ensino prendizagem com Modelagem matemática
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a lo´gica fuzzy, as func¸o\u2dces recursivas, e de um modo geral a computabilidade. A interac¸a\u2dco
entre a computac¸a\u2dco e a matema´tica tem crescido de tal forma que seria dif´\u131cil afirmar quem
ajuda quem em seu desenvolvimento.
As va´rias Cie\u2c6ncias Sociais esta\u2dco, gradualmente, tornando-se clientes do poder da
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Matema´tica para a organizac¸a\u2dco de seus dados e para testar a objetividade de seus pen-
samentos. Em Economia, a econometria tem se desenvolvido rapidamente e tornou-se um
estudo especializado por si mesmo. A ana´lise de equil´\u131brio em Economia (equil´\u131brio de mer-
cado, equil´\u131brio de renda, d´\u131vida etc.) tem usado a teoria de controle como instrumento
em busca de otimizac¸o\u2dces. A ana´lise da dina\u2c6mica de sistemas (modelos de d´\u131vida externa,
renda familiar, mercado, ciclos de maturac¸a\u2dco etc) utiliza sistemas de equac¸o\u2dces diferenciais e
de diferenc¸as. A programac¸a\u2dco matema´tica, ca´lculo de variac¸o\u2dces e teoria dos jogos te\u2c6m sido
ferramentas matema´ticas utilizadas tambe´m em problemas de otimizac¸a\u2dco nesta a´rea.
Outras a´reas sociais (Geografia, Histo´ria, Sociologia, Pol´\u131tica, Psicologia, Antropologia
etc) ainda esta\u2dco nos primeiros passos (modelos elementares) no que se refere ao uso de
matema´tica em suas pesquisas e o progresso tem sido lento. Algumas aplicac¸o\u2dces foram
obtidas com a Ana´lise Estat´\u131stica de Dados, Teoria dos Grafos, Teoria da Informac¸a\u2dco e
Teoria dos Jogos, mas os resultados te\u2c6m sido pouco significativos.
A Arqueologia usa matrizes para a classificac¸a\u2dco de dados e reconhecimento de modelos; a
Lingu´\u131stica usa um tratamento matema´tico para a grama´tica e para a sintaxe. A Arquitetura
acha inspirac¸a\u2dco nas formas e modelos geome´tricos e a Filosofia tem sido influenciada pela
matematizac¸a\u2dco da lo´gica, por filo´sofos da matema´tica e pelo estudo dos me´todos cient´\u131ficos.
As te´cnicas de computac¸a\u2dco gra´fica te\u2c6m sido utilizadas nas artes criativas (televisa\u2dco, cinema,
pintura etc.) e a mu´sica computacional esta´ se iniciando (veja Hall, 1978, [18]).
Modelagem como estrate´gia de ensino-aprendizagem
O e\u2c6xito dos modelos matema´ticos quanto a` previsibilidade - causal ou estoca´stica -tem
implicado seu uso tambe´m em situac¸o\u2dces menos favora´veis e, neste sentido a Matema´tica
Aplicada vem ganhando terreno nas u´ltimas de´cadas, proliferando como curso de graduac¸a\u2dco
e po´s-graduac¸a\u2dco estruturados em va´rias universidades bem conceituadas.
A to\u2c6nica dos cursos de graduac¸a\u2dco e´ desenvolver disciplinas matema´ticas \u201daplica´veis\u201d,
em especial aquelas ba´sicas que ja´ serviram como auxiliares na modelagem de feno\u2c6menos
de alguma realidade como Equac¸o\u2dces Diferenciais Ordina´rias e Parciais, Teoria do Controle
O´timo, Programac¸a\u2dco Linear e na\u2dco Linear, Teoria das Matrizes, Me´todos Computacionais,
Ana´lise Nume´rica etc.
Nos cursos de Mestrado e Doutorado, ale´m de um aprofundamento das disciplinas
matema´ticas, o objetivo principal e´ desenvolver a criatividade matema´tica do aluno no sen-
tido de torna´-lo um modelador matema´tico quando se dedica ao estudo de alguma situac¸a\u2dco
fenomenolo´gica.
O po´s-graduando pode tambe´m ser levado a realizar pesquisas visando a obtenc¸a\u2dco de
novos me´todos e te´cnicas que facilitem a modelagem (me´todos nume´ricos na maioria das
vezes ou teorias matema´ticas em alguns casos isolados). E´ noto´rio o crescimento da procura
por estes \u201dcursos aplicados\u201d em detrimento do bacharelado em Matema´tica Pura.
\u201cConve´m lembrar que em grande escala, a aprendizagem teve in´\u131cio a partir do se´culo
XIX quando Ler-Escrever-Contar eram os 3 pilares da educac¸a\u2dco das pessoas. A matema´tica
vinha em terceiro lugar mas seu objetivo era bem claro: ensinar algor´\u131tmos efetivos para
as 4 operac¸o\u2dces aritme´ticas e familiarizar o aluno com sistema de peso, volume, dinheiro e
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tempo\u201d (Garding, [7]).
O desenvolvimento de novas teorias matema´ticas e suas apresentac¸o\u2dces como algo acabado
e completo acabaram conduzindo seu ensino nas escolas de maneira desvinculada da reali-
dade, e mesmo do processo histo´rico de construc¸a\u2dco da matema´tica. Assim e´ que um teorema
e´ ensinado, seguindo o seguinte esquema: \u201cenunciado \u2192 demonstrac¸a\u2dco \u2192 aplicac¸a\u2dco\u201d,
quando de fato o que poderia ser feito e´ sua construc¸a\u2dco na ordem inversa (a mesma que deu
origem ao teorema), isto e´, sua motivac¸a\u2dco (externa ou na\u2dco a` matema´tica), a formulac¸a\u2dco de
hipo´teses, a validac¸a\u2dco das hipo´teses e novos questionamentos, e finalmente seu enunciado.
Estar´\u131amos assim reinventando o resultado juntamente com os alunos, seguindo o processo
da modelagem e conjugando verdadeiramente o bino\u2c6mio ensino-aprendizagem.
A individualizac¸a\u2dco dos cursos de Matema´tica, com a separac¸a\u2dco artificial de \u201cMatema´tica
Pura\u201d e \u201cMatema´tica Aplicada\u201d, pressupo\u2dce que a primeira se interessa mais pelas formal-
izac¸o\u2dces teo´ricas enquanto que a segunda se dedica a`s suas aplicac¸o\u2dces. Esta separac¸a\u2dco pode
ter como causa o pedantismo exagerado dos puristas que se sentem autosuficientes e na
maioria das vezes, nunca experimentaram aplicar seus conhecimentos em outras a´reas \u2013
talvez com medo de falharem. Consideram a matema´tica aplicada de categoria inferior, da
mesma forma que os matema´ticos grecos consideravam o \u201cca´lculo\u201d uma ferramenta popular
e se isolavam em comunidades secretas para discutirem a \u201cverdadeira matema´tica\u201d.
Na\u2dco pretendemos fazer uma apologia da matema´tica aplicada em detrimento da pura,
afinal a matema´tica e´ uma cie\u2c6ncia ba´sica e importante para atender a va´rios interesses e
na\u2dco deve servir apenas aos seus usua´rios e a` sociedade em geral - deve tambe´m cuidar de
seus pro´prios interesses.
No processo evolutivo da Educac¸a\u2dco Matema´tica, a inclusa\u2dco de aspectos de aplicac¸o\u2dces
e mais recentemente, resoluc¸a\u2dco de problemas e modelagem, te\u2c6m sido defendida por va´rias
pessoas envolvidas com o ensino de matema´tica. Isto significa, entre outras coisas, que
a mate´ria deve ser ensinada de um modo significativo matematicamente, considerando as
pro´prias realidades do sistema educacional.
Selecionamos aqui alguns dos principais argumentos para tal inclusa\u2dco (veja Blum, [16])
1. Argumento formativo \u2013 enfatiza aplicac¸o\u2dces matema´ticas e a performace da modelagem
matema´tica e resoluc¸a\u2dco de problemas como processos para desenvolver capacidade em
geral e atitudes dos estudantes, tornando-os explorativos, criativos e habilidosos na
resoluc¸a\u2dco de problemas.
2. Argumento de compete\u2c6ncia cr´\u131tica \u2013 focaliza a preparac¸a\u2dco dos estudantes para a
vida real como cidada\u2dcos atuantes na sociedade, competentes para ver e formar ju´\u131zos
pro´prios, reconhecer e entender exemplos representativos de aplicac¸o\u2dces de conceitos
matema´ticos.
3. Argumento de utilidade \u2013 enfatiza que a instruc¸a\u2dco matema´tica pode preparar o estu-
dante para utilizar a matema´tica como ferramenta para resolver problemas em difer-
entes situac¸o\u2dces e a´reas.
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4. Argumento intr´\u131nseco \u2013 considera que a inclusa\u2dco de modelagem, resoluc¸a\u2dco de proble-
mas e aplicac¸o\u2dces fornecem ao estudante um rico arsenal para entender e interpretar a
pro´pria matema´tica em todas suas facetas.
5. Argumento de aprendizagem \u2013 garante que os processos aplicativos facilitam ao es-
tudante compreender melhor os argumentos matema´ticos, guardar os conceitos e os
resultados, e valorizar a pro´pria matema´tica.
6. Arqumento de alternativa epistemolo´gica \u2013 A modelagem tambe´m se encaixa no Pro-
grama Etnomatema´tica, indicado por D\u2019Ambrosio ([3],[4]) \u201cque propo\u2dce um enfoque
epistemolo´gico alternativo associado a uma historiografia mais ampla. Parte da reali-
dade e chega, de maneira natural e atrave´s de um enfoque cognitivo com forte funda-
mentac¸a\u2dco cultural, a` ac¸a\u2dco pedago´gica\u201d, atuando, desta forma, como uma metodologia
alternativa mais adequada a`s diversas realidades so´cio-culturais.