ensino prendizagem com Modelagem matemática
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ensino prendizagem com Modelagem matemática


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\u2212 y0)e\u2212\u3b1x. (2.127)
Observamos que em (2.127), se x = 0 enta\u2dco y(0) = y0 e quando x\u2192 +\u221e enta\u2dco y \u2192 y\u2217.
O gra´fico da soluc¸a\u2dco (2.127) e´ dado na figura 2.62:
y
x
y0 < y*
y0 > y*
y*
y
0
Figura 2.62: Crescimento linear inibido.
Observac¸a\u2dco 2.14. O fato de y tender a y\u2217 somente quando x\u2192 +\u221e pode dar a impressa\u2dco
que a equac¸a\u2dco (2.118) na\u2dco se presta para modelar situac¸o\u2dces reais de estabilidade. Entretanto,
em termos de modelagem matema´tica, x\u2192 +\u221e deve ser interpretado por: \u201cx assume valores
grandes, relativamente a` evoluc¸a\u2dco das varia´veis analisadas\u201d. Por exemplo, no modelo de
resfriamento (equac¸a\u2dco (2.119)) podemos considerar que a temperatura de um corpo \u201catinge\u201d
a temperatura ambiente quando estiver \u201cbem pro´xima\u201d desta temperatura, digamos T (t\u2217) =
±0.99Ta e isto ocorre num tempo t\u2217 finito!
De fato, temos de (2.127) que a soluc¸a\u2dco de (2.119) e´ dada por
T (t) = Ta + (T0 \u2212 Ta)e\u2212kt, k > 0
Ta e´ a temperatura ambiente e T0 = T (0) e´ a temperatura inicial de um corpo. Seja t\u2217 o
tempo necessa´rio para que T (t\u2217) = ± 99
100
Ta enta\u2dco,
± 99
100
Ta = (T0 \u2212 Ta)e\u2212kt\u2217 + Ta
logo
e\u2212kt
\u2217
=
\u2223\u2223\u2223\u2223 1100 Ta(Ta \u2212 T0)
\u2223\u2223\u2223\u2223 =\u21d2 \u2212kt\u2217 = ln \u2223\u2223\u2223\u2223 Ta100(Ta \u2212 T0)
\u2223\u2223\u2223\u2223
e portanto
t\u2217 =
1
k
ln
\u2223\u2223\u2223\u2223100(Ta \u2212 T0)Ta
\u2223\u2223\u2223\u2223 (2.128)
Rodney Carlos Bassanezi 135
Aplicac¸a\u2dco 2.3. O coeficiente de resfriamento de uma pessoa adulta quando morre e´ em
torno de k = 1.3. Se o ambiente onde esta´ sendo velada esta´ a uma temperatura de 22\u25e6C,
podemos determinar o tempo que levara´ para que a temperatura do corpo seja 99% da
temperatura ambiente, supondo que T (0) = 36.5\u25e6C.
Soluc¸a\u2dco:
t\u2217 =
1
1.3
ln
\u2223\u2223\u2223\u2223100(22\u2212 36.5)22
\u2223\u2223\u2223\u2223 = 11.3 ln 100× 14.522 = 3.22hs
Observac¸a\u2dco 2.15. Quando consideramos T (t\u2217) =
99
100
Ta isto significa, em termos
nume´ricos, que podemos considerar T (t\u2217) = Ta, com um erro relativo menor ou igual a
1%.
Se quizermos cometer um erro relativo menor ou igual a 0.1% devemos tomar enta\u2dco
T (t\u2217) =
999
1000
Ta. No exemplo do resfriamento do morto
t\u2217 =
1
1.3
ln
1000× 14.5
22
' 5hs
Assim, 5hs seria o tempo necessa´rio para que o corpo estivesse a uma temperatura T (t\u2217) =
Ta + 0.001, ou seja, T (5) = 22.001\u25e6 C.
Os modelos de variac¸o\u2dces lineares utilizados ate´ o momento sa\u2dco casos particulares de
equac¸o\u2dces diferenciais auto\u2c6nomas \uf8f1\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f3
dy
dx
= f(y)
y(x0) = y0
(2.129)
cujas soluc¸o\u2dces sa\u2dco dadas na forma impl´\u131cita
x(y) = x(y0) +
\u222b y
y0
1
f(z)
dz. (2.130)
Os pontos y\u2217, onde f(y\u2217) = 0, sa\u2dco chamados pontos estaciona´rios ou singulares e sa\u2dco
tambe´m soluc¸o\u2dces de(2.118) (soluc¸o\u2dces de equil´\u131brio).
Observamos que se f(y) e´ cont´\u131nua em y0 e
df
dy
tambe´m e´ cont´\u131nua numa vizinhanc¸a de
y0 enta\u2dco, existe uma u´nica \u3d5(x) tal que y = \u3d5(x) e´ soluc¸a\u2dco local de (2.129)3.
Observac¸a\u2dco 2.16. Seja a equac¸a\u2dco auto\u2c6noma dada por
y\u2032 = ay + b.
A soluc¸a\u2dco de equil´\u131brio desta equac¸a\u2dco e´ obtida quando y\u2032 = 0, ou seja, quando y = y\u2217 =
\u2212 ba .
Substituindo y\u2217 na equac¸a\u2dco, temos sua equivalente
y\u2032 = a(y \u2212 y\u2217) (2.131)
3Veja Teorema de Existe\u2c6ncia e Unicidade de soluc¸a\u2dco para o problema de Cauchy em ([14]), pp. 23\u201324.
136 Modelagem Matema´tica
Equac¸o\u2dces com varia´veis separadas
As equac¸o\u2dces de 1a ordem com varia´veis separadas sa\u2dco da forma
y\u2032 = f(x)g(y). (2.132)
Tais equac¸o\u2dces tambe´m aparecem com certa freque\u2c6ncia no processo de modelagem. Neste para´grafo vamos
examinar alguns exemplos simples formulados com este tipo de equac¸o\u2dces.
Exemplo 2.22. Princ´\u131pio da Alometria
O princ´\u131pio da alometria, muito utilizado em biomatema´tica, estabelece que, num mesmo
indiv´\u131duo, \u201ca raza\u2dco entre os crescimentos espec´\u131ficos (relativos) de seus o´rga\u2dcos e´ constante\u201d.
Sejam x(t) e y(t) os \u201ctamanhos\u201d dos o´rga\u2dcos ou partes distintas do corpo de um mesmo
indiv´\u131duo, num instante t. Enta\u2dco, o modelo matema´tico que traduz o princ´\u131pio da alometria
e´ dado por:
1
x
dx
dt
= \u3b1
1
y
dy
dt
(2.133)
com x(t) > 0, y(t) > 0 para todo t \u2265 0, onde \u3b1 e´ a taxa de proporcionalidade do cresci-
mento relativo, ou coeficiente de alometria.
Na equac¸a\u2dco (2.133) as varia´veis x e y sa\u2dco dependentes de t. Usando a regra da cadeia
podemos escrever (2.133) na forma de uma equac¸a\u2dco auto\u2c6noma onde o tempo t na\u2dco aparece
explicitamente, ou seja,
dx
dy
= \u3b1
x
y
ou
dy
dx
=
1
\u3b1
y
x
. (2.134)
Separando as varia´veis e integrando, obtemos\u222b
dx
x
= \u3b1
\u222b
dy
y
=\u21d2 lnx = \u3b1 ln y + k
onde k e´ a constante de integrac¸a\u2dco que pode ser escrita na forma k = ln a (a > 0). Enta\u2dco,
lnx = ln(ay\u3b1) \u21d2 x = ay\u3b1 (2.135)
A equac¸a\u2dco (2.135), soluc¸a\u2dco de (2.134), fornece a relac¸a\u2dco alome´trica entre as varia´veis x e y.
Exemplo 2.23. Crescimento de Peixes (modelo de von Bertalanffy)
O peso p(t) de cada espe´cie de peixe, dado pelo modelo de von Bertalanffy estabelece que
\u201co crescimento do peso do peixe e´ proporcional a` a´rea de sua superf´\u131cie externa (anabolismo)
e o decaimento e´ proporcional a` energia consumida (catabolismo)\u201d
dp
dt
= \u3b1A\u2212 \u3b2p (2.136)
onde,
Rodney Carlos Bassanezi 137
A pesca esportiva (devoluc¸a\u2dco de todos os pescados) e a pesca ecolo´gica (devoluc¸a\u2dco dos peixes que
ainda na\u2dco procriaram) te\u2c6m atra´\u131do muitos adeptos ao Pantanal Matogrossense. O dourado (Salminus
maxillosus), considerado o \u201crei do rio\u201d, e´ um peixe voraz e de rara beleza. Pode atingir ate´ 1 metro
de comprimento com 20 kg; seu tamanho m\u131´nimo para captura e´ 55 cm. E´ o peixe mais cobic¸ado
pelos pescadores.
\u2022 \u3b1 e´ a constante de anabolismo, representando a taxa de s´\u131ntese de massa por unidade
de a´rea do peixe;
\u2022 \u3b2 e´ a constante de catabolismo, representando a taxa de diminuic¸a\u2dco da massa por
unidade de massa.
\u2022 A a´rea A da superf´\u131cie externa e´ proporcional a p2/3. Isto e´ dado pelo princ´\u131pio da
alometria.
De fato: temos que
\u2022 O peso e´ proporcional ao volume;
\u2022 O volume e´ proporcional ao cubo do comprimento \u21d2 p = k1l3;
\u2022 A a´rea e´ proporcional ao quadrado do comprimento \u21d2 A = k2l2.
Portanto,
A = kp2/3
Enta\u2dco, o modelo de von Bertalanfly para crescimento (em peso) de peixes e´ dado por
dp
dt
= \u3b1p2/3 \u2212 \u3b2p. (2.137)
A equac¸a\u2dco (2.137) e´ auto\u2c6noma de 1a¯ ordem e f(p) = \u3b1p2/3 \u2212 \u3b2p e´ na\u2dco linear em p.
138 Modelagem Matema´tica
A resoluc¸a\u2dco de (2.137) segue os mesmos passos utilizados para a resoluc¸a\u2dco de uma equac¸a\u2dco
geral de Bernoulli (veja em [14], pag. 79).
Considerando em (2.137) a mudanc¸a de varia´vel z = p1\u22122/3 = p1/3, obtemos a equac¸a\u2dco
linear
dz
dt
=
1
3
(\u3b1\u2212 \u3b2z)
cuja soluc¸a\u2dco e´ dada por z =
\u3b1
\u3b2
+ ke\u2212
\u3b2
3 t (verifique!).
E portanto, a soluc¸a\u2dco geral de (2.137) e´ dada por
p(t) =
(
\u3b1
\u3b2
)3(
1 +
k\u3b2
\u3b1
e\u2212
\u3b2
3 t
)3
. (2.138)
Quando t = 0, o valor de p(0) e´ desprez´\u131vel. Considerando enta\u2dco p(0) ' 0 podemos
determinar o valor da constante de integrac¸a\u2dco k:
p(0) = 0 =
(
\u3b1
\u3b2
)3(
1 +
k\u3b2
\u3b1
)3
\u21d2 k = \u2212\u3b1
\u3b2
.
Usando este valor em (2.138), obtemos
p(t) =
(
\u3b1
\u3b2
)3 (
1\u2212 e\u2212 \u3b23 t
)3
. (2.139)
Quando t cresce, o peso do peixe tende a pmax =
(
\u3b1
\u3b2
)3
que sera´ seu peso ma´ximo.
Para algumas espe´cies de peixes o amadurecimento das go\u2c6nodas, condic¸a\u2dco necessa´ria
para o acasalamento, acontece quando a variac¸a\u2dco do crescimento em peso e´ ma´xima.
Em termos matema´ticos, o valor de p(t) que maximiza
dp
dt
e´ obtido considerando
d2p
dt2
= 0
(condic¸a\u2dco necessa´ria);
Derivando duas vezes a equac¸a\u2dco (2.139), obtemos
d2p
dt2
= 3
(
\u3b2
3
)2
pmaxe
\u2212 \u3b23 t
(
1\u2212 e\u2212 \u3b23 t
)(
3e\u2212
\u3b2
3 t \u2212 1
)
.
Enta\u2dco
d2p
dt2
= 0\u21d0\u21d2 t = 0 ou t = 3 ln 3
\u3b2
.
Temos ainda que
dp
dt
= 0 se t = 0 ou t \u2192 +\u221e e dp
dt
> 0 se t > 0. Enta\u2dco, t\u2217 =
3 ln 3
\u3b2
e´
um ponto de inflexa\u2dco da curva p(t) e
p(t\u2217) = pmax(1\u2212 e\u2212ln3)3 = 0.296pmax.