ensino prendizagem com Modelagem matemática
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ensino prendizagem com Modelagem matemática


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dE
dt
(2.155)
Rodney Carlos Bassanezi 145
Este modelo e´ ana´logo ao do oscilador harmo\u2c6nico para vibrac¸o\u2dces meca\u2c6nicas (equac¸a\u2dco
(2.147)), existindo uma equivale\u2c6ncia meca\u2c6nica-ele´trica entre eles.
L \u2194 m
R \u2194 c
1
c
\u2194 k
dE
dt
\u2194 f(t)
Esta equivale\u2c6ncia ou analogia permite construir circuitos ele´tricos ajusta´veis de tal forma
que possam simular uma vibrac¸a\u2dco meca\u2c6nica. Este e´ o princ´\u131pio de funcionamento dos com-
putadores analo´gicos.
Resoluc¸a\u2dco da equac¸a\u2dco diferencial linear ordina´ria de 2a¯ ordem
com coeficientes constantes
d2x
dt2
+ a
dx
dt
+ bx = f(x) (2.156)
A soluc¸a\u2dco de (2.156) e´ dada pela soluc¸a\u2dco geral xh(t) da equac¸a\u2dco homoge\u2c6nea:
dx2
dt2
+ a
dx
dt
+ bx = 0 (2.157)
mais uma soluc¸a\u2dco particular xp(t) da equac¸a\u2dco na\u2dco homoge\u2c6nea (2.156), isto e´,
x(t) = xh(t) + xp(t).
A soluc¸a\u2dco geral xh(t) da equac¸a\u2dco (2.157) pode ser obtida pelo me´todo das func¸o\u2dces-teste:
Suponhamos que x(t) = Ae\u3bbt seja soluc¸a\u2dco de (2.157) com A 6= 0. Esta func¸a\u2dco, como
teste de soluc¸a\u2dco de (2.157), fornece a seguinte equac¸a\u2dco:
A\u3bb2e\u3bbt + aA\u3bbe\u3bbt + bAe\u3bbt = 0 =\u21d2 Ae\u3bbt[\u3bb2 + a\u3bb+ b] = 0 =\u21d2
=\u21d2 \u3bb2 + a\u3bb+ b = 0. (2.158)
A equac¸a\u2dco alge´brica (2.158), denominada equac¸a\u2dco caracter´\u131stica de (2.157), pode ser
resolvida em relac¸a\u2dco a \u3bb, e fornece 2 ra´\u131zes (autovalores) \u3bb1 e \u3bb2.
\u2022 Se \u3bb1 6= \u3bb2, temos duas soluc¸o\u2dces de (2.157): x1(t) = Ae\u3bb1t e x2(t) = Be\u3bb2t, (A 6= 0 e
B 6= 0) e pelo princ´\u131pio da superposic¸a\u2dco de soluc¸o\u2dces, temos que
xh(t) = Ae\u3bb1t +Be\u3bb2t (2.159)
tambe´m e´ soluc¸a\u2dco de (2.157) e neste caso e´ soluc¸a\u2dco geral pois x1(t) e x2(t) sa\u2dco linear-
mente independentes pois x1(t) 6= kx2(t);
146 Modelagem Matema´tica
\u2022 Se \u3bb1 = \u3bb2 enta\u2dco x1(t) = Ae\u3bb1t e x2(t) = Bte\u3bb2t, (A 6= 0 e B 6= 0) sa\u2dco soluc¸o\u2dces de
(2.157) e a soluc¸a\u2dco geral da equac¸a\u2dco homoge\u2c6nea e´ dada por:
xn(t) = Ae\u3bb1t +Bte\u3bb2t (2.160)
Uma soluc¸a\u2dco particular xp(t) de (2.156) pode ser obtida pelo me´todo dos coeficientes
indeterminados (ou \u201cchuto\u2c6metro\u201d) ou pelo me´todo da variac¸a\u2dco das constantes arbitra´rias
(veja Bassanezi-Ferreira Jr.).
Aplicac¸a\u2dco 2.4. Oscilador harmo\u2c6nico amortecido
Retornemos a` equac¸a\u2dco do oscilador harmo\u2c6nico amortecido:
m
d2x
dt2
+ c
dx
dt
+ kx = f(x).
Consideremos inicialmente que f(t) = 0 (na\u2dco ha´ forc¸a externa agindo sobre o sistema).
A equac¸a\u2dco caracter´\u131stica da equac¸a\u2dco homoge\u2c6nea e´ dada por
m\u3bb2 + c\u3bb+ k = 0
cujas ra´\u131zes sa\u2dco
\u3bb1,2 =
\u2212c±\u221ac2 \u2212 4mk
2m
Temos 3 casos distintos em relac¸a\u2dco aos valores dos para\u2c6metros c,m e k:
\u2022 Se c2 > 4mk, \u3bb1 e \u3bb2 sa\u2dco reais e distintos e negativos. Portanto,
x(t) = Ae\u3bb1t +Be\u3bb2t \u2212\u2192 0 quando t\u2192 0.
Assim, quando o coeficiente de viscosidade c e´ suficientemente grande enta\u2dco o movi-
mento e´ superamortecido.
\u2022 Se c2 = 4mk \u21d2 \u3bb1 = \u3bb2 = \u2212 c2m < 0 e
x(t) = Ae\u2212
c
2m t +Bte\u2212
c
2m t \u2212\u2192 0 quando t\u2192 0.
Neste caso o amortecimento e´ mais lento (amortecimento cr´\u131tico).
\u2022 c2 < 4mk \u21d2 \u3bb1 = \u3b1+ \u3b2i e \u3bb2 = \u3b1\u2212 \u3b2i, com \u3b1 = \u2212c2m < 0. Enta\u2dco,
x(t) = e\u3b1t(A cos\u3b2t+B sen \u3b2t)\u2192 0 quando t\u2192 0.
Neste caso, o movimento e´ dito subamortecido
Rodney Carlos Bassanezi 147
Figura 2.67: Movimento superamortecido.
Figura 2.68: Amortecimento cr´\u131tico.
Exemplo 2.26. Um modelo particular de interesse de oscilac¸o\u2dces harmo\u2c6nicas e´ dado por
dx2
dt2
+ w20 = F cosw0t (2.161)
onde c = 0 (na\u2dco existe amortecedor) e a forc¸a externa e´ perio´dica com per´\u131odo 2pi/w0 e F e´
constante.
A soluc¸a\u2dco geral de (2.161) e´ dada por
x(t) = (A cosw0t+B sen w0t) +
F
2w0
t sen w0t (verifique!) (2.162)
O primeiro termo da soluc¸a\u2dco (2.162) e´ uma func¸a\u2dco perio´dica e portanto limitada para
todo t. Entretanto, quando t \u2192 +\u221e, o 2o¯ termo de (2.162) oscila entre +\u221e e \u2212\u221e. Este
148 Modelagem Matema´tica
Figura 2.69: Movimento subamortecido.
feno\u2c6meno e´ conhecido como ressona\u2c6ncia. Pontes, carros, navios, motores, etc, sa\u2dco sistemas
vibrato´rios e uma forc¸a perio´dica externa, com a mesma freque\u2c6ncia que sua freque\u2c6ncia
natural, pode causar muitos estragos. Este e´ o motivo pelo qual uma tropa de soldados na\u2dco
passa marchando sobre uma ponte.
O feno\u2c6meno de ressona\u2c6ncia pode, entretanto, ser muito u´til em determinadas situac¸o\u2dces
como arrancar a´rvores, aumentar o volume de um ra´dio, jogar \u201ccabo-de-guerra\u201d, tirar um
carro de um atoleiro etc.
Figura 2.70: Ressona\u2c6ncia.
Exemplo 2.27. Diabetes Melito
Diabetes Melito e´ uma doenc¸a de cara´ter gene´tico, caracterizada por hiperglicemia da
depende\u2c6ncia da falta de insulina. E´ uma doenc¸a de transmissa\u2dco heredita´ria, diagnosticada
Rodney Carlos Bassanezi 149
atrave´s da presenc¸a de glicose na urina. Os testes diagno´sticos se baseiam na diminuida
tolera\u2c6ncia a` glicose ou na presenc¸a de hiperglicemia. O tratamento se faz por meio de
injec¸a\u2dco de insulina ou de substa\u2c6ncias que estimulam sua secrec¸a\u2dco.
Um modelo simples para para interpretar os resultados de um GTT (Teste de Tolera\u2c6ncia
de Glicose) e´ baseado nas seguintes informac¸o\u2dces biolo´gicas:
\u2022 A glicose e´ fonte de energia para todos os o´rga\u2dcos e sistemas, sendo muito importante
no metabolismo de qualquer vertebrado. Para cada indiv´\u131duo ha´ uma concentrac¸a\u2dco
o´tima e qualquer desvio excessivo desta concentrac¸a\u2dco conduz a condic¸o\u2dces patolo´gicas
severas.
\u2022 O n´\u131vel de glicose no sangue tende a ser auto-regulato´rio. Este n´\u131vel e´ influenciado e
controlado por uma grande variedade de hormo\u2c6nios e outros metabo´litos. A insulina,
secretada pelas ce´lulas \u3b2 do pa\u2c6ncreas, e´ o principal hormo\u2c6nio regulador do n´\u131vel de
glicose.
O modelo proposto estabelece simplesmente a interac¸a\u2dco entre insulina e glicose:
Seja G a concentrac¸a\u2dco de glicose no sangue e H a concentrac¸a\u2dco hormonal l´\u131quida, com
predomina\u2c6ncia da insulina. O modelo ba´sico e´ descrito analiticamente pelas equac¸o\u2dces:\uf8f1\uf8f4\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f4\uf8f3
dG
dt
= F1(G,H) + f(t)
dH
dt
= F2(G,H)
(2.163)
A func¸a\u2dco f(t) e´ a taxa externa em que a concentrac¸a\u2dco de glicose do sangue esta´ sendo
aumentada. Vamos supor que G e H assumem valores o´timos, respectivamente G0 e H0,
medidos no paciente em jejum. Como estamos interessados nos desvios de G e H de seus
valores o´timos, consideramos as varia´veis:
g = G\u2212G0 e h = H \u2212H0.
O sistema inicial, nas novas varia´veis, e´ dado por:\uf8f1\uf8f4\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f4\uf8f3
dg
dt
= F1(G0 + g,H0 + h) + f(t)
dh
dt
= F2(G0 + g,H0 + h)
(2.164)
Agora, se tomarmos as func¸o\u2dces F1 e F2 como taxas de decaimento ou crescimento dos
desvios da glicose e da insulina, isto e´,
F1 = \u2212a1g \u2212 a2h e F2 = \u2212a3h+ a4g
150 Modelagem Matema´tica
obtemos um sistema linear para modelar a relac¸a\u2dco insulina-glicose no sangue:\uf8f1\uf8f4\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f4\uf8f3
dg
dt
= \u2212a1g \u2212 a2h+ f(t)
dh
dt
= \u2212a3h+ a4g
(2.165)
Como nos exames, medimos somente a glicose no sangue seria interessante ter um modelo
onde aparec¸a apenas a varia´vel g. Se derivamos a 1a¯ equac¸a\u2dco do sistema linear (2.165), em
relac¸a\u2dco a t, e substituimos a expressa\u2dco de dhdt ,dada pela 2
a
¯ equac¸a\u2dco, obtemos
d2g
dt2
= \u2212a1 dg
dt
+ a2a3h\u2212 a2a4g + df
dt
o termo a2h pode ser isolado na 1a¯ equac¸a\u2dco e substituido na equac¸a\u2dco acima, obtendo uma
equac¸a\u2dco diferencial linear de 2a¯ ordem somente na varia´vel g:
d2g
dt2
+ 2\u3b1
dg
dt
+ \u3c920g = a3f(t) +
df
dt
(2.166)
onde, \u3b1 = a1+a32 e \u3c9
2
0 = a1a3 + a2a4.
Observamos que o termo r(t) = a3f(t) + dfdt e´ identicamente nulo para um intervalo de
tempo muito pequeno em que uma carga de glicose esta´ sendo ingerida.
Se considerarmos na equac¸a\u2dco homoge\u2c6nea r(t) = 0 que
\u3b12 < \u3c920
obtemos a soluc¸a\u2dco mais apropriada para o desvio de glicose no sangue, isto e´,
g(t) = Ae\u2212\u3b1t cos(\u3c9t+ \u3b4)
onde \u3c92 = \u3c920 \u2212 \u3b12 e g = G\u2212G0.
Assim, a concentrac¸a\u2dco de glicose e´ dada por:
G(t) = G0 +Ae\u2212\u3b1t cos(\u3c9t+ \u3b4) (2.167)
A avaliac¸a\u2dco das constantes e dos para\u2c6metros envolvidos na equac¸a\u2dco (2.167) podem ser
determinados