ensino prendizagem com Modelagem matemática
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ensino prendizagem com Modelagem matemática


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tampa, isto e´,
cos\u3b2 =
`/2
r
\u21d2 ` = 2r cos\u3b2
Portanto,
`/2
r
=
L/2
R
\u21d2 ` = rL
R
(2.2)
(Este mesmo resultado pode ser obtido da semelhanc¸a dos tria\u2c6ngulos OAB e OA\u2032B\u2032).
Da figura 2.4, temos
h\u2032 = (R\u2212 r) cos\u3b2 (projec¸a\u2dco ortogonal de h).
Usando as expresso\u2dces (2.1) e (2.2) temos h\u2032 em func¸a\u2dco de L e `, isto e´,
h\u2032 =
L\u2212 `
2
(2.3)
Enta\u2dco, se H e´ a altura da pipa, vem, do Teorema de Pita´goras
h2 = H2 + (R\u2212 r)2 cos2 \u3b2 =\u21d2 H =
\u221a
h2 \u2212 (R\u2212 r)2 cos2 \u3b2
ou
H =
\u221a
h2 \u2212 (L\u2212 `)
2
4
(2.4)
O volume de um tronco de cone e´ dado por
V =
1
3
piH(R2 + rR+ r2) (2.5)
e \u201cseu\u201d Joaquim aproxima este volume usando a fo´rmula do cilindro me´dio, isto e´, considera
rm =
r +R
2
\u21d2 V ' pir2mH (2.6)
O seguinte problema foi proposto pelos cursistas:
Problema: Construir uma pipa de 1000 litros, com altura 1.5m e dia\u2c6metro da base igual a
1m.
Soluc¸a\u2dco:
Rodney Carlos Bassanezi 51
Suponhamos que as ripas sejam regulares (forma de reta\u2c6ngulo) e tenham largura de
10cm.
Dados: V = 1000dm3, H = 15dm, R = 5dm e L = 1dm.
Usando a expressa\u2dco (2.5) do volume, temos
r =
\u2212R±
\u221a
R2 \u2212 4(R2 \u2212 3VpiH )
2
como r deve ser positivo, usando os dados, obtemos r = 4.20dm.
O valor de ` e´ obtido de (2.2)
` =
rL
R
=
4.2
5
= 0.84dm
e o valor de h vem de (2.3)
h =
\u221a
H2 +
(L\u2212 `)2
4
= 15.0002dm
Sera\u2dco utilizadas n ripas, onde
n \u223c= P
L
=
2piR
L
= 31.4 ripas. Portanto, uma delas deve ser menor!
Se quisermos que todas as ripas utilizadas sejam iguais, devemos usar 32 ripas. Enta\u2dco,
32 \u223c= 2piR
L\u2032
\u21d2 L\u2032 = 0.98175dm
e
`\u2032 =
rL\u2032
R
=
4.20× L\u2032
5
= 0.82467dm
O a\u2c6ngulo de encaixe deve ser
\u3b2 = arccos
`\u2032/2
r
= arccos(0.098175) = 84.366\u25e6.
Exerc´\u131cio: Resolva o problema anterior, usando a fo´rmula (2.6) do volume do \u201cseu\u201d
Joaquim.
Formulac¸a\u2dco dina\u2c6mica
A formulac¸a\u2dco de modelos dina\u2c6micos, em geral, envolve dois tipos de varia´veis (depen-
dentes e independentes) onde a varia´vel independente e´ geralmente o tempo. O conceito de
52 Modelagem Matema´tica
uma relac¸a\u2dco entre duas varia´veis e´ bem conhecido, mas podemos fazer distinc¸a\u2dco entre uma
relac¸a\u2dco funcional e uma relac¸a\u2dco estat´\u131stica.
A relac¸a\u2dco funcional entre duas varia´veis e´ expressa por uma fo´rmula matema´tica:
y = f(x),
onde x e´ a varia´vel independente e y a varia´vel dependente.
Exemplo 2.1. Tila´pias do Nilo
A tabela 2.1 nos da´, em ordem crescente, o peso me´dio e o comprimento da \u201cTila´pia do
Nilo\u201d (Sarotherodon niloticus) \u2013 peixe de origem africana e bem adaptado em nossas a´guas
\u2013 em relac¸a\u2dco a` sua idade:
t: idade x: comp. me´dio y: peso me´dio
0 11.0 26
1 15.0 59.5
2 17.4 105.4
3 20.6 200.2
4 22.7 239.5
5 25.3 361.2
6 27.4 419.8
7 28.2 475.4
8 29.3 488.2
Tabela 2.1: Dados sobre a tila´pia do Nilo.
Considerando as varia´veis: peso me´dio y e o comprimento x, podemos relaciona´-las num
gra´fico como na figura 2.5 .
A curva de relac¸a\u2dco estat´\u131stica (curva de regressa\u2dco), figura 2.6, indica a tende\u2c6ncia geral
entre o peso me´dio e o comprimento da espe´cie estudada. Podemos, neste caso, observar que
a maioria dos pontos na\u2dco esta\u2dco sobre a curva \u2013 esta dispersa\u2dco pode ser considerada como
sendo de natureza rando\u2c6nica.
Relac¸o\u2dces estat´\u131sticas sa\u2dco frequentemente utilizadas quando na\u2dco se tem a exatida\u2dco de uma
relac¸a\u2dco funcional.
Uma regressa\u2dco ou curva de tende\u2c6ncia pode ser o primeiro passo para uma Modelagem.
Uma relac¸a\u2dco funcional, obtida atrave´s de um ajuste dos dados, propicia condic¸o\u2dces para
a elaborac¸a\u2dco de hipo´teses que levam a` formulac¸a\u2dco dos modelos. Os modelos sa\u2dco relac¸o\u2dces
funcionais que incorporam as particularidades do feno\u2c6meno analisado.
Por exemplo,
p(l) = b l\u3bb
e´ uma relac¸a\u2dco funcional entre o comprimento e o peso do peixe que incorpora a taxa de
metabolismo b e a forma do peixe (traduzida pelo para\u2c6metro \u3bb). Com os dados espec´\u131ficos
Rodney Carlos Bassanezi 53
Figura 2.5: Gra´fico de dispersa\u2dco.
y = 0.0149x3.103
Figura 2.6: Curva de regressa\u2dco.
da tabela 2.1, temos
p(l) = 0.0149 l3.103
Esta relac¸a\u2dco funcional pode ainda ser considerada como um modelo esta´tico da relac¸a\u2dco entre
as varia´veis peso e comprimento da tila´pia.
54 Modelagem Matema´tica
Agora, se considerarmos as relac¸o\u2dces funcionais:
p(t) = pmax
(
1\u2212 e\u2212 \u3b23 t
)3
ou l(t) = lmax(1\u2212 e\u2212\u3b2\u3bbt)
temos modelos dina\u2c6micos que relacionam as varia´veis de estado peso e comprimento do peixe
com o tempo, permitindo fazer previso\u2dces destas varia´veis (\u3b2 e´ a constante de catabolismo,
representando a taxa de energia gasta para o peixe se movimentar \u2013 veja modelos de von
Bertalanffy, para´grafo 2.6).
Muitos modelos interessantes sa\u2dco formulados atrave´s de conhecimentos e dados obtidos
em estudos e pesquisas ligados a` Etnocie\u2c6ncia ou mais particularmente a` Etnomatema´tica
([4],[5] e [6]) que, via de regra, incorpora situac¸o\u2dces regidas pelo princ´\u131pio ba´sico da Natureza:
\u201cminimizar o esforc¸o e obter o ma´ximo rendimento\u201d. Exemplos de modelagem baseada neste
princ´\u131pio sa\u2dco abundantes na literatura.
A Etnocie\u2c6ncia propo\u2dce a redescoberta de sistemas de conhecimentos adotados em outras
culturas. Quando estes conhecimentos utilizam, mesmo que intrinsicamente, algum proced-
imento matema´tico enta\u2dco, por meio de modelagem pode-se chegar a sua origem de maneira
mais eficiente. Desta forma, muitas situac¸o\u2dces provenientes da Etnomatema´tica te\u2c6m pro-
duzido bons resultados, em relac¸a\u2dco ao ensino-aprendizagem, quando trabalhadas atrave´s da
modelagem matema´tica. A ana´lise do croqui do \u201cseu\u201d Joaquim, para construc¸a\u2dco de tone´is
de vinho, e´ um exemplo t´\u131pico deste processo.
2.3 Regressa\u2dco ou Ajuste de Curvas
O termo regressa\u2dco surgiu no se´culo XIX, utilizado por Sir Francis Galton que estudou
a relac¸a\u2dco entre altura de pais e filhos, observando que, na me´dia, havia um decre´scimo nos
valores encontrados entre as duas gerac¸o\u2dces. Ele considerou esta tende\u2c6ncia como sendo uma
regressa\u2dco gene´tica e por algum motivo, na\u2dco muito claro, chamou este fato de \u201cregression to
mediocrity\u201d([7]).
Uma regressa\u2dco ou ajuste de curvas e´ um recurso formal para expressar alguma tende\u2c6ncia
da varia´vel dependente y quando relacionada com a varia´vel independente x. Em outras
palavras, regressa\u2dco e´ um mecanismo ou artif´\u131cio que fornece uma relac¸a\u2dco funcional quando
se tem uma relac¸a\u2dco estat´\u131stica.
Se considerarmos os dados da tabela 2.1 sobre tila´pias (comprimento × peso) podemos
supor que exista, para cada n´\u131vel de comprimento x, uma distribuic¸a\u2dco de probabilidades do
peso y correspondente, conforme figura 2.7
Uma curva de regressa\u2dco e´ bastante u´til para uma formulac¸a\u2dco simplificada dos dados ou
verificac¸a\u2dco de alguma tende\u2c6ncia entre eles.
Quando analisamos algum feno\u2c6meno ou situac¸a\u2dco atrave´s de dados nume´ricos estamos in-
teressados, ale´m da descric¸a\u2dco e tende\u2c6ncias locais fornecidas por uma curva de regressa\u2dco, em
saber se a relac¸a\u2dco funcional correspondente y = f(x) e´ tambe´m adequada para se fazer pre-
viso\u2dces de y quando x escapa do intervalo pesquisado. Nos modelos esta´ticos esta qualidade
Rodney Carlos Bassanezi 55
Figura 2.7: Distribuic¸a\u2dco de probabilidade e curva de regressa\u2dco.
e´ quase sempre preservada pelo ajuste, entretanto quando se trata de modelos dina\u2c6micos
outras considerac¸o\u2dces sobre o comportamento fenomenolo´gico das varia´veis devem ser avali-
adas.
Num programa simples de ajuste de curvas escolhemos, a priori, o tipo de curva que
desejamos para expressar a relac¸a\u2dco funcional entre as varia´veis. Este processo nem sempre
satisfaz as condic¸o\u2dces m\u131´nimas exigidas para uma previsa\u2dco do relacionamento futuro destas
varia´veis.
No caso da relac¸a\u2dco entre o comprimento e a idade da tila´pia, observamos que a reta
(figura 2.8)
x = 2.2917 t+ 12.711
obtida do ajuste entre os dados t (idade)