ensino prendizagem com Modelagem matemática
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ensino prendizagem com Modelagem matemática


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de y e z, dado por
y = \u2212101.5z + 100.8
e portanto a func¸a\u2dco hiperbo´lica ajustada e´ dada por
y = 100.8\u2212 101.5
x
O coeficiente de correlac¸a\u2dco linear neste caso e´
r = \u22120.018
que mostra que a correlac¸a\u2dco e´ bem fraca entre as varia´veis para este tipo de ajuste.
Observac¸a\u2dco 2.4. A caracter´\u131stica importante da curva de tende\u2c6ncia (figura 2.18) e´ a con-
cavidade que esta´ voltada para baixo \u2013 isto indica, antecipadamente, que um ajuste com a
func¸a\u2dco hiperbo´lica do tipo y = 1b+ax na\u2dco e´ tambe´m conveniente, neste caso.
Rodney Carlos Bassanezi 69
Figura 2.18: Tende\u2c6ncia de consumo de rac¸a\u2dco por tila´pia.
Figura 2.19: Modelo hiperbo´lico para o consumo de rac¸a\u2dco.
Aplicac¸a\u2dco 2.1. A tabela 2.6 fornece a distribuic¸a\u2dco de renda em uma indu´stria:
a. Ajuste os dados por uma func¸a\u2dco hiperbo´lica do tipo y = \u3b1+ \u3b2/x.
b. Calcule o valor do coeficiente de correlac¸a\u2dco linear.
70 Modelagem Matema´tica
x: N\u131´vel de Renda 600 750 900 1000 1500 3000 4500
y: No. de pessoas
com renda \u2265 x 280 180 120 100 98 90 87
Tabela 2.6: Distribuic¸a\u2dco da renda numa indu´stria.
Ajuste Linear do Modelo de Michaelis-Menten
O modelo de Michaelis-Menten foi proposto, inicialmente, para interpretar uma reac¸a\u2dco
bioqu´\u131mica que e´ controlada por uma u´nica enzima, onde a velocidade de conversa\u2dco y de
uma substa\u2c6ncia, para uma quantidade fixa de enzima, e´ dada por
y =
ymaxx
k + x
(2.20)
onde x e´ a concentrac¸a\u2dco do substrato que esta´ sendo convertido; ymax e´ a velocidade ma´xima
obtida quando a concentrac¸a\u2dco do sustrato x e´ muito alta e k > 0 e´ a concentrac¸a\u2dco do
substrato quando y =
ymax
2
. A constante k e´ denominada constante de Michaelis e o valor
1
k e´ a afinidade de um enzima para seu substrato. A ass´\u131ntota vertical na fig. 2.20 e´ a reta
x = \u2212k.
A transformac¸a\u2dco (Lineweaver-Burk) que lineariza a curva e´ dada por:
z =
1
y
e t =
1
x
(2.21)
De fato, a equac¸a\u2dco (2.20) pode ser escrita por
1
y
=
k + x
ymaxx
=
k
ymax
.
1
x
+
1
ymax
Usando (2.21), temos
z =
k
ymax
t+
1
ymax
cujo gra´fico e´ uma reta (fig 2.21)
Observac¸a\u2dco 2.5. A curva de Michelis-Menten (figura 2.20) tem sempre um bom compor-
tamento nos ajustes do tipo \u201ccrescimento assinto´tico\u201d, com as caracter´\u131sticas anteriores. A
relac¸a\u2dco entre a raza\u2dco fotossime´trica de uma folha p e a intensidade da luz (irradia\u2c6ncia) I
pode ser modelada por
p =
1
a+ bI
Rodney Carlos Bassanezi 71
Figura 2.20: Modelo inibido de Michaelis-Menten.
Figura 2.21: Linearizac¸a\u2dco do modelo de Michaelis-Menten.
Ajuste Linear do Modelo Exponencial Assinto´tico
Quando se tratar de comportamento assinto´tico (tende\u2c6ncia de estabilidade dos dados)
outra curva t´\u131pica para ajuste e´ dada pelo modelo exponencial assinto´tico:
y = y\u2217 \u2212 aebx (y\u2217 > 0 e b < 0) (2.22)
72 Modelagem Matema´tica
Figura 2.22: Crescimento exponencial assinto´tico.
Neste caso consideramos a mudanc¸a de varia´veis
z = ln(y \u2212 y\u2217) se a < 0 ou z = ln(y\u2217 \u2212 y) se a > 0,
e obtemos a reta:
z = ln |a|+ bx.
Observac¸a\u2dco 2.6. Nos modelos assinto´ticos um dos ingredientes mais importantes e´ o valor
assinto´tico da varia´vel independente, tambe´m denominado valor de equil´\u131brio ou de es-
tabilidade. Para se efetuar um ajuste assinto´tico (tipo Michaelis-Menten ou exponencial
assinto´tico) e´ necessa´rio conhecer a priori o valor de equil´\u131brio que, na verdade, e´ o valor
limite da tende\u2c6ncia de y quando x cresce, ou seja,
lim
x\u2192+\u221e y = limx\u2192+\u221e
ymaxx
k + x
= ymax (modelo de Michaelis-Menten)
lim
x\u2192+\u221e y = limx\u2192+\u221e(y
\u2217 \u2212 aebx) = y\u2217 (modelo exponencial assinto´tico).
Em muitos casos pra´ticos a estimac¸a\u2dco do valor de equil´\u131brio pode ser realizada pelo
me´todo de Ford-Walford, apresentado a seguir.
Ca´lculo do Valor Assinto´tico \u2013 Me´todo de Ford-Walford
Considere um conjunto de dados {(xi, yi)}, i = 1.2, . . . , n. Vamos supor que temos
a informac¸a\u2dco sobre a seque\u2c6ncia yi = f(xi) relativa ao seu crescimento assinto´tico, isto e´,
sabemos a priori que {yi} e´ convergente quando xi cresce. Enta\u2dco, devemos determinar y\u2217
de modo que
y\u2217 = lim
xi\u2192\u221e
yi
Rodney Carlos Bassanezi 73
Consideremos uma func¸a\u2dco g que ajusta os pares (yi, yi+1), isto e´:
yi+1 = g(yi) (curva ajustada)
Temos que,
lim g(yi) = lim yi+1 = lim yi = y\u2217
ou seja, a seque\u2c6ncia de pontos do plano {(yi, yi+1)} converge para o ponto (y\u2217, y\u2217), ou seja,
y\u2217 e´ um ponto fixo da func¸a\u2dco g:
y\u2217 = g(y\u2217)
Assim, y\u2217 e´ tal que yi+1 ' yi.
Resumindo, y\u2217 e´ o valor limite da seque\u2c6ncia {yi} quando\uf8f1\uf8f2\uf8f3 yi+1 = yi = y
\u2217
\u21d4 yi = g(yi) \u21d4 yi e´ um ponto fixo de g
yi+1 = g(yi)
Graficamente, temos a figura 2.23.
Figura 2.23: Ca´lculo de y\u2217.
Exemplo 2.6. Adubac¸a\u2dco ×Produc¸a\u2dco de Cana-de-Ac¸u´car
A tabela 2.7 apresenta a produc¸a\u2dco de cana-de-ac¸u´car para diversas dosagens x de ni-
troge\u2c6nio (na forma de sulfato de amo\u2c6nia):
74 Modelagem Matema´tica
xi: adubo yi: produc¸a\u2dco yi+1 yi+1 = g(yi) y
\u2217 \u2212 yi modelo
0 47.68 48.96 48.965 6.826 47.692
5 48.96 50.01 50.004 5.546 48.969
10 50.01 50.85 50.856 4.496 50.007
15 50.85 51.54 51.538 3.656 50.850
20 51.54 52.09 52.098 2.966 51.535
25 52.09 52.55 52.545 2.416 52.092
30 52.55 52.91 52.918 1.956 52.544
35 51.91 53.21 53.210 1.596 52.912
40 53.21 53.45 53.454 1.296 53.210
45 53.45 53.65 53.649 1.056 53.453
50 53.65 53.81 53.811 0.856 53.650
55 53.81 53.94 53.941 0.696 53.811
60 53.94 \u2014 54.046 0.566 53.941
Tabela 2.7: Produc¸a\u2dco da cana de ac¸u´car e dosagem do nitroge\u2c6nio.
A curva de tende\u2c6ncia e´ dada pela figura 2.24, com coeficiente de correlac¸a\u2dco r = R2 = 1.
Figura 2.24: Tende\u2c6ncia de produc¸a\u2dco × dosagem de adubo.
Considerando que a produc¸a\u2dco por hectare de cana-de-ac¸u´car deve se estabilizar, relati-
vamente a` aplicac¸a\u2dco de nitroge\u2c6nio, devemos calcular o valor assinto´tico da produc¸a\u2dco.
Para o ajuste yi+1 = g(yi) vamos tomar, neste caso expec´\u131fico, uma reta (figura 2.25)
cuja equac¸a\u2dco e´ dada por:
yi+1 = 0.8118yi + 10.258
O valor de y\u2217 (valor assinto´tico) e´ obtido, considerando y\u2217 = yi+1 = yi, ou seja,
y\u2217 = 0.8118y\u2217 + 10.258
e portanto
y\u2217 ' 54.50584485
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Agora, considerando um ajuste exponencial entre xi e (y\u2217 \u2212 yi), obtemos (figura 2.26)
y\u2217 \u2212 y = 6.8134e\u22120.0414x, com r = 1
Portanto a func¸a\u2dco que ajusta xi e yi, na hipo´tese de um crescimento assinto´tico de yi
(modelo exponencial assinto´tico), e´ dada por (figura 2.26):
y(x) = 54.5058\u2212 6.8134 exp(\u22120.0415x)
Figura 2.25: Ajuste linear de yi+1 com yi e o Ca´lculo de y\u2217.
Figura 2.26: Ajuste exponencial de y\u2217 \u2212 y e o Modelo exponencial assinto´tico da produc¸a\u2dco
de cana × dosagem de nitroge\u2c6nio .
76 Modelagem Matema´tica
Ajuste Linear do Modelo Log´\u131stico
A curva log´\u131stica foi proposta, inicialmente, para modelar a dina\u2c6mica de populac¸o\u2dces (veja
Cap. 6) e pode ser visualizada no seguinte gra´fico (figura 2.27)
Figura 2.27: Crescimento sigmoidal ou log´\u131stico.
As caracter´\u131sticas fundamentais da curva log´\u131stica sa\u2dco:
a. A tende\u2c6ncia da varia´vel independente y e´ de estabilidade, isto e´,
y \u2192 y\u2217 quando x cresce.
y\u2217 e´ denominado valor ma´ximo sustenta´vel ou capacidade suporte.
b. Considerando y0 o valor inicial da sequ¨e\u2c6ncia mono´tona dos yi, isto e´, y = y0 quando
x = 0, tem-se
\u2022 y e´ crescente se y0 < y\u2217;
\u2022 y e´ decrescente se y0 > y\u2217.
c. A taxa de crescimento relativo de yi e´ linear, isto e´,
\u3bbi =
yi+1 \u2212 yi
yi
pode ser ajustada por uma reta: \u3bb = ay + b.
d. Se y0 < y\u2217/2, a curva y(x) muda de concavidade quando y =
y\u2217
2
, o que implica na
existe\u2c6ncia de um ponto de inflexa\u2dco na curva.
Rodney Carlos Bassanezi 77
A expressa\u2dco teo´rica da curva log´\u131stica e´
y =
a
b e\u2212\u3bbx + 1
(2.23)
onde, a = y\u2217, b =
y\u2217
y0
\u2212 1 e \u3bb = \u3b1y\u2217 e´ a taxa de reprodutividade ma´xima.
Uma estimac¸a\u2dco dos para\u2c6metros da