ensino prendizagem com Modelagem matemática
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ensino prendizagem com Modelagem matemática


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a\u3bb\u2212 b = 0.
\u2022 Para \u3bb = 0\u21d2 yn = 0 para todo n (soluc¸a\u2dco trivial) que so´ tem sentido se y0 = y1 = 0;
Rodney Carlos Bassanezi 105
\u2022 Se \u3bb 6= 0, P (\u3bb) = \u3bb2 \u2212 a\u3bb\u2212 b e´ o polino\u2c6mio caracter´\u131stico de (2.59) e suas ra´\u131zes \u3bb1.2
sa\u2dco denominadas auto-valores,
\u3bb2 \u2212 a\u3bb\u2212 b = 0 =\u21d2 \u3bb1.2 = a±
\u221a
a2 + 4b
2
(2.60)
\u3bb1.2 sa\u2dco univocamente determinadas pelos valores dos coeficientes a e b.
Para as equac¸o\u2dces lineares vale o princ´\u131pio da superposic¸a\u2dco, isto e´, se temos va´rias soluc¸o\u2dces,
enta\u2dco a combinac¸a\u2dco linear entre elas tambe´m e´ uma soluc¸a\u2dco. Como \u3bb1 e \u3bb2 foram determi-
nados, justamente com a promessa de k\u3bbn1 e k\u3bb
n
2 serem soluc¸o\u2dces de (2.59), podemos concluir
que
yn = A1\u3bbn1 +A2\u3bb
n
2 (2.61)
tambe´m e´ uma soluc¸a\u2dco de (2.59).
A expressa\u2dco (2.61) sera´ a soluc¸a\u2dco geral de (2.59) se \u3bb1 6= \u3bb2, isto e´, se a2+4b 6= 0. Neste
caso, as constantes A1 e A2 sa\u2dco determinadas univocamente atrave´s das condic¸o\u2dces iniciais
y0 e y1:
\u2022 Para n = 0\u21d2 y0 = A1 +A2;
\u2022 Para n = 1\u21d2 y1 = A1\u3bb1 +A2\u3bb2.
O sistema {
A1 +A2 = y0
\u3bb1A1 + \u3bb2A2 = y1
admite como soluc¸a\u2dco os valores
A2 =
\u3bb1y0 \u2212 y1
\u3bb1 \u2212 \u3bb2 e A1 = y0 \u2212
\u3bb1y0 \u2212 y1
\u3bb1 \u2212 \u3bb2 (2.62)
Soluc¸a\u2dco do modelo 4 (Crescimento das Tila´pias)
O modelo matema´tico para a dina\u2c6mica populacional das tila´pias e´ uma equac¸a\u2dco de
diferenc¸as de 2a¯ ordem: {
pn = pn\u22121 + \u3b1pn\u22122
p(0) = p0 e p1 = p0
(2.63)
e \u3bb2 \u2212 \u3bb\u2212 \u3b1 = 0 e´ o polino\u2c6mio caracter´\u131stico de (2.63), cujas ra´\u131zes (autovalores) sa\u2dco
\u3bb1 =
1 +
\u221a
1 + 4\u3b1
2
e \u3bb2 =
1\u2212\u221a1 + 4\u3b1
2
, \u3bb1 6= \u3bb2.
A soluc¸a\u2dco geral e´ dada por
pn = A1\u3bbn1 +A2\u3bb
n
2
106 Modelagem Matema´tica
onde
A1 = p0 \u2212 \u3bb1p0 \u2212 p0
\u3bb1 \u2212 \u3bb2 =
p0[1 +
\u221a
1 + 4\u3b1]
2
\u221a
1 + 4\u3b1
e
A2 = p0 \u2212A1 = \u2212p0[1\u2212
\u221a
1 + 4\u3b1]
2
\u221a
1 + 4\u3b1
. (2.64)
Observac¸a\u2dco 2.12.
\u2022 Quando os autovalores da equac¸a\u2dco (2.60) sa\u2dco iguais, isto e´, \u3bb1 = \u3bb2 = a2 , enta\u2dco a
soluc¸a\u2dco geral de (2.59) e´ dada por
yn = (A1 + nA2)
(a
2
)n
(verifique!) (2.65)
e as constantes A1 e A2 sa\u2dco obtidas por:{
y0 = A1
y1 = (A1 +A2)
a
2
\u21d2 y0 +A2 = 2y1
a
\u21d2 A2 = 2y1
a
\u2212 y0 (2.66)
\u2022 Se os autovalores \u3bb1 e \u3bb2 sa\u2dco complexos, isto e´,
\u3bb1 = \u3b1+ \u3b2i = rei\u3b8 e \u3bb2 = \u3b1\u2212 \u3b2i = re\u2212i\u3b8, onde r =
\u221a
\u3b12 + \u3b22 e \u3b8 = arctan\u3b2/\u3b1,
enta\u2dco, a soluc¸a\u2dco geral real de (2.59) e´ dada por:
yn = c1rn cosn\u3b8 + c2rn senn\u3b8 (2.67)
De fato, usando a fo´rmula de Euler: ei\u3b8 = cos \u3b8 + i sen \u3b8, temos
\u3bbn1 = (\u3b1+ \u3b2i)
n = (rei\u3b8)n = rn(cos \u3b8 + i sen \u3b8)n = rn(cosn\u3b8 + i senn\u3b8).
Portanto
yn = A1\u3bbn1 +A2\u3bb
n
2 = A1(\u3b1+ \u3b2i)
n +A2(\u3b1\u2212 \u3b2i)n
= A1rn(cosn\u3b8 + i senn\u3b8) +A2rn(cosn\u3b8 \u2212 i senn\u3b8)
= B1rn cosn\u3b8 + iB2rn senn\u3b8
Agora, como a equac¸a\u2dco e´ linear, tanto a parte real
un = B1rn cosn\u3b8
quanto a parte imagina´ria
vn = B2rn senn\u3b8
Rodney Carlos Bassanezi 107
sa\u2dco soluc¸o\u2dces da equac¸a\u2dco (2.59). Logo, pelo princ´\u131pio da superposic¸a\u2dco, obtemos a
soluc¸a\u2dco geral real:
yn = c1un + c2vn = rn(c1 cosn\u3b8 + c2 senn\u3b8), c1 e c2 reais. (2.68)
Neste caso, a sequ¨e\u2c6ncia dos pontos yn e´ perio´dica com amplitude igual a rn e freque\u2c6ncia
1
\u3b8
.
\u2013 Se r > 1\u21d2 yn e´ crescente;
\u2013 Se r < 1\u21d2 yn e´ decrescente.
Exemplo 2.11. A equac¸a\u2dco de diferenc¸as
yn+2 + yn = 0 com y0 = 0 e y1 = 1 (2.69)
tem polino\u2c6mio caracter´\u131stico dado por:
\u3bb2 + 1 = 0\u21d2 \u3bb1 = i e \u3bb2 = \u2212i (a = 0 e b = 1).
Enta\u2dco,
r =
\u221a
a2 + b2 = 1 e \u3b8 = arctan
b
a
=
pi
2
.
A soluc¸a\u2dco real da equac¸a\u2dco (2.69) e´
yn = c1 cos
npi
2
+ c2 sen
npi
2
(2.70)
Usando as condic¸o\u2dces iniciais, obtemos c1 = 0 e c2 = 1, enta\u2dco
yn = sen
npi
2
(2.71)
e´ a soluc¸a\u2dco real particular da equac¸a\u2dco (2.69).
Exemplo 2.12. A equac¸a\u2dco de diferenc¸as
yn+2 \u2212 2yn+1 + 2yn = 0 com y0 = 0 e y1 = 1 (2.72)
tem como soluc¸a\u2dco
yn = (
\u221a
2)n sen
(pi
4
n
)
(verifique!)
Neste caso, a amplitude rn = (
\u221a
2)n e´ crescente (figura 2.42) e a freque\u2c6ncia e´ \u3b8 = pi/4.
108 Modelagem Matema´tica
Figura 2.42: Oscilac¸o\u2dces com amplitudes crescentes rn > 1.
Exemplo 2.13. A equac¸a\u2dco de diferenc¸as
yn+2 \u2212 2ayn+1 + 2a2yn = 0 com y0 = 0 e y1 = 1 e a > 0. (2.73)
tem o polino\u2c6mio caracter´\u131stico dado por
\u3bb2 \u2212 2a\u3bb+ 2a2 = 0
cujas ra´\u131zes sa\u2dco complexas
\u3bb1 =
2a+ 2ai
2
= a(1 + i) e \u3bb2 = a(1\u2212 i)
Enta\u2dco,
r = a
\u221a
2 e \u3b8 =
pi
4
.
A soluc¸a\u2dco real que satisfaz as condic¸o\u2dces iniciais e´
yn = (a
\u221a
2)n sen
(pi
4
n
)
(2.74)
Agora, como \u22121 \u2264 sen
(pi
4
n
)
\u2264 1, enta\u2dco yn tera´ oscilac¸o\u2dces decrescentes quando r =
a
\u221a
2 < 1.
2.5.2 Sistemas de Equac¸o\u2dces de Diferenc¸as
Uma equac¸a\u2dco linear de 2a¯ ordem
yn+2 + ayn+1 + byn = 0 (2.75)
Rodney Carlos Bassanezi 109
Figura 2.43: Oscilac¸o\u2dces com amplitudes decrescentes rn < 1.
Pode ser transformada num sistema linear de 2 equac¸o\u2dces de 1a¯ ordem considerando a
mudanc¸a de varia´veis zn = yn+1: {
yn+1 = zn
zn+1 = \u2212azn \u2212 byn (2.76)
Reciprocamente, um sistema linear de ordem 2{
yn+1 = a11yn + a12zn
zn+1 = a21yn + a22zn
(2.77)
Pode ser convertido na equac¸a\u2dco linear de 2a¯ ordem
yn+2 \u2212 (a11 + a22)yn+1 + (a22a11 \u2212 a12a21)yn = 0 (2.78)
A matriz
J =
(
a11 a12
a21 a22
)
(2.79)
e´ denominada matriz Jacobiana do sistema (2.77). Os autovalores desta matriz sa\u2dco valores
\u3bb tais que det(J \u2212 \u3bbI) = 0, onde I e´ a matriz identidade, ou seja,
det(J \u2212 \u3bbI) =
\u2223\u2223\u2223\u2223 a11 \u2212 \u3bb a12a21 a22 \u2212 \u3bb
\u2223\u2223\u2223\u2223 = 0\u21d4
\u3bb2 \u2212 (a11 + a22)\u3bb+ (a22a11 \u2212 a12a21) = 0 (2.80)
P (\u3bb) = \u3bb2 \u2212 (a11 + a22)\u3bb+ (a22a11 \u2212 a12a21) e´ o polino\u2c6mio caracter´\u131stico de (2.78);
110 Modelagem Matema´tica
\u2022 \u3b1 = a11 + a22 = trac¸o da matriz J ;
\u2022 \u3b2 = a11a22 \u2212 a12a21 = determinante de J ;
\u2022 \u3b12 \u2212 4\u3b2 = discriminante de J .1
Modelo 7 \u2013 Crescimento populacional das tila´pias com taxas de sobre-
vive\u2c6ncia
Vamos usar os mesmos dados do Modelo 4, considerando agora as dina\u2c6micas dos 3
esta´gios distintos: ovos, alevinos e adultos, juntamente com suas taxas de sobrevive\u2c6ncia:
Considerac¸o\u2dces:
a. Somente a fe\u2c6mea adulta desova e o faz a cada 2 meses;
b. Um alevino (peixe jo´vem) torna-se adulto em 4 meses;
c. As probabilidades de nascer macho ou fe\u2c6mea sa\u2dco iguais.
Se c e´ quantidade de ovos em uma desova enta\u2dco,
no¯ de ovos× no¯de fe\u2c6meas = 1
2
anc
e´ a quantidade de ovos num esta´gio n, onde an e´ a quantidade de peixes adultos em n. Se
\u3b1 e´ a taxa de eclosa\u2dco dos ovos enta\u2dco \u3b1c
1
2
an sa\u2dco os ovos sobreviventes no esta´gio n.
Sejam:
\u2022 \u3b3 = \u3b1c
2
a taxa de sobrevive\u2c6ncia da populac¸a\u2dco de ovos;
\u2022 bn a quantidade de jo´vens (alevinos) em cada esta´gio n, e \u3b2 sua taxa de conversa\u2dco
para adultos;
\u2022 an a quantidade de adultos em cada esta´gio n, e \u3b4 sua taxa de sobrevive\u2c6ncia;
\u2022 cn a quantidade de ovos via´veis em cada esta´gio n: cn = (ovos provenientes da desova
dos adultos) + (ovos provenientes da desova dos jo´vens que chegaram a` fase adulta)
\u21d2
cn = \u3b3an\u22121 + \u3b3\u3b2bn\u22121 (2.81)
\u2022 an = (adultos que sobreviveram no esta´gio (n \u2212 1)) + (jo´vens que chegaram a` fase
adulta) \u21d2
an = \u3b4an\u22121 + \u3b2bn\u22121 (2.82)
\u2022 bn = (jo´vens sobreviventes do esta´gio n\u2212 1) \u21d2
bn = cn\u22121 (2.83)
Rodney Carlos Bassanezi 111
Figura 2.44: Dina\u2c6mica populacional de peixes (tila´pia).
Estas considerac¸o\u2dces podem ser visualizadas no esquema da figura 2.44:
Considerando as taxas de mortalidade
\u2022 (1\u2212 \u3b4): taxa de mortalidade de adultos;
\u2022 (1\u2212 \u3b2): taxa de mortalidade de alevinos;
\u2022 (1\u2212 \u3b3): taxa de perda de ovos,
obtemos o sistema linear de ordem 3:\uf8f1\uf8f2\uf8f3 an = \u3b4an\u22121 + \u3b2bn\u22121bn = cn\u22121
cn = \u3b3an\u22121 + \u3b3\u3b2bn\u22121
(2.84)
1Para um desenvolvimento maior da teoria das equac¸o\u2dces de diferenc¸as e aplicac¸o\u2dces, veja: Goldberg, S \u2013
Introduction to Difference Equations, Dover, N. York, 1986 [11].
112 Modelagem Matema´tica
com autovalores dados pelas ra´\u131zes da equac¸a\u2dco caracter´\u131stica:
|(J \u2212 \u3bbI)| =
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223
\uf8eb\uf8ed \u3b4 \u3b2 00 0 1
\u3b3 \u3b3\u3b2 0
\uf8f6\uf8f8+
\uf8eb\uf8ed \u2212\u3bb 0 00 \u2212\u3bb 0
0 0 \u2212\u3bb
\uf8f6\uf8f8\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223 = 0,
onde, J e´ denominado jacobiano da equac¸a\u2dco (2.84).\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223