ensino prendizagem com Modelagem matemática
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ensino prendizagem com Modelagem matemática


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da tila´pia, consid-
eramos:
\u2022 P0: quantidade inicial de peixes adultos no tanque de reproduc¸a\u2dco, sendo 23 fe\u2c6meas;
\u2022 \u3b8: quantidade de ovos de uma desova por cada fe\u2c6mea, sendo que somente a metade
tem sucesso de eclodir e sobreviver.
Sejam Pt, Ft e At, respectivamente, quantidade de peixes adultos, fe\u2c6meas adultas e alevi-
nos em cada gerac¸a\u2dco.
Rodney Carlos Bassanezi 99
Vamos supor que metade dos alevinos sejam fe\u2c6meas; Enta\u2dco o nu´mero de alevinos gerados
em cada esta´gio e´ dado por
At = Ft × \u3b82 para t \u2265 1
Usando estas informac¸o\u2dces num processo interativo obtemos:
t = tempo (2 meses) Pt = adultos Ft = fe\u2c6meas At = alevinos
0 P0 23P0 0
1 P0 23P0
\u3b8
2F1
2 P0 23P0
\u3b8
2F2 +
\u3b8
2F1
3 P0 +A1 23P0 +
1
2A1 (A2 \u2212A1) + \u3b82F3
...
...
...
...
t Pt\u22121 +At\u22122 Ft\u22121 + 12At\u22122 (At\u22121 \u2212At\u22122) + \u3b82Ft
Como
At = (At\u22121 \u2212At\u22122) + \u3b82Ft =
\u3b8
2
(Ft + Ft\u22121)
e
Ft = Ft\u22121 +
1
2
At\u22122,
enta\u2dco
Ft = Ft\u22121 +
1
2
\u3b8
2
(Ft\u22122 + Ft\u22123) com F0 = F1 = F2 =
2
3
P0. (2.40)
Um modelo simplificado pode ser obtido, considerando:
\u2022 Pt: peixes adultos;
\u2022 At = \u3b1Pt\u22121: alevinos;
\u2022 yt = Pt +At: total.
100 Modelagem Matema´tica
t (2 meses) Pt = adulto At: alevinos yt: (total)
0 P0 0 P0
1 P0 \u3b1P0 P0 + \u3b1P0
2 P0 + \u3b1P0 \u3b1P0 P0 + 2\u3b1P0
3 P0 + 2\u3b1P0 \u3b1P0 + \u3b12P0 P0 + 3\u3b1P0 + \u3b12P0
4 P0 + 3\u3b1P0 + \u3b12P0 \u3b1P0 + 2\u3b12P0 P0 + 4\u3b1P0 + 3\u3b12P0
...
...
...
...
t Pt\u22121 +At\u22121 \u3b1Pt\u22121 Pt\u22121 +At\u22121 + \u3b1Pt\u22121
Enta\u2dco, a fo´rmula de recorre\u2c6ncia para a quantidade de peixes adultos e´ dada por:
Pt = Pt\u22121 +At\u22121 = Pt\u22121 + \u3b1Pt\u22122 para t \u2265 2. (2.41)
Podemos perceber que a quantidade de peixes adultos Pt num esta´gio t e´ igual a` quan-
tidade total dos peixes yt\u22121 do esta´gio anterior (t\u2212 1), portanto de (2.41), temos
Pt = yt\u22121 = yt\u22122 + \u3b1yt\u22123, t \u2265 3. (2.42)
A equac¸a\u2dco (2.42) pode ser reescrita na forma
yn = yn\u22121 + \u3b1yn\u22122, n \u2265 2 (2.43)
e permite calcular o valor de qualquer yn desde que sejam conhecidos seus valore em dois
esta´gios imediatamente inferiores.
Expresso\u2dces do tipo (2.41), (2.42) e (2.43) sa\u2dco denominadas fo´rmulas recursivas (neste
caso de 2a¯ ordem), ou fo´rmulas aritme´ticas, ou equac¸o\u2dces de diferenc¸as finitas.
A soluc¸a\u2dco de uma equac¸a\u2dco de diferenc¸as e´ uma expressa\u2dco que fornece o valor de uma
varia´vel num esta´gio n em func¸a\u2dco de n e dos valores dos esta´gios iniciais (condic¸o\u2dces iniciais)
\u2013 No exemplo em questa\u2dco (equac¸a\u2dco (2.43)) temos P (0) = P0, P1 = P0 e a soluc¸a\u2dco de (2.43)
e´ dada por
Pt = P0
(1 +
\u221a
1 + 4\u3b1)
2
\u221a
1 + 4\u3b1
(
1 +
\u221a
1 + 4\u3b1
2
)t
\u2212 P0 (1\u2212
\u221a
1 + 4\u3b1)
2
\u221a
1 + 4\u3b1
(
1\u2212\u221a1 + 4\u3b1
2
)t
(2.44)
como veremos posteriormente.
Rodney Carlos Bassanezi 101
2.5.1 Equac¸o\u2dces de Diferenc¸as Lineares
Nem sempre podemos explicitar analiticamente a soluc¸a\u2dco geral de uma equac¸a\u2dco de
diferenc¸as quando a equac¸a\u2dco na\u2dco e´ linear. As equac¸o\u2dces lineares de ordem (n \u2212 m) sa\u2dco
da forma:
yn = \u3b1n\u22121yn\u22121 + \u3b1n\u22122yn\u22122 + · · ·+ \u3b1mym,
ou
yn =
m\u2211
i=n\u22121
\u3b1iyi (2.45)
com \u3b1i constantes, m < n e (n\u2212m) condic¸o\u2dces iniciais.
Equac¸a\u2dco de 1a¯ ordem, n\u2212m = 1{
yn = \u3b1 yn\u22121
y0 dado
(2.46)
O processo recursivo fornece:
y1 = \u3b1y0
y2 = \u3b1y1 = \u3b12y0
...
yn = \u3b1yn\u22121 = \u3b1ny0,
e portanto,
yn = y0\u3b1n (2.47)
e´ a soluc¸a\u2dco de (2.46), satisfazendo a condic¸a\u2dco inicial y0 dada.
Uma maneira alternativa para resolver a equac¸a\u2dco (2.46) e´ a seguinte:
Suponhamos que yn = k\u3bbn seja uma soluc¸a\u2dco geral de (2.46). Substituindo esta expressa\u2dco
em (2.46), temos:
k\u3bbn = \u3b1k\u3bbn\u22121 \u21d4 k\u3bbn\u22121[\u3bb\u2212 \u3b1] = 0\u21d2
\uf8f1\uf8f2\uf8f3 \u3bb = 0ou
\u3bb = \u3b1
Desde que, para n = 0 devemos ter y0 = k\u3bb0, enta\u2dco k = y0. Logo,
yn =
{
0 se y0 = 0
y0\u3b1
n se y0 6= 0 (2.48)
E´ relativamente fa´cil verificar que a soluc¸a\u2dco da equac¸a\u2dco linear
yn+1 = ayn + b
102 Modelagem Matema´tica
com y0 dado, e´ \uf8f1\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f3
yn = y0 + bn se a = 1
yn = y0an + b
1\u2212 an
1\u2212 a se a 6= 1
(2.49)
Uma aplicac¸a\u2dco imediata das equac¸o\u2dces acima pode ser encontrada em problemas de cap-
italizac¸a\u2dco.
Exerc´\u131cio: Considere um capital inicial c0 aplicado a uma taxa mensal \u3b1. Encontre o valor
do resgate futuro cn, no n-e´simo me\u2c6s, supondo que o regime de juros seja:
a. simples, isto e´, cn+1 \u2212 cn = constante = \u3b1c0, com n \u2265 1;
b. composto, cn+1 \u2212 cn = \u3b1cn, n \u2265 1.
Exerc´\u131cio: Resolva a equac¸a\u2dco de diferenc¸as
yn+1 = \u3b1yn+1 + yn (\u3b1 6= 1), com y0 dado.
Mostre que:
\u2022 se \u3b1 = 0\u21d2 yn = y0, constante;
\u2022 se 0 < \u3b1 \u2264 2\u21d2 yn e´ divergente;
\u2022 se \u3b1 < 0 ou \u3b1 > 2\u21d2 yn e´ convergente.
Modelo 5 \u2013 Orc¸amento familiar
Consideremos uma fam\u131´lia cuja renda mensal rn e´ proveniente de um sala´rio fixo r0, mais
o rendimento da caderneta de poupanc¸a pn do me\u2c6s anterior.
Suponhamos tambe´m que o consumo mensal cn desta fami´\u131lia seja proporcional a` sua
renda mensal.
O modelo que estabelece relac¸o\u2dces entre as varia´veis renda, poupanc¸a e consumo depen-
dentes do tempo, tomados em meses, e´ dado por:
a. poupanc¸a: pn+1 = (poupanc¸a do me\u2c6s anterior n) + (sobra do me\u2c6s n+ 1) \u21d2
pn+1 = pn + (rn+1 \u2212 cn+1) (2.50)
Rodney Carlos Bassanezi 103
b. renda: rn+1 = (sala´rio) + (rendimento da poupanc¸a do me\u2c6s anterior) \u21d2
rn+1 = r0 + \u3b1pn, (2.51)
onde \u3b1 e´ o juro da poupanc¸a.
c. consumo:
cn+1 = \u3b2rn+1 (0 < \u3b2 < 1) (2.52)
Usando as tre\u2c6s equac¸o\u2dces podemos escrever
pn+1 = (1\u2212 \u3b2)r0 + [(1\u2212 \u3b2)\u3b1+ 1]pn.
Consideramos que p0 e´ dado, podemos usar a soluc¸a\u2dco (2.49) para escrever as soluc¸o\u2dces:
pn = p0an + b
1\u2212 an
1\u2212 a = [(1\u2212 \u3b2)\u3b1+ 1]
np0 + (1\u2212 \u3b2)r0 1\u2212 [(1\u2212 \u3b2)\u3b1+ 1]
n
1\u2212 [(1\u2212 \u3b2)\u3b1+ 1] (2.53)
Donde
rn = r0 + \u3b1p0an\u22121 + \u3b1b
1\u2212 an\u22121
1\u2212 a (2.54)
e
cn = \u3b2r0 + \u3b1\u3b2p0an\u22121 + \u3b1\u3b2
1\u2212 an\u22121
1\u2212 a (2.55)
Modelo 6 \u2013 Financiamento
Na compra de uma casa e´ feito um financiamento do valor c0 que deve ser pago em 15
anos, em parcelas mensais fixas e iguais a k. Devemos determinar o juro mensal cobrado
neste empreendimento.
Seja c0 a d´\u131vida inicial; Enta\u2dco, a d´\u131vida cn num me\u2c6s n e´ dada pela d´\u131vida corrigida do
me\u2c6s anterior menos a parcela paga no me\u2c6s, ou seja,
cn+1 = cn + \u3b1cn \u2212 k = (1 + \u3b1)cn \u2212 k (2.56)
Podemos encontrar a soluc¸a\u2dco de (2.56) por recorre\u2c6ncia:
c1 = (1 + \u3b1)c0 \u2212 k
c2 = (1 + \u3b1)c1 \u2212 k = (1 + \u3b1)2c0 \u2212 (1 + \u3b1)k \u2212 k
c3 = (1 + \u3b1)c2 \u2212 k = (1 + \u3b1)3c0 \u2212 (1 + \u3b1)2k \u2212 (1 + \u3b1)k \u2212 k
...
cn = (1 + \u3b1)nc0 \u2212 k[1 + (1 + \u3b1) + · · ·+ (1 + \u3b1)n\u22121]
Temos que o termo entre colchetes e´ a soma de uma progressa\u2dco geome´trica. Logo,
cn = (1 + \u3b1)nc0 \u2212 k 1\u2212 (1 + \u3b1)
n
\u2212\u3b1 (2.57)
104 Modelagem Matema´tica
Observac¸a\u2dco 2.11. Esta mesma expressa\u2dco poderia ter sido obtida diretamente de (2.49).
E´ interessante notar que, em problemas como este, a taxa de juros cobrada esta´ camu-
flada. Se considerarmos que a d´\u131vida estara´ quitada em t meses, devemos ter em (2.57) que
ct = 0, logo
(1 + \u3b1)tc0 = k
1\u2212 (1 + \u3b1)t
\u2212\u3b1
ou
\u3b1c0
k
=
(1 + \u3b1)t \u2212 1
(1 + \u3b1)t
= 1\u2212 1
(1 + \u3b1)t
.
Conhecidos os valores da d´\u131vida inicial c0 ,do pagamento parcelado k e do tempo
necessa´rio t para a liquidac¸a\u2dco desta d´\u131vida, o ca´lculo de \u3b1 pode ser feito, usando-se algum
me´todo nume´rico. Por exemplo, sejam c0 = 30.000, k = 500 e t=15 anos (180 meses).
Enta\u2dco, temos
60\u3b1 = 1\u2212 1
(1 + \u3b1)180
(2.58)
Para determinar o valor de \u3b1 em (2.58) vamos usar o me´todo mais elementar: bissec¸a\u2dco.
Sejam y = 60\u3b1 e z = 1\u2212 1
(1 + \u3b1)180
. Enta\u2dco devemos encontrar \u3b1 de modo que y = z:
\u3b1 = 0.01\u21d2 y = 0.6 e z = 0.833\u21d2 z > y
\u3b1 = 0.02\u21d2 y = 1.2 e z = 0.97\u21d2 z < y
\u3b1 =
0.01 + 0.02
2
= 0.015\u21d2 y = 0.9 e z = 0.93\u21d2 z > y
Enta\u2dco \u3b1 deve estar entre 0.015 e 0.02. Continuando o processo, obtemos \u3b1 ' 0.0156 ou
1.56 % ao me\u2c6s!
Equac¸a\u2dco de 2a¯ ordem, (n\u2212m) = 2
Uma equac¸a\u2dco geral de diferenc¸as, de 2a¯ ordem e´ da forma:
yn = ayn\u22121 + byn\u22122 com y0 e y1 dados (2.59)
Soluc¸a\u2dco:
Considerando que yn = k\u3bbn (como no caso de 1a¯ ordem) seja uma soluc¸a\u2dco de (2.59),
temos
k\u3bbn \u2212 ak\u3bbn\u22121 \u2212 bk\u3bbn\u22122 = 0 =\u21d2 k\u3bbn\u22122[\u3bb2 \u2212 a\u3bb\u2212 b] = 0
logo, \u3bb = 0 ou \u3bb2 \u2212