ensino prendizagem com Modelagem matemática
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ensino prendizagem com Modelagem matemática


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o plasma e o tecido, sendo que um deles elimina a droga.
A situac¸a\u2dco e´ esquematizada na figura a baixo:
Figura 2.74: Excrec¸a\u2dco de uma droga.
Sejam Q1 = Q1(t) e Q2 = Q2(t) as massas de D(t) no tecido e no plasma, respectiva-
mente, com Q1(0) = 0 e Q2(0) = D0.
\u2022 Escreva os modelos matema´ticos da situac¸a\u2dco, considerando as dosagens:
1. u(t) = 0 para todo t > 0 e u(0) = D0;
2. u(t) dado pelas aplicac¸o\u2dces intermitentes como na 1a¯ Parte.
156 Modelagem Matema´tica
\u2022 Resolva os modelos;
\u2022 Modifique os modelos, considerando hipo´teses adicionais (neste caso seria conveniente
conversar com um bioqu´\u131mico).
Projeto 2.5. D\u131´vida Externa (Modelo de Domar)
O modelo de d´\u131vida externa de Domar relaciona o total da d´\u131vida nacional externa
(empre´stimos feitos no exterior) com o total da renda nacional [21]. O modelo e´ simplista,
sendo baseado no fato que o crescimento da d´\u131vida externa e´ proporcional a` renda (a renda
esta´ vinculada a empre´stimos no exterior). Enquanto que, o aumento da renda deve-se a
uma aplicac¸a\u2dco proporcional da pro´pria renda (existe uma porcentagem constante da renda
que e´ reaplicada para se produzir mais renda).
1. Escreva o modelo matema´tico que representa a interac¸a\u2dco entre as duas varia´veis de
estado renda e d´\u131vida externa;
2. Resolva o sistema, considerando que a renda no instante inicial e´ R(0) = R0 e a d´\u131vida
inicial e´ D(0) = D0;
3. Use o modelo de Domar para tentar validar a d´\u131vida nacional do Brasil, cuja evoluc¸a\u2dco
e´ dada na tabela 2.13:
Sugesta\u2dco: Considere no modelo a d´\u131vida l´\u131quida, e a renda como sendo o valor do
PIB.
4. Se
D\u131´vida
PIB
=
D
R
e´ a capacidade de endividamento de um pa´\u131s, calcule o instante,
atrave´s do modelo de Domar, tal que
D
R
> 0.25;
5. Complete a tabela com dados atuais e verifique como anda nossa capacidade de endi-
vidamento.
6. Se o modelo de Domar na\u2dco e´ razoa´vel para a d´\u131vida × renda do Brasil, formule um
modelo pro´prio, justificando seus argumentos.
Projeto 2.6. Sistema meca\u2c6nico
Considere o sistema meca\u2c6nico (linear) sem atrito esquematizado na figura 2.75 onde o
repouso do sistema para as massas m1 e m2 e´ tomado como a origem de coordenadas x1 e
x2.
\u2022 Escreva o modelo matema´tico que relaciona o movimento dos corpos de massas m1 e
m2;
\u2022 Esquematize o modelo meca\u2c6nico com um modelo compartimental;
\u2022 Descreva o sistema ele´trico ana´logo.
Rodney Carlos Bassanezi 157
D\u131´vida Externa e Exportac¸o\u2dces
US$ Milho\u2dces
Anos
D\u131´vida
Externa
Bruta
Reservas
Internacionais
D\u131´vida
L´\u131quida
Exportac¸o\u2dces
Relac¸a\u2dco
d´\u131vida e
exportac¸a\u2dco
PIB
(1) (2) (3)=(1)\u2212(2) (4) (5)=(3)/(4)
1956 2.568 608 1.960 1.483 1.32
1957 2.373 674 1.899 1.392 1.36
Juscelino 1958 2.734 465 2.269 1.244 1.82
1959 2.971 366 2.605 1.282 2.03
1960 3.462 345 3.117 1.270 2.45
Ja\u2c6nio 1961 3.144 470 2.674 1.405 1.90
Goulart 1962 3.367 285 3.082 1.215 2.54
1963 3.298 215 3.083 1.406 2.19 79.9
1964 3.155 244 2.911 1.430 2.04
Castelo
Branco 1965 3.644 483 3.161 1.596 1.98
1966 3.668 421 3.245 1.741 1.86 87.6
1967 3.281 198 3.083 1.654 1.86
Costa e
Silva 1968 3.780 257 3.523 1.881 1.87 112.3
1969 4.403 656 3.747 2.311 1.62
Me´dice 1970 5.295 1.187 4.108 2.729 1.50
1971 6.622 1.723 4.899 2.904 1.69
1972 9.521 4.183 5.338 3.991 1.34 172.5
1973 12.571 6.416 6.155 6.199 0.99
1974 17.166 5.269 11.897 7.951 1.50
Geisel 1975 21.171 4.040 17.171 8.670 1.98
1976 25.985 6.544 19.441 10.128 1.92
1977 32.037 7.258 24.781 12.139 2.04 241.8
1978 43.511 11.895 31.616 12.659 2.45
1979 49.904 9.639 40.265 15.244 2.64
Figueiredo 1980 53.848 6.913 46.935 20.132 2.33
1981 61.411 7.507 53.904 23.293 2.31 267.8
1982 64.415 \u2014 \u2014 20.175 \u2014
Fonte: Banco Central
Tabela 2.13: Capacidade de endividamento do Brasil.
2.6.4 Modelos compartimentais na\u2dco-lineares
O princ´\u131pio da ac¸a\u2dco das massas, com origem na F´\u131sico-Qu´\u131mica, balizou uma se´rie de
modelos em a´reas diversas. Tal princ´\u131pio e´ baseado no encontro das varia´veis e a interac¸a\u2dco
entre elas e´ formulado matematicamente pelo produto entre estas varia´veis:
\u201cA taxa de coliso\u2dces moleculares entre dois componentes qu´\u131micos diluidos e´ propor-
cional ao produto de suas concentrac¸o\u2dces\u201d
158 Modelagem Matema´tica
Figura 2.75: Sistema meca\u2c6nico composto.
Lotka (1920) utilizou este princ´\u131pio nos modelos de mecanismos de reac¸o\u2dces qu´\u131micas (au-
tocata´lise); Volterra aplicou-o no estudo das oscilac¸o\u2dces das populac¸o\u2dces de peixes e tubaro\u2dces
do Mar Adria´tico (1931), formulando o famoso modelo presa-predador; Kermack-McKendric
(1927) usaram o mesmo princ´\u131pio em modelos epidemiolo´gicos.
Podemos dizer que estes modelos foram os responsa´veis pelo desenvolvimento inicial da
a´rea de Biomatema´tica e sa\u2dco, ainda hoje, para\u2c6metros para a formulac¸a\u2dco de modelos mais
real´\u131sticos. O uso cada vez mais intenso da matema´tica nas cie\u2c6ncias biolo´gicas se deve,
em grande parte, a estes modelos iniciais, considerados atualmente mais educacionais que
pra´ticos embora tenham fornecido alguma explicac¸a\u2dco razoa´vel dos feno\u2c6menos analisados.
Um exemplo cla´ssico deste tipo de modelo e´ o presa-predador de Lotka-Volterra que, por
sua beleza e simplicidade, cativou grande nu´mero de pesquisadores que passaram a utiliza´-
lo como paradigma de seus modelos modificados. Isto pode ser observado nos modelos
de epidemias, biodigestores, crescimento de tumores, combate biolo´gico de pragas, uso de
herbicidas e fungicidas etc. Tais modelos sa\u2dco formulados por meio de equac¸o\u2dces diferenciais
(ou diferenc¸as) na\u2dco-lineares o que pode acarretar uma complicac¸a\u2dco suficiente para que suas
soluc¸o\u2dces sejam apenas nume´ricas.
O estudo anal´\u131tico destes modelos e´, portanto, concentrado na estabilidade das soluc¸o\u2dces
de equil´\u131brio e o leitor encontrara´ material adequado para um aprofundamento desta mate´ria
nos livros ja´ citados anteriormente ([16], [13] e [14]). No Cap´\u131tulo 6 veremos o modelo presa-
predador aplicado num problema de controle biolo´gico de brocas.
Modelo SIR de epidemiologia (Kermack-McKendric)
O estudo da propagac¸a\u2dco de doenc¸as transmiss´\u131veis (epidemias) teve um desenvolvimento
bastante lento ate´ o se´culo XIX, sendo finalmente assumido como pesquisa cient´\u131fica a partir
dos trabalhos desenvolvidos por Pasteur e Kock. Ate´ enta\u2dco as especulac¸o\u2dces em torno do
processo epidemiolo´gico, frequentemente, atribu´\u131am as epidemias a` vinganc¸a de Deus ou
dos esp´\u131ritos malignos.
A partir de 1927, os modelos matema´ticos, formulados por Kermack-McKendric, con-
sideraram que uma epidemia com microparasitas (v´\u131rus ou bacte´rias) ocorre em uma comu-
Rodney Carlos Bassanezi 159
nidade fechada atrave´s do contato entre pessoas infecciosas e pessoas sadias.
A populac¸a\u2dco de hospedeiros e´ subdividida em classes distintas (compartimentos) de
acordo com a sanidade ou infecciosidade de seus elementos:
\u2022 S = S(t): pessoas sadias mas suscet´\u131veis a` doenc¸a, podendo ser infectadas quando em
contato com pessoas doentes;
\u2022 I = I(t): pessoas portadoras da doenc¸a (infecciosos);
\u2022 R = R(t): indiv´\u131duos imunes que ja´ contrairam a doenc¸a e se recuperaram, ou esta\u2dco
isolados ou morreram.
Supor que a comunidade seja fechada implica que a populac¸a\u2dco total se mante´m constante,
isto e´,
N = S(t) + I(t) +R(t)
na\u2dco varia com t. Este fato e´ caracter´\u131stico das doenc¸as cujo per´\u131odo de incubac¸a\u2dco do parasita
e´ relativamente pequeno.
Para cada tipo de doenc¸a podemos modelar sua velocidade de propagac¸a\u2dco atrave´s das
interac¸o\u2dces entre as varia´veis S, I e R. O processo epidemiolo´gico pode ser esquematizado
pelo sistema compartimental que resume as taxas de transic¸o\u2dces entre as tre\u2c6s classes:
I\u3b2S I R\u3b1
Figura 2.76: Esquema compartimental de uma epidemia (Modelo SIR).
onde \u3b2I e´ a taxa de transmissa\u2dco da doenc¸a (\u3b2 > 0), com \u3b2 como o coeficiente de infecciosi-
dade; \u3b1 e´ taxa