ensino prendizagem com Modelagem matemática
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ensino prendizagem com Modelagem matemática


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e x (comprimento) na\u2dco possibilita fazer \u201cboas\u201d
previso\u2dces de x quando t cresce com valores superiores a 8. Assim, a reta ajustada na\u2dco pode
ser considerada um modelo matema´tico para o crescimento de peixes em func¸a\u2dco da idade.
Neste caso, a reta e´ simplesmente uma curva que descreve uma tende\u2c6ncia deste crescimento
no intervalo pesquisado.
E´ claro tambe´m que, no intervalo 0 \u2264 t \u2264 8, podemos ter uma infinidade de curvas
de regressa\u2dco relacionando x e t. Poder´\u131amos considerar um ajuste quadra´tico (Fig 2.9) e
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x = 2.2917 t+ 12.711
Figura 2.8: Ajuste linear \u2013 tende\u2c6ncia do crescimento da tila´pia no per´\u131odo de 8 semanas.
obter´\u131amos a relac¸a\u2dco funcional da forma
x = \u22120.1752 t2 + 3.6934 t+ 11.076
que se aproxima ainda mais dos valores dados na tabela 2.1. Mesmo que com esta curva
se possa fazer alguma previsa\u2dco de futuros comprimentos, ainda assim, tal formulac¸a\u2dco na\u2dco
poderia ser considerada um modelo matema´tico do feno\u2c6meno enquanto seus para\u2c6metros na\u2dco
tiverem algum significado biolo´gico!
Quando consideramos t suficientemente grande, t > 11 por exemplo, o ajuste quadra´tico
obtido mostra que a tende\u2c6ncia do comprimento do peixe e´ diminuir com a idade (figura 2.9)
o que na\u2dco condiz com a realidade.
O propo´sito da modelagem matema´tica e´ obter uma relac¸a\u2dco funcional que comporte em
seus para\u2c6metros qualidades ou significados inerentes ao feno\u2c6meno analisado e para isto se
faz necessa´rio um estudo mais detalhado do pro´prio feno\u2c6meno. No caso do crescimento do
peixe devemos considerar, pelo menos, que seu tamanho tende a se estabilizar quando t
cresce. Esta e´ uma propriedade biolo´gica de todos os seres vivos!
Em termos de modelagem matema´tica de feno\u2c6menos caracterizados por um processo
dina\u2c6mico, a formulac¸a\u2dco do modelo pode muitas vezes preceder a` analise dos dados exper-
imentais. Nestes casos, o me´todo de ajuste de curvas e´ fundamental para a validac¸a\u2dco dos
modelos estabelecidos a priori. A validac¸a\u2dco de um modelo matema´tico consiste na veri-
ficac¸a\u2dco da aproximac¸a\u2dco do modelo com a realidade, ou seja, se os dados experimentais ou
observados na\u2dco esta\u2dco \u201cmuito longe\u201d daqueles fornecidos pelo modelo.
Em geral, o modelo depende de para\u2c6metros e sua validac¸a\u2dco exige a estimac¸a\u2dco desses
Rodney Carlos Bassanezi 57
y = \u22120.1752 x2 + 3.6934 x+ 11.076
Figura 2.9: Ajuste quadra´tico.
para\u2c6metros, de modo que a curva (soluc¸a\u2dco do modelo) ajustada represente, o mais pro´ximo
poss´\u131vel, o feno\u2c6meno estudado.
E´ importante tambe´m, no caso da modelagem, analisar a sensibilidade do modelo aos
valores dos para\u2c6metros, o que e´ tratado atrave´s de argumentos estat´\u131sticos \u2013 o que na\u2dco
faremos sistematicamente, neste texto.
Um dos me´todos mais usados para estimac¸a\u2dco de para\u2c6metros ou ajuste de curvas e´ de-
nominado \u201cme´todo dos quadrados m\u131´nimos\u201d, ou dos m\u131´nimos quadrados como e´ usualmente
conhecido (vide box ).
Me´todo dos Quadrados M\u131´nimos
Considere um conjunto de n dados observados {xi, yi}, i = 1.2, 3, . . . , n e uma func¸a\u2dco y(x) =
f(x; a1, a2, . . . , ak), onde aj(j = 1, . . . , k) sa\u2dco os para\u2c6metros \u2013 ome´todo dos quadrados m\u131´nimos consiste
em determinar estes para\u2c6metros de modo que \u201cminimize\u201d o valor de
S =
n\u2211
i=1
(yi \u2212 yi)2 =
n\u2211
i=1
[f(xi; a1, . . . , ak)\u2212 yi]2, (2.7)
isto e´, devemos minimizar a soma dos quadrados dos desvios entre os valores yi observados e os valores
yi = f(xi, a1, . . . , ak) ajustados.
58 Modelagem Matema´tica
2.3.1 Ajuste Linear
Um ajuste e´ linear se for da forma
y(x) = f(x; a, b) = ax+ b (equac¸a\u2dco de uma reta)
Neste caso, devemos encontrar os valores dos para\u2c6metros a e b que tornam m\u131´nimo o
valor da soma dos quadrados dos desvios:
S = S(b, a) =
n\u2211
i=1
(b+ axi \u2212 yi)2 (2.8)
Tais valores devem satisfazer, necessariamente, a`s condic¸o\u2dces:\uf8f1\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f3
\u2202S
\u2202b
= 0 \u21d4
n\u2211
i=1
2(b+ axi \u2212 yi) = 0
\u2202S
\u2202a
= 0 \u21d4
n\u2211
i=1
2xi(b+ axi \u2212 yi) = 0
(2.9)
ou seja, \uf8f1\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f3
a =
n
\u2211
xiyi \u2212
\u2211
xi
\u2211
yi
n
\u2211
x2i \u2212 (
\u2211
xi)2
=
\u2211
xiyi \u2212 nxy\u2211
x2i \u2212 nx2
b =
\u2211
x2i
\u2211
yi \u2212
\u2211
xi
\u2211
xiyi
n
\u2211
x2i \u2212 (
\u2211
xi)2
\u21d4 b =
\u2211
yi
n
\u2212 a
\u2211
xi
n
= y \u2212 ax
(2.10)
onde x (respectivamente y) e´ a me´dia dos valores xi (respectivamente yi).
Quando fazemos um ajuste linear para relacionar duas varia´veis na\u2dco sabemos a priori se
a reta encontrada e´ de fato o melhor modelo de ajuste. A verificac¸a\u2dco da existe\u2c6ncia e do grau
de relac¸a\u2dco entre varia´veis e´ objeto do estudo da correlac¸a\u2dco.
A correlac¸a\u2dco linear mede a relac¸a\u2dco existente entre as varia´veis yi) dados, em torno de
uma reta ajustada y = ax+ b.
O coeficiente de correlac¸a\u2dco de Pearson r e´ um instrumento de medida da correlac¸a\u2dco
linear, e´ dado por:
r =
\u2211
xiyi \u2212 (
\u2211
xi)(
\u2211
yi)
n
{[\u2211x2i \u2212 (\u2211 xi)2n ][\u2211 y2i \u2212 (\u2211 yi)2n ]}1/2 ou r =
\u2211
(xi \u2212 x)(yi \u2212 y)\u2211
(xi \u2212 x)2
\u2211
(yi \u2212 y)1/2 (2.11)
O coeficiente de correlac¸a\u2dco de Pearson e´ obtido atrave´s do teste de hipo´teses H0 sobre a
aceitac¸a\u2dco ou na\u2dco do coeficiente angular de reta.
Rodney Carlos Bassanezi 59
O intervalo de variac¸a\u2dco de r e´ entre \u22121 e +1, isto e´,
\u22121 \u2264 r \u2264 1
A correlac¸a\u2dco sera´ tanto mais forte quanto mais pro´ximo r estiver de ±1, sera´ tanto mais
fraca quanto mais pro´ximo estiver de zero. Se r = ±1, enta\u2dco a correlac¸a\u2dco entre as varia´veis
e´ perfeita. Se r = 0, enta\u2dco na\u2dco existe nenhuma correlac¸a\u2dco.
O sinal de r indica o sinal do coeficiente angular da reta ajustada.
Exemplo 2.2. Dados simulados
Calcular o coeficiente de correlac¸a\u2dco linear entre renda e nu´meros de filhos para 8 fam\u131´lias
(tabela 2.2)
renda x no¯ de filhos y x
2 y2 xy
700 2 49000 4 1400
8000 4 64000000 16 32000
3000 2 9000000 4 6000
3700 3 13690000 9 11100
7000 2 49000000 4 14000
200 3 40000 9 600
480 3 230400 9 1440
500 5 250000 25 2500\u2211
xi = 23580
\u2211
yi = 24
\u2211
(xi)2 = 136700400
\u2211
(yi)2 = 80
\u2211
xiyi = 69040
Tabela 2.2: Renda × nu´mero de filhos de 8 fam\u131´lias.
Calculando o coeficiente r de correlac¸a\u2dco do ajuste, obtemos
r =
69040\u2212 23580×248
{[136700400\u2212 (23580)28 ][80\u2212 24
2
8 ]}1/2
=
\u22121700
[(67198350).(8)]1/2
= \u22120.073
O resultado r = \u22120.073 indica uma fraca correlac¸a\u2dco entre a renda e o nu´mero de filhos
dessas 8 fam\u131´lias consideradas. Observamos que se a escolha das fam\u131´lias fosse aleato´ria
enta\u2dco o resultado poderia ser diferente. Fac¸a um teste, sorteando 10 fam\u131´lias em seu bairro.
Atualmente, a maioria das calculadoras cient´\u131ficas ja´ te\u2c6m o programa de ajustes incorpo-
rado juntamente com o ca´lculo do coeficiente de correlac¸a\u2dco. O software Excel e´ um excelente
programa e tambe´m muito simples de ser utilizado.
Importante: Na impossibilidade de se fazer o ajuste linear com o uso de calculadoras,
uma maneira simples, e que pode ser usada pelos alunos do 2o¯ grau, e´ considerar os dados
60 Modelagem Matema´tica
Figura 2.10: Ajuste linear no \u201colho\u2c6metro\u201d.
Figura 2.11: Elenco de func¸o\u2dces t´\u131picas.
experimentais dispostos num gra´fico sobre um papel milimetrado e usar uma re´gua para
trac¸ar, aproximadamente ou no olho\u2c6metro, a reta ajustada.
De qualquer forma, sempre se pode fazer uma comparac¸a\u2dco da reta chutada com a reta
ajustada pelo me´todo dos quadrados m\u131´nimos \u2013 as contas da expressa\u2dco (2.10) sa\u2dco bastante
simples!
Para modelos dados por outras func¸o\u2dces (na\u2dco lineares), o me´todo do ajuste linear e´ ainda
Rodney Carlos Bassanezi 61
aplica´vel se conseguirmos escrever estas func¸o\u2dces na forma
f(\u3c4) = \u3b1\u3c4 + \u3b2
mediante uma mudanc¸a de varia´vel \u3c4 = g(y).
Na pra´tica e´ bom considerar um elenco de func¸o\u2dces t´\u131picas (figuras 2.11a-h)
Ajuste linear do Modelo Exponencial
As curvas esboc¸adas nas figuras 2.11a e 2.11b sa\u2dco do tipo exponencial
y(x) = b eax, b > 0 (2.12)
Se considerarmos a mudanc¸a de varia´vel z = ln y,