ensino prendizagem com Modelagem matemática
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ensino prendizagem com Modelagem matemática


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Rodney Carlos Bassanezi 139
O controle de pesca, muitas vezes, e´ baseado nos ca´lculos efetuados acima. Por exemplo,
no pantanal matogrossense um pacu´ so´ pode ser pescado se tiver com peso superior a 3kg.
Considera-se que
p(t\u2217) = 3 =\u21d2 pmax = 30.296 ' 10kg
e que um peixe, desta espe´cie, com menos de 3kg ainda na\u2dco procriou.
Figura 2.63: Crescimento em peso de peixes.
Do Princ´\u131pio da Alometria, podemos obter tambe´m um modelo para o crescimento em
tamanho (comprimento do peixe).
Consideremos a relac¸a\u2dco alome´trica:
l(t) = b[p(t)]\u3bb, obtida de \u3bb
dp
dt
p
=
dl
dt
l
.
Aplicando esta relac¸a\u2dco em (2.137), obtemos
\u3bb
\u3b1p2/3 \u2212 \u3b2p
p
=
dl
dt
l
=\u21d2 \u3bb(\u3b1p\u22121/3 \u2212 \u3b2)l = dl
dt
.
O valor de \u3bb depende da espe´cie considerada, variando com a forma do peixe, \u3bb < 13
se tem a forma \u201carredondada\u201d e \u3bb > 13 se for longel´\u131neo. Consideramos, por simplicidade,
\u3bb = 13 , de acordo com a alometria isome´trica p = kl
3 ou l = bp1/3.
Substituindo p\u22121/3 pela expressa\u2dco alome´trica, o modelo de crescimento em comprimento
de peixes e´ dado pela equac¸a\u2dco auto\u2c6noma:{
dl
dt
= \u3bb(b\u3b1\u2212 \u3b2l)
l(0) ' 0
(2.140)
140 Modelagem Matema´tica
A equac¸a\u2dco (2.140) pode ser escrita na forma da equac¸a\u2dco (2.125):
dl
dt
= \u3b2\u3bb
(
b\u3b1
\u3b2
\u2212 l
)
cuja soluc¸a\u2dco, considerando l(0) = 0, e´ dada por
l(t) =
b\u3b1
\u3b2
(1\u2212 e\u2212\u3b2\u3bbt). (2.141)
Podemos observar que quando t\u2192\u221e,
l(t) =\u21d2 b\u3b1
\u3b2
= lmax (comprimento ma´ximo)
e portanto
lmax = b(pmax)1/3.
A equac¸a\u2dco
l(t) = lmax(1\u2212 l\u2212rt); r = \u3b2\u3bb (2.142)
e´ denominada equac¸a\u2dco de von Bertalanffy para o crescimento, em comprimento, de peixes.
Figura 2.64: Crescimento de peixes em comprimento.
As equac¸o\u2dces de von Bertalanffy (2.139) e (2.142) sa\u2dco baseadas, fundamentalmente, no
processo inibito´rio dos crescimentos, em peso e em comprimento. O ca´lculo dos valores
assinto´ticos pmax e lmax pode ser realizado pelo me´todo de Ford-Walford.
O Modelo de von Bertalanfly para o metabolismo de peixes (equac¸a\u2dco (2.136)) pode ser
modificado se considerarmos o crescimento de outros animais. A generalizac¸a\u2dco e´ baseada
Rodney Carlos Bassanezi 141
na mudanc¸a da expressa\u2dco alome´trica que relaciona o peso do animal com a´rea de sua su-
perf´\u131cie externa. Se considerarmos que a a´rea A e´ proporcional a p\u3b3 , obtemos um modelo
generalizado de metabolismo dado por:\uf8f1\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f3
dp
dt
= \u3b1p\u3b3 \u2212 \u3b2p
p(0) = p0, com 0 < \u3b3 < 1
(2.143)
O estudo deste modelo generalizado foi efetuado num programa de Iniciac¸a\u2dco Cient´\u131fica e
descrito no Cap. 5.
Os modelos cla´ssicos de dina\u2c6mica populacional que consideram populac¸o\u2dces isoladas sa\u2dco,
geralmente, formulados por meio de equac¸o\u2dces diferenciais auto\u2c6nomas
dP
dt
= f(P ).
No Cap. 6 e´ feito um estudo detalhado de alguns destes modelos.
2.6.2 Equac¸o\u2dces diferenciais lineares ordina´rias de 2a¯ ordem
Uma classe importante de equac¸o\u2dces diferenciais e´ composta das equac¸o\u2dces que decor-
rem da linearidade da operac¸a\u2dco diferencial. Lembramos que um operador L, definido no
espac¸o vetorial de func¸o\u2dces Cn [(a, b), R] = {func¸o\u2dces reais definidas em (a, b) e com derivadas
cont´\u131nuas ate´ a ordem n}, e´ linear se
L(af + g) = aLf + Lg.
O estudo das equac¸o\u2dces diferenciais lineares pode ser encontrado em livros dida´ticos e
espec´\u131ficos do assunto, traduzidos ou nacionais ([17], [18], [19], [14], etc). Aqui veremos
apenas exemplos de aplicac¸a\u2dco da equac¸a\u2dco de 2a¯ ordem, com o objetivo principal de mostrar
a analogia existente entre os modelos de osciladores harmo\u2c6nicos e circuitos ele´tricos.
Uma equac¸a\u2dco diferencial linear de 2a¯ ordem e´ dada, na forma geral, por:
y\u2032\u2032 = ay\u2032 + by + c (2.144)
onde, a, b e c sa\u2dco constantes ou func¸o\u2dces conhecidas da varia´vel independente.
Exemplo 2.24. Oscilador harmo\u2c6nico amortecido
Consideremos um corpo de massa m sobre o qual age uma forc¸a f a cada instante t. A
2a¯ Lei de Newton estabelece a relac¸a\u2dco entre a acelerac¸a\u2dco (variac¸a\u2dco da velocidade) do corpo
e a resultante F de todas as forc¸as aplicadas sobre a part´\u131cula no mesmo instante
d
dt
(
m
dx
dt
)
= F.
142 Modelagem Matema´tica
Para caracterizar um movimento espec´\u131fico e´ necessa´rio que se tenha o ponto de partida
x0 = x(t0) e sua velocidade inicial v0 =
(
dx
dt
)
(t0). Estas condic¸o\u2dces podem ser reunidas no
problema de Cauchy: \uf8f1\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f3
m
dx2
dt2
= F
(
x,
dx
dt
, t
)
x(t0) = x0
dx
dt
(t0) = v0
(2.145)
As dificuldades na resoluc¸a\u2dco de (2.145) dependem do tipo de func¸a\u2dco F (x, v, t) que aparece
na equac¸a\u2dco. Uma situac¸a\u2dco f´\u131sica de grande interesse e´ o problema das vibrac¸o\u2dces meca\u2c6nicas
onde F e´ uma func¸a\u2dco relativamente simples. Vamos analisar o comportamento de uma
part´\u131cula de massa m, constante, restrita ao movimento sobre uma reta e sob a ac¸a\u2dco de tre\u2c6s
tipos de forc¸as:
F (t) = \u2212kx\u2212 cdx
dt
+ f(t) (2.146)
onde
\u2022 F1(t) = kx(t), e´ uma forc¸a ela´stica que tende a restaurar a posic¸a\u2dco de equil´\u131brio em
x = 0, agindo sempre no sentido oposto ao deslocamento (k > 0 e´ o coeficiente de
elasticidade);
\u2022 F2(t) = \u2212cdx
dt
, com c > 0, e´ a forc¸a provocada pela resite\u2c6ncia ao movimento do corpo
(ou part´\u131cula) mergulhado em um meio viscoso;
\u2022 F3(t) = f(t) e´ uma forc¸a externa conhecida e dependente do tempo.
As vibrac¸o\u2dces meca\u2c6nicas, sujeitas a estas 3 forc¸as podem ser representadas no esquema
da figura 2.65.
A equac¸a\u2dco
m
d2x
dt2
+ c
dx
dt
+ kx = f(t) (2.147)
e´ denominada modelo cla´ssico de um oscilador harmo\u2c6nico amortecido e tem sido de grande
importa\u2c6ncia nas aplicac¸o\u2dces em Engenharia e na F´\u131sica, sendo um parad´\u131gma para o desen-
volvimento inicial da F´\u131sica Ato\u2c6mica.
Exemplo 2.25. Circuitos ele´tricos RLC
Um circuito ele´trico RLC, esquematizado na figura 2.66, conte´m os seguintes dispositivos:
R (resistores), C (capacitores) e L (indutores). Um circuito ele´trico e´ uma sequ¨e\u2c6ncia fechada
de dispositivos conectados.
Os elementos relacionados no circuito ele´trico, tambe´m chamadas dipolos, possuem duas
extremidades que sa\u2dco conectadas com outros dipolos. As medidas importantes na descric¸a\u2dco
do estado de cada dipolo sa\u2dco:
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Figura 2.65: Esquematizac¸a\u2dco de um oscilador harmo\u2c6nico.
~
c
f
e
g h
E
d L c
b
a
R
Figura 2.66: Esquematizac¸a\u2dco de um circuito ele´trico RLC.
Corrente ele´trica Iab(t) que passa do ponto a para o ponto b. A corrente ele´trica mede o
fluxo de carga (positiva) por unidade de tempo
I(t) =
dq
dt
(2.148)
Queda de tensa\u2dco Vab(t) entre dois pontos a e b do circuito. A queda de tensa\u2dco e´ a diferenc¸a
de potencial entre os pontos a e b
Vab(t) = Va(t)\u2212 Vb(t) (2.149)
144 Modelagem Matema´tica
Agora, para cada tipo de dipolo existe uma relac¸a\u2dco entre a corrente e a queda de tensa\u2dco:
Lei de Ohm: \u201cA queda de tensa\u2dco em um resistor e´ proporcional a` corrente que passa
por ele\u201d.
Vab(t) = RIab(t) (2.150)
A constante positiva R e´ a resiste\u2c6ncia.
Lei de Henry: \u201cA queda de tensa\u2dco em um indutor e´ proporcional a` variac¸a\u2dco da
corrente que passa por ele\u201d.
Vcd(t) = L
dIcd(t)
dt
(2.151)
A constante positiva L e´ a induta\u2c6ncia.
\u201cA carga acumulada por um capacitor e´ proporcional a` diferenc¸a de potencial entre
seus polos\u201d.
qef (t) = cVef (t) (2.152)
A constante positiva c e´ a capacita\u2c6ncia.
Da equac¸a\u2dco (2.148), vem que
qef (t) =
\u222b t
t0
Ief (t) = cVef (t)
ou
Ief (t) = c
dVef (t)
dt
, com Vef (t0) = 0 (2.153)
A Lei das malhas estabelece que num circuito fechado \u201ca soma das quedas de tenso\u2dces e´
nula\u201d, isto e´,
Vab(t) + Vcd(t) + Vef (t) + Vgh(t) = 0
onde
Vgh(t) = \u2212E(t)
Logo,
RI + L
dI
dt
+
1
c
\u222b t
t0
Idt\u2212E(t) = 0 (2.154)
Derivando (2.154), obtemos o modelo que fornece a corrente I(t) em cada instante t:
L
d2I
dt2
+R
dI
dt
+
1
c
I =