ensino prendizagem com Modelagem matemática
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ensino prendizagem com Modelagem matemática


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o que nos leva a um modelo ana´logo a` equac¸a\u2dco
(2.113):
dm(t)
dt
= \u3b1m(t) (2.114)
onde \u3b1 > 0 e´ a constante de proporcionalidade do metabolismo.
Exemplo 2.18. Capitalizac¸a\u2dco
Seja c = c(t) um capital aplicado continuamente, com um juro r por unidade do montante
por unidade de tempo, enta\u2dco
c(t+\u2206t) = c(t) + rc(t)\u2206t+ \u3b8(\u2206t)
e´ o capital num intervalo de tempo (t, t+\u2206t), onde \u3b8(\u2206t) e´ um infinitesimal que se aproxima
de zero quando \u2206t\u2192 0. Logo,
lim
\u2206t\u21920
c(t+\u2206t)\u2212 c(t)
\u2206t
= rc(t)
ou de outra forma
dc
dt
= rc (2.115)
o que nos permite dizer, em analogia com as equac¸o\u2dces (2.113) e (2.114) que \u201ca variac¸a\u2dco de
um montante, capitalizado continuamente, e´ proporcional ao seu valor a cada instante\u201d.
As tre\u2c6s situac¸o\u2dces analisadas (exemplos anteriores) te\u2c6m em comum o mesmo modelo
matema´tico (2.112) que e´ a formulac¸a\u2dco da expressa\u2dco geral:
\u201cA variac¸a\u2dco instanta\u2c6nea (crescimento ou decrescimento) de uma varia´vel dependente
y, em relac¸a\u2dco a uma varia´vel independente x, e´ proporcional a y\u201d.
Se considerarmos que a soluc¸a\u2dco y = y(x) deva satisfazer alguma condic¸a\u2dco particular,
temos o problema de Cauchy :\uf8f1\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f3
dy
dx
= ky
y(x0) = y0 (condic¸a\u2dco inicial)
(2.116)
130 Modelagem Matema´tica
A soluc¸a\u2dco y = y(x) de (2.116) e´ obtida por integrac¸a\u2dco das formas diferenciais com
varia´veis separadas,
1
y
dy = kdx (y 6= 0).
Integrando, no intervalo (x0, x), obtemos\u222b x
x0
dy
y
=
\u222b x
x0
kdx
ou
ln y(x)\u2212 ln y(x0) = k(x\u2212 x0)\u21d0\u21d2 ln y
y0
= k(x\u2212 x0)
e portanto
y(x) = y0ek(x\u2212x0) (2.117)
e´ a soluc¸a\u2dco do problema de Cauchy (2.116) cujos gra´ficos sa\u2dco dados na figura 2.61
Figura 2.61: Crescimento (ou decrescimento) linear desinibido.
Observamos que se y0 = 0 a soluc¸a\u2dco de (2.116) sera´ a func¸a\u2dco constante y = 0.
Aplicac¸a\u2dco 2.2. Considere um capital de valor inicial igual a c0 aplicado a um juro de \u3b1%
ao me\u2c6s. Qual deve ser o juro dia´rio, computado continuamente, para que o rendimento no
final do me\u2c6s seja igual ao do modelo discreto?
Soluc¸a\u2dco:
Do modelo discreto (juros compostos) temos que
ct+1 = ct + \u3b1ct = (1 + \u3b1)ct com c0 dado,
Rodney Carlos Bassanezi 131
cuja soluc¸a\u2dco e´
ct = c0(1 + \u3b1)t,
onde t e´ o tempo dado em meses.
O modelo cont´\u131nuo (2.116) fornece como soluc¸a\u2dco:
c(t) = c0ekt.
Para que tenhamos o mesmo rendimento no final de 30 dias em ambos os modelos devemos
ter:
c0(1 + \u3b1) = c0e30k
ou
ln(1 + \u3b1) = 30k =\u21d2 k = ln(1 + \u3b1)
30
.
Crescimento (ou decrescimento) linear inibido
Os modelos de crescimento inibido pressupo\u2dcem que a soluc¸a\u2dco seja assinto´tica, isto e´,
a varia´vel dependente tende a se estabilizar quando a varia´vel independente cresce. A
formulac¸a\u2dco matema´tica mais simples de feno\u2c6menos que te\u2c6m esta propriedadee´ dada pela
equac¸a\u2dco diferencial auto\u2c6noma
dy
dx
= ay + b com
a
b
< 0 (2.118)
Exemplo 2.19. Resfriamento (Lei de Newton)
Consideremos um corpo sem aquecimento interno e cuja temperatura, em cada instante,
e´ mais elevada que a temperatura ambiente. De acordo com a Lei de Newton de resfriamento:
\u201ca taxa de variac¸a\u2dco da temperatura do corpo e´ proporcional a` diferenc¸a entre a temperatura
T (t) e a temperatura do meio ambiente Ta, em cada instante t\u201d.
A formulac¸a\u2dco matema´tica do modelo de Newton e´ dada por:
dT (t)
dt
= \u2212k(T (t)\u2212 Ta) (2.119)
onde a constante de resfriamento (ou aquecimento) k e´ caracter´\u131stica do corpo considerado.
Tomamos k > 0 pois se T > Ta enta\u2dco
dT
dt
< 0 (o corpo esfria) e se T < Ta enta\u2dco
dT
dt
> 0 (o
corpo esquenta).
Observamos que a to\u2c6nica principal deste modelo esta´ no fato que a tende\u2c6ncia da tem-
peratura do corpo e´ de atingir a temperatura ambiente quando enta\u2dco na\u2dco mais varia, isto
e´,
T (t) = Ta \u21d0\u21d2 dT
dt
= 0. (2.120)
A temperatura ambiente Ta e´ a temperatura de equil´\u131brio ou temperatura estaciona´ria.
132 Modelagem Matema´tica
Exemplo 2.20. Aprendizagem
Aprendizagem e´ um conceito complexo e objeto principal da a´rea de Educac¸a\u2dco. Consid-
eremos, como hipo´tese simplista, que a aprendizagem e´ a variac¸a\u2dco positiva do conhecimento.
Assim, dado um programa finito de conhecimentos quantificados e sequenciados, podemos
inferir que \u201ca aprendizagem e´ proporcional a` quantidade de conhecimentos que ainda restam
para completar o programa curricular\u201d.
Seja A = A(t) a quantidade de conhecimentos acumulados no instantes t e A\u2217 o con-
hecimento total do programa estabelecido. Podemos considerar tambe´m que no in´\u131cio do
processo de aprendizagem do programa A(0) = A0 (conhecimento inicial). A tende\u2c6ncia
esperada nesta situac¸a\u2dco e´ que A(t) cresc¸a com o tempo e se aproxime de A\u2217.
A analogia desta situac¸a\u2dco com o feno\u2c6meno do resfriamento de um corpo, nos leva ao
seguinte modelo \uf8f1\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f3
dA
dt
= \u3b2(A\u2217 \u2212A)
A(0) = A0
(2.121)
onde \u3b2 > 0 e´ a constante de aprendizagem, caracter´\u131stica de cada indiv´\u131duo e (A\u2217 \u2212A(t)) e´
o conteu´do que resta para se aprender, no instante t.
Neste caso,
dA
dt
> 0 pois o acu´mulo do conhecimento e´ crescente e estamos supondo que
A(t) < A\u2217 em cada instante t. Ainda,
dA
dt
= 0\u21d0\u21d2 A(t) = A\u2217
ou seja, a aprendizagem e´ nula quando todo o programa e´ conhecido!
Exemplo 2.21. Difusa\u2dco atrave´s de membranas
Amesma analogia anterior pode ser encontrada na formulac¸a\u2dco da Lei de Fick para difusa\u2dco
de materiais atrave´s de membranas permea´veis:
\u201cO fluxo atrave´s de uma membrana e´ proporcional a` a´rea da membrana e a` diferenc¸a
da concentrac¸a\u2dco dos meios separados por ela, se esta diferenc¸a for pequena\u201d.
Em se tratando da difusa\u2dco de materiais atrave´s de membranas celulares o processo e´ bas-
tante complicado e o modelo matema´tico obtido atrave´s da lei de Fick pode ser considerado
como uma aproximac¸a\u2dco simplista da realidade. Suponhamos que uma ce´lula de volume v
(constante) esta´ suspensa em um meio l´\u131quido homoge\u2c6neo de concentrac¸a\u2dco ce (constante).
A concentrac¸a\u2dco de materiais no interior da ce´lula e´ dado por
c(t) =
m(t)
v
(2.122)
onde m(t) e´ a massa celular em cada instante t.
O processo de difusa\u2dco estabelece a existe\u2c6ncia de um fluxo de mole´culas atrave´s da mem-
brana celular em ambas as direc¸o\u2dces, ate´ que a concentrac¸a\u2dco no interior da ce´lula seja igual a`
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concentrac¸a\u2dco do meio em que esta´ suspensa. Vamos supor ainda que c(t) ' 0 para t = 0 ou
enta\u2dco que a concentrac¸a\u2dco do meio l´\u131quido na\u2dco se altera com t, mantendo-se sempre constante
e igual a ce.
A variac¸a\u2dco da massa celular pode ser interpretada como a taxa de fluxo resultante da
difusa\u2dco das mole´culas do soluto que entram e das que saem da ce´lula. Assim, a Lei de Fick
e´ modelada pela equac¸a\u2dco \uf8f1\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f3
dm
dt
= \u3b1A(ce \u2212 c(t))
c(0) ' 0
(2.123)
onde A e´ a a´rea da membrana (supostamente constante) e \u3b1 e´ a constante de permeabilidade,
espec´\u131fica para cada situac¸a\u2dco estudada.
Usando (2.122), podemos escrever o modelo (2.123) em termos da concentrac¸a\u2dco\uf8f1\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f3
dc
dt
=
A
v
\u3b1(ce \u2212 c(t))
c(0) ' 0
(2.124)
Tambe´m neste modelo temos que
dc
dt
= 0\u21d0\u21d2 c(t) = ce.
Os modelos lineares de crescimento (ou decrescimento) inibido podem ser resolvidos por
integrac¸a\u2dco das formas diferenciais com varia´veis separadas:
Consideremos o modelo geral\uf8f1\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f3
dy
dx
= \u3b1(y\u2217 \u2212 y)
y(0) = y0 e \u3b1 > 0
(2.125)
Observamos que a func¸a\u2dco y(t) = y\u2217 e´ uma soluc¸a\u2dco de (2.125), denominada soluc¸a\u2dco esta-
ciona´ria ou de equil´\u131brio.
Se considerarmos agora y 6= y\u2217, podemos estudar a equac¸a\u2dco diferencial, dada em (2.125),
na forma diferencial:
dy
y\u2217 \u2212 y = \u3b1dx (2.126)
e portanto, \u222b x
0
dy
y\u2217 \u2212 y =
\u222b x
0
\u3b1dx.
Resolvendo,
\u2212 ln |y\u2217 \u2212 y(x)|+ ln |y\u2217 \u2212 y0| = \u3b1x
ou
ln
\u2223\u2223\u2223\u2223 y\u2217 \u2212 y0y\u2217 \u2212 y(x)
\u2223\u2223\u2223\u2223 = \u3b1x =\u21d2 y\u2217 \u2212 y0y\u2217 \u2212 y = e\u3b1x
134 Modelagem Matema´tica
e portanto y\u2217 \u2212 y(x) = e\u2212\u3b1x(y\u2217 \u2212 y0) \u21d2
=\u21d2 y(x) = y\u2217 \u2212 (y\u2217