ensino prendizagem com Modelagem matemática
386 pág.

ensino prendizagem com Modelagem matemática


DisciplinaModelos Matematicos20 materiais208 seguidores
Pré-visualização50 páginas
\u3b4 \u2212 \u3bb \u3b2 0
0 \u2212\u3bb 1
\u3b3 \u3b3\u3b2 \u2212\u3bb
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223 = 0\u21d0\u21d2 \u2212\u3bb3 + \u3bb2\u3b4 + \u3b2\u3b3 + \u3b3\u3b2\u3bb\u2212 \u3b3\u3b2\u3b4 = 0,
ou seja, o polino\u2c6mio caracter´\u131stico de (2.84) e´ dado por:
\u2212\u3bb3 + \u3bb2\u3b4 + \u3b3\u3b2\u3bb = \u3b3\u3b2(\u3b4 \u2212 1) (2.85)
Observac¸a\u2dco 2.13. Se os valores dos para\u2c6metros \u3b3, \u3b4, \u3b2 sa\u2dco conhecidos enta\u2dco o ca´lculo das
ra´\u131zes de (2.85) pode ser feito por me´todos nume´ricos (Newton-Raphson, Gauss, bissecc¸o\u2dces
etc) [12]. Todavia, nem sempre a soluc¸a\u2dco expl´\u131cita e´ a mais conveniente. Neste caso, por
exemplo, uma tabela de dados e gra´ficos pode ser facilmente construida com algum programa
computacional (experimente!).
Exemplo 2.14. sequ¨e\u2c6ncia de Fibonacci e o nu´mero a´ureo
Leonardo de Pisa (1175\u20131250) e´ considerado um dos matema´ticos mais criativos do
mundo crista\u2dco medieval \u2013 conhecido como Fibonacci, publicou em 1202 o livro Liber Abaci
(Livro de A´bacos) onde encontra-se o problema que deu origem a` sua famosa sequ¨e\u2c6ncia
nume´rica \u201cQuantos coelhos havera´ em um ano, comec¸ando com um so´ casal, se em cada
me\u2c6s cada casal adulto gera um novo casal, o qual se tornara´ produtivo em dois meses?\u201d
Este problema, semelhante ao das tila´pias, pode ser formulado em termos de uma equac¸a\u2dco
de diferenc¸as
yn+1 = yn + yn\u22121 com y0 = 1 e y1 = 1, (2.86)
onde yn e´ o nu´mero de casais adultos no esta´gio n com n \u2208 N.
Esta equac¸a\u2dco recursiva gera a seguinte sequ¨e\u2c6ncia crescente:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, . . .
conhecida como sequ¨e\u2c6ncia de Fibonacci.
A soluc¸a\u2dco da equac¸a\u2dco (2.86) e´ obtida em termos de seus auto-valores, ra´\u131zes do polino\u2c6mio
caracter´\u131stico:
\u3bb2 \u2212 \u3bb\u2212 1 = 0\u21d2
\u21d2 \u3bb1 = 1 +
\u221a
5
2
e \u3bb2 =
1\u2212\u221a5
2
e portanto, a soluc¸a\u2dco geral de (2.86) e´ dada por:
yn = A\u3bbn1 +B\u3bb
n
2 .
Rodney Carlos Bassanezi 113
Considerando as condic¸o\u2dces iniciais y0 = 1 e y1 = 1, temos\uf8f1\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f3
1 = A+B
1 = A
(
1 +
\u221a
5
2
)
+B
(
1\u2212\u221a5
2
)
Resolvemos o sistema, obtemos:
A =
\u221a
5 + 1
2
\u221a
5
e B =
\u221a
5\u2212 1
2
\u221a
5
Logo, a soluc¸a\u2dco particular de (2.86) e´
yn =
1\u221a
5
(
1 +
\u221a
5
2
)n+1
\u2212 1\u221a
5
(
1\u2212\u221a5
2
)n+1
(2.87)
Observamos que \u3bb1 > 1 e \u22121 < \u3bb2 < 0; assim, o autovalor dominante e´ \u3bb1 pois |\u3bb1| >
|\u3bb2|, o que garante que a sequ¨e\u2c6ncia de Fibonacci {yn}n\u22650 e´ crescente e na\u2dco limitada, e
portanto na\u2dco convergente.
A raza\u2dco dos termos sucessivos da sequ¨e\u2c6ncia de Fibonacci fornece uma nova sequ¨e\u2c6ncia
que e´ convergente
bn =
yn+1
yn
\u2192 1 +
\u221a
5
2
De fato, seja \u3c6 = limn\u2192\u221e bn > 0. Portanto
1
\u3c6
= lim
n\u2192\u221e
1
bn
= lim
n\u2192\u221e
yn
yn+1
Agora, como yn satisfaz a` equac¸a\u2dco (2.86), enta\u2dco
\u3c6 = lim
n\u2192\u221e
yn+1
yn
= lim
n\u2192\u221e
yn + yn\u22121
yn
= 1 + lim
n\u2192\u221e
yn\u22121
yn
= 1 +
1
\u3c6
Logo, o valor do limite de bn deve satisfazer a` equac¸a\u2dco
\u3c6 = 1 +
1
\u3c6
ou \u3c62 = \u3c6+ 1 (2.88)
Como \u3c6 > 0, enta\u2dco
\u3c6 =
1 +
\u221a
5
2
= 1.61803 . . .
ou seja,
lim
n\u2192\u221e
yn+1
yn
=
1 +
\u221a
5
2
(nu´mero a´ureo).
114 Modelagem Matema´tica
Acredita-se que foi Kepler (1571\u20131630) o primeiro a estabelecer a relac¸a\u2dco entre a
sequ¨e\u2c6ncia de Fibonacci e o nu´mero a´ureo \u3c6 =
1 +
\u221a
5
2
, analisando o crescimento de de-
terminadas plantas.
Observamos que \u3c6 e´ a raiz positiva da equac¸a\u2dco (2.88), isto e´,
\u3c62 = \u3c6+ 1 \u21d4 \u3c6 = 1 + 1
\u3c6
\u21d4 1
\u3c6
= \u3c6\u2212 1.
O nu´mero
1
\u3c6
e´ denominado sec¸a\u2dco a´urea
1
\u3c6
= \u3c6\u2212 1 = 1.61803\u2212 1 = 0.61803 . . .
A secc¸a\u2dco a´urea esta´ relacionada com a divisa\u2dco de um segmento AB, obedecendo a seguinte
proporc¸a\u2dco:
AB
AC
=
AC
CB
(2.89)
B
1 - x
C
x
A
Figura 2.45: Secc¸a\u2dco a´urea.
Consideremos AB = medida (AB) = 1 (unidade de medida) e AC = medida (AC) = x.
De (2.89) temos
1
x
=
x
1\u2212 x \u21d2 x
2 = 1\u2212 x,
cuja soluc¸a\u2dco positiva e´ a sec¸a\u2dco a´urea
x =
\u22121 +\u221a5
2
=
2
1 +
\u221a
5
=
1
\u3c6
= 0.61803 . . .
Um reta\u2c6ngulo a´ureo e´ aquele cujos lados a, b obedecem a` \u201cdivina proporc¸a\u2dco\u201d
a =
1
\u3c6
b\u21d0\u21d2 b = a\u3c6. (2.90)
Para os gregos o reta\u2c6ngulo a´ureo representava a \u201clei matema´tica\u201d da beleza e do equil´\u131brio
e era frequente em sua arquitetura cla´ssica. A figura 2.46 abaixo mostra o Parthenon limitado
por um reta\u2c6ngulo a´ureo.
Um reta\u2c6ngulo a´ureo tem a propriedade de poder ser subdividido em infinitos reta\u2c6ngulos
a´ureos:
Rodney Carlos Bassanezi 115
Figura 2.46: O Parthenon.
Seja R1 o reta\u2c6ngulo de lados a1 = \u3b2
1
\u3c6
e b1 = \u3b2
Se retirarmos de R1 o quadrado de lado \u3b2
1
\u3c6
obtemos um novo reta\u2c6ngulo R2 de lados
b2 = \u3b2
1
\u3c6
e a2\u3b2 \u2212 \u3b2 1
\u3c6
= \u3b2
(
1\u2212 1
\u3c6
)
.
Como 1\u2212 1
\u3c6
=
\u3c6\u2212 1
\u3c6
=
1
\u3c6
\u3c6
=
1
\u3c62
, enta\u2dco
a2
b2
=
\u3b2 1\u3c6
\u3b2 1\u3c62
=
1
\u3c6
.
Portanto, R2 tambe´m e´ um reta\u2c6ngulo a´ureo.
E assim, sucessivamente, formamos uma sequ¨e\u2c6ncia de reta\u2c6ngulos a´ureos Rn de lados
bn =
\u3b2
\u3c6n\u22121
e an =
\u3b2
\u3c6n
.
E portanto A(R1) = soma das a´reas de infinitos quadrados distintos, formado pelos lados
menores dos sub-reta\u2c6ngulos Rn.
Exerc´\u131cio: Mostre que a se´rie geome´trica
\u221e\u2211
n=0
1
\u3c6n
converge para \u3c62.
116 Modelagem Matema´tica
Figura 2.47: Reta\u2c6ngulo a´ureo.
Exerc´\u131cio: Mostre que qualquer reduc¸a\u2dco (ou ampliac¸a\u2dco) de um reta\u2c6ngulo a´ureo e´ tambe´m
um reta\u2c6ngulo a´ureo.
Exerc´\u131cio: Seja P um paralelep´\u131pedo de lados \u3b1, \u3b2, \u3b3. Dizemos que P e´ a´ureo se o reta\u2c6ngulo
de lados \u3b1 e \u3b2 e o reta\u2c6ngulo de lados \u3b3 e d =
\u221a
\u3b12 + \u3b22 forem a´ureos. Seja R o reta\u2c6ngulo
a´ureo de lados \u3b1 e \u3b2. Determine o valor de \u3b3 para que o paralelep´\u131pedo de lados \u3b1, \u3b2 e \u3b3
seja a´ureo.
Projeto 2.1. Modelo de Propagac¸a\u2dco anual de Plantas Sazonais [13]
Determinadas plantas produzem sementes no final do vera\u2dco quando enta\u2dco morrem. Uma
parte destas sementes sobrevivem no inverno e algumas delas germinam, dando origem a
uma nova gerac¸a\u2dco de plantas. A frac¸a\u2dco que germina depende da idade das sementes. Cada
esta´gio do ciclo de vida das plantas esta´ esquematizado na figura abaixo:
Para\u2c6metros:
\u2022 \u3b3: nu´mero de sementes produzidas por cada planta em maio;
\u2022 \u3c3: frac¸a\u2dco de sementes que sobrevivem em cada inverno;
\u2022 \u3b1: frac¸a\u2dco de sementes de um ano que germinam;
\u2022 \u3b2: frac¸a\u2dco de sementes de 2 anos que germinam.
Formule o modelo matema´tico em forma de equac¸o\u2dces de diferenc¸as do nu´mero de plantas
e nu´mero de sementes (de um e dois anos).
Rodney Carlos Bassanezi 117
Figura 2.48: Propagac¸a\u2dco de plantas.
Considere a seguinte hipo´tese: sementes germinam somente ate´ a idade de 2 anos, sendo
que a grande maioria germina com um ano (\u3b2/\u3b1 e´ bem pequeno).
2.5.3 Equac¸o\u2dces de Diferenc¸as na\u2dco-lineares (1a¯ ordem) - esta-
bilidade
Uma equac¸a\u2dco de diferenc¸as na\u2dco-linear de 1a¯ ordem e´ uma fo´rmula de recorre\u2c6ncia do tipo
yn+1 = f(yn) (2.91)
onde f e´ uma combinac¸a\u2dco na\u2dco linear de yn (quadra´tica, pote\u2c6ncias, exponenciais etc).
A soluc¸a\u2dco de (2.91) e´ uma expressa\u2dco que relaciona yn e y0 (condic¸a\u2dco inicial), para cada
esta´gio n. Geralmente, na\u2dco e´ poss´\u131vel obter tal soluc¸a\u2dco diretamente quando se trata de
equac¸o\u2dces na\u2dco lineares.
Uma maneira de analisar estas equac¸o\u2dces e´ atrave´s de seus pontos de equil´\u131brio. No
contexto das equac¸o\u2dces de diferenc¸as tem-se a estabilidade do processo quando na\u2dco ocorre
variac¸o\u2dces do esta´gio n para o esta´gio n+ 1, isto e´, quando
yn+1 = yn = y\u2217 (2.92)
Da equac¸a\u2dco (2.91), tem-se um ponto de equil´\u131brio y\u2217 quando
y\u2217 = f(y\u2217) (2.93)
isto e´, y\u2217 e´ um ponto fixo da func¸a\u2dco f .
118 Modelagem Matema´tica
Uma maneira simples para determinar os pontos de equil´\u131brio de uma equac¸a\u2dco na\u2dco-linear
e´ atrave´s dos gra´ficos de Lamerey.
Consideramos, no sistema cartesiano, os valores de yn no eixo das abscissas e yn+1 no
eixo das ordenadas e obtemos o gra´fico ajustado de yn+1 = f(yn). Os pontos de equil´\u131brio
sa\u2dco dados pela intersec¸a\u2dco do gra´fico de f com a bissetriz yn+1 = yn (e´ um processo ana´logo
ao me´todo de Ford-Walford)
Figura 2.49: Ponto fixo y\u2217 = yn+1 = f(yn+1).
Observamos