ensino prendizagem com Modelagem matemática
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ensino prendizagem com Modelagem matemática


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e tn e´ dada por
vm(t) =
y \u2212 yn
t\u2212 tn =
(kt+ y0)\u2212 (ktn + y0)
t\u2212 tn =
k(t\u2212 tn)
t\u2212 tn = k
para todo tn 6= t ou seja, a velocidade v em qualquer instante e´ constante e igual a` velocidade
me´dia vm.
Portanto, se o movimento e´ uniforme, enta\u2dco
y(t) = vt+ y0 (2.34)
Observamos que se um objeto esta´ em repouso (v = 0 quando t = 0 enta\u2dco so´ tera´
um \u201cmovimento uniforme\u201d se na\u2dco se movimentar, isto e´, y = y0 (constante) em qualquer
instante t > 0.
Rodney Carlos Bassanezi 93
Figura 2.37: Movimento uniforme.
Uma questa\u2dco: suponhamos que durante o percurso de Campinas a Sa\u2dco Paulo marcamos a
velocidade do carro a cada 5 minutos, nos 45 minutos iniciais. E´ poss´\u131vel obter um modelo do
espac¸o percorrido em func¸a\u2dco do tempo gasto, supondo que o tempo total foi de 63 minutos?
Consideremos o conjunto de observac¸o\u2dces das velocidades instanta\u2c6neas a cada 5 minutos.
v: velocidade (km/h) 0 90 102 105 120 108 105 96 100 96
t: tempo (min) 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
Tabela 2.11: Velocidades em km/h.
Primeiramente devemos uniformizar as informac¸o\u2dces considerando os dados nas mesmas
unidades:
v: velocidade (km/min) 0 1.5 1.7 1.75 2.0 1.8 1.75 1.6 1.66 1.6
t: tempo (min) 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
Tabela 2.12: Velocidades em km/min.
A figura 2.38 mostra a tende\u2c6ncia dos valores de v relacionados com o tempo t.
94 Modelagem Matema´tica
Figura 2.38: Velocidade × tempo.
Modelo 1 \u2013 Movimento uniforme por partes
Sabemos que vk =
yk+1 \u2212 yk
tk+1 \u2212 tk e´ o valor da velocidade me´dia no intervalo de tempo
\u2206kt = tk+1 \u2212 tk; Portanto
\u2206ky = yk+1 \u2212 yk = vk\u2206kt = a´rea de um reta\u2c6ngulo de base \u2206kt e altura vk.
Como y(t) e´ o espac¸o percorrido no instante t, temos
y(t) '
n\u2211
k=1
vk\u2206kt se tn\u22121 \u2264 t \u2264 tn.
Usando os dados da tabela 2.12, obtemos
y(t) =
0 + 1.5
2
\u2206t = 0.75(t\u2212 0) = 0.75t se 0 \u2264 t \u2264 5
y(t) = 3.75 +
1.5 + 1.7
2
\u2206t = 3.75 + 1.6(t\u2212 5) se 5 \u2264 t \u2264 10
...
...
...
...
...
y(t) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = 3.75 + 8 + · · ·+ vn(t\u2212 tn) se tn\u22121 \u2264 t \u2264 tn.
Observamos que, neste modelo, a dista\u2c6ncia percorrida em 45 minutos e´:
y(45) = 0.75× 5 + 1.6× 5 + 1.725× 5 + · · ·+ 5× 1.63 = 97.11km.
Modelo 2 \u2013 Movimento uniforme
Se considerarmos o movimento como sendo aproximadamente uniforme, tomamos a ve-
locidade v dada pela me´dia dos 45 minutos iniciais (figura 2.39)
Rodney Carlos Bassanezi 95
Figura 2.39: Movimento uniforme vm = 1.73 km/min.
v(t) =
\u2211n
i=1 vi
n
=
\u22119
i=1 vi
9
= 1.73km/min = 103.8km/h
o modelo para o movimento, considerado uniforme, e´
y(t) = 1.73t se 0 \u2264 t \u2264 63 (2.35)
Para t = 63\u21d2 y(63) \u223c= 109km (dista\u2c6ncia total).
Figura 2.40: Ajuste linear por partes.
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Modelo 3 \u2013 Velocidade linear
Consideremos agora um ajuste linear, por partes, de v(t). Nos 5 minutos iniciais, a ve-
locidade e´ linear (crescente); de 5 a 60 minutos mantem-se uma velocidade me´dia constante,
em torno de 1.73 km/min, nos u´ltimos 3 minutos a velocidade decresce ate´ o carro parar
isto e´, v(63) = 0. \uf8f1\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f3
v(t) =
1.73
5
t se 0 \u2264 t \u2264 5
v(t) = 1.73 se 5 \u2264 t \u2264 60
v(t) = \u22121.73
3
t+ 36.33 se 60 \u2264 t \u2264 63
(2.36)
O espac¸o y(t) pode ser estimado pelo valor da a´rea da regia\u2dco limitada pela curva v(t), o
eixo t e a reta t = \u3c4 . Enta\u2dco,
\u2022 Se 0 \u2264 t \u2264 5, y(t) sera´ dado para a´rea do tria\u2c6ngulo reta\u2c6ngulo de base t e altura v(t),
y(t) =
1
2
tv(t) =
1
2
(
1.73
5
t2
)
= 0.173t2 (2.37)
\u2022 Se 5 \u2264 t \u2264 60, y(t) = (a´rea do tria\u2c6ngulo reta\u2c6ngulo de base 5 e altura 1.73) + (a´rea do
reta\u2c6ngulo de base (t\u2212 5) e altura 1.73), portanto
y(t) = (4.325) + (1.73t\u2212 8.65) = 1.73t\u2212 4.325 (2.38)
\u2022 Se 60 \u2264 t \u2264 63, y(t) = (a´rea do 1o¯ tria\u2c6ngulo) + (a´rea do reta\u2c6ngulo de base (60-5) e
altura 1.73) + (a´rea do trape´sio de altura (t \u2212 60), base inferior igual a 1.73 e base
superior igual a
v(t)) = (4.325) + (95.15) + (t\u2212 60)v(t) + 1.73
2
\u21d2
\u21d2 y(t) = 99.475 + (\u22120.288t2 + 36.33t\u2212 1141.8) = \u22120.288t2 + 36.33t\u2212 1042.33.
Neste modelo, a dista\u2c6ncia de Campinas a Sa\u2dco Paulo e´ dada por
y(63) ' 102.07km.
Observac¸a\u2dco 2.9. Como v(t) e´ cont´\u131nua para 0 \u2264 t \u2264 63, podemos considerar argumentos
do ca´lculo diferencial para obter a expressa\u2dco de y(t):
y(t) = lim
||\u2206k||\u21920
n\u2211
k=1
v(\u3c4k)\u2206kt =
\u222b t
0
v(t)dt (2.39)
onde ||\u2206kt|| = max |\u2206kt| = max |ti+1 \u2212 ti|, i = 0.1, . . . , n.
Assim,
Rodney Carlos Bassanezi 97
\u2022 se 0 \u2264 t \u2264 5, y(t) =
\u222b t
0
v(\u3c4)d\u3c4 =
\u222b t
0
1.73
5
t dt = 0.173t2
\u2022 se 5 \u2264 t \u2264 60, y(t) =
\u222b 5
0
1.73tdt+
\u222b t
5
1.73dt = 4.325 + (1.73t\u2212 8.65)
= 1.73t\u2212 4.325
\u2022 se 60 \u2264 t \u2264 63;
y(t) =
\u222b 5
0
1.73t+
\u222b 60
5
1.73dt+
\u222b t
60
(
\u22121.73
3
t+ 36.33
)
dt = \u22120.288t2+36.33t\u22121042.33
Observac¸a\u2dco 2.10. Na formulac¸a\u2dco do modelo 3 procuramos torna´-lo mais \u201creal´\u131stico\u201d con-
siderando hipo´teses adicionais aos dados observados. Este procedimento e´ fundamental no
desenvolvimento de uma modelagem.
A transic¸a\u2dco de uma taxa de variac¸a\u2dco me´dia para uma taxa instanta\u2c6nea e´ a ide´ia ba´sica de
todo Ca´lculo Diferencial. Em termos de modelagem e´ o princ´\u131pio que possibilita formulac¸o\u2dces
de modelos de feno\u2c6menos ou situac¸o\u2dces, naturalmente de varia´veis discretas, por meio de
modelos cont´\u131nuos. Por exemplo, se N\u2217 = f(t) representa o tamanho de uma populac¸a\u2dco,
na\u2dco podemos aplicar imediatamente o conceito de variac¸a\u2dco instanta\u2c6nea, mesmo porque f(t)
e´ uma func¸a\u2dco discreta do tempo e no intervalo de tempo em que a populac¸a\u2dco e´ constante, a
taxa de variac¸a\u2dco insta\u2c6ntanea e´ nula, sendo infinita no instante em que ocorre um nascimento
ou uma morte!
Figura 2.41: Ajuste cont´\u131nuo de dados discretos.
Neste caso, devemos construir uma curva suave (cont´\u131nua e sem bicos) N(t), ajustada
ou idealizada, que seja uma \u201caproximac¸a\u2dco\u201ddos valores de N\u2217(t). Para uma curva suave
98 Modelagem Matema´tica
existe uma reta tangente em cada ponto t. Enta\u2dco, podemos definir a taxa de crescimento
instanta\u2c6neo em t = \u3c4 como sendo o coeficiente angular da reta tangente a` curva N(t) no
ponto (\u3c4,N(\u3c4)):
N \u2032(\u3c4) = lim
t\u2192\u3c4
\u2206N
\u2206t
=
dN
dt
\u2223\u2223\u2223\u2223
t=\u3c4
(notac¸a\u2dco de Liebnitz).
N \u2032(\u3c4) e´ denominada derivada de N(t) no ponto \u3c4 .
Modelos matema´ticos que relacionam as varia´veis atrave´s de suas variac¸o\u2dces cont´\u131nuas sa\u2dco
formulados com equac¸o\u2dces diferenciais (veja para´grafo 2.6). Os modelos discretos utilizam as
equac¸o\u2dces de diferenc¸as, como veremos a seguir.
2.5 Equac¸o\u2dces de Diferenc¸as
Existem situac¸o\u2dces em que as equac¸o\u2dces de diferenc¸as (equac¸o\u2dces com variac¸o\u2dces discretas)
sa\u2dco mais apropriadas para uma modelagem; por exemplo, quando o crescimento popula-
cional, entre gerac¸o\u2dces sucessivas, se da´ em etapas discretas e na\u2dco ocorre uma sobreposic¸a\u2dco
de gerac¸o\u2dces da espe´cie analisada, como no modelo seguinte:
Modelo 4 \u2013 Dina\u2c6mica populacional da \u201cTila´pia do Nilo\u201d [10]
As tila´pias sa\u2dco peixes de a´gua doce, da fam\u131´lia Cichlidae que apresentam, essencialmente,
3 esta´gios em seu ciclo de vida: ovos, jovens e adultos. Adultos quando te\u2c6m a capacidade de
se reproduzir, o que ocorre proximadadmente aos 4 meses de idade. Em condic¸o\u2dces naturais,
quando a temperatura da a´gua permanece acima de 20\u25e6C, a tila´pia pode desovar a cada
2 meses. As fe\u2c6meas po\u2dcem seus ovos nos ninhos que sa\u2dco fecundados pelos machos. Apo´s
a fecundac¸a\u2dco, as fe\u2c6meas recolhem os o´vos na boca para a incubac¸a\u2dco, eclosa\u2dco e protec¸a\u2dco
das larvas. A eclosa\u2dco da´-se, aproximadamente, em 72 horas e as larvas continuam na boca
por um per´\u131odo de 7 a 10 dias. O nu´mero de larvas produzidas depende do tamanho da
fe\u2c6mea, variando de 100 a 600 por desova com uma taxa de mortalidade igual a 50%. Num
processo cont´\u131nuo de criac¸a\u2dco destes peixes e´ recomenda´vel que exista um macho para cada
duas fe\u2c6meas.
Para a formulac¸a\u2dco do modelo matema´tico da dina\u2c6mica populacional