5 Modelagem na Iniciac¸a\u2dco Cient´\u131fica 287
5.1 Introduc¸a\u2dco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
5.1.1 To´picos ou conceitos isolados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
5.1.2 Conceitos interrelacionados ou mate´ria espec´\u131fica . . . . . . . . . . . . 290
5.1.3 Disciplina espec´\u131fica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
5.2 Projeto de Iniciac¸a\u2dco Cient´\u131fica
\u201cModelagem Matema´tica de Feno\u2c6menos Biolo´gicos\u201d . . . . . . . . . . . 293
5.2.1 Programa desenvolvido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
5.2.2 Modelos Desenvolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
5.2.3 Considerac¸o\u2dces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
5.3 Iniciac¸a\u2dco Cient´\u131fica em outros pa´\u131ses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
6 Evoluc¸a\u2dco de Modelos 325
6.1 Introduc¸a\u2dco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
6.2 Modelos Determin´\u131sticos de Populac¸o\u2dces Isoladas . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
6.2.1 Modelo Malthusiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
6.2.2 Modelo Log´\u131stico cont´\u131nuo (Verhurst) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
6.2.3 Modelo de Montroll (1971) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
6.2.4 Modelo de Gompertz (1825) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
6.2.5 Modelo de Smith (1963) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
6.2.6 Modelo de Ayala, Ehrenfeld, Gilpin (1973) . . . . . . . . . . . . . . . 346
6.2.7 Modelos Mesosco´picos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
6.2.8 Crescimento em peso de corvinas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
6
6.2.9 Dina\u2c6mica Populacional de molusco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352
6.3 Modelos Subjetivos de Crescimento Populacional . . . . . . . . . . . . . . . . 356
6.3.1 Modelo Estoca´stico de Pielou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
6.3.2 Modelos variacionais Fuzzy [1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360
6.4 Modelos de Interac¸a\u2dco entre espe´cies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362
6.4.1 Modelo de Lotka-Volterra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362
6.4.2 Modelo Geral de Kolmogorov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
6.4.3 Modelo de Holling-Tanner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370
6.5 Controle Biolo´gico de Pragas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
6.5.1 Controle Biolo´gico da Broca Cana-de-Ac¸u´car . . . . . . . . . . . . . . 372
6.5.2 Modelo do tipo Lotka-Volterra: vespa × broca . . . . . . . . . . . . . 376
6.5.3 Modelo de Nicholson-Bailey (1935) [15] . . . . . . . . . . . . . . . . . 380
7
8
Apresentac¸a\u2dco
Este livro comec¸ou a ser escrito nos meados da de´cada de 90. A cada nova experie\u2c6ncia
realizada, alguma informac¸a\u2dco era acrescentada ou retirada. O plano original sofreu modi-
ficac¸o\u2dces cont´\u131nuas, geradas pela pro´pria dina\u2c6mica dos argumentos envolvidos, e pela nossa
atuac¸a\u2dco em cursos regulares, em programas de aperfeic¸oamento de professores e em proje-
tos de Iniciac¸a\u2dco Cient´\u131fica. Do trabalho com modelagem matema´tica surgiu a maioria dos
exemplos citados. A dina\u2c6mica pro´pria