ensino prendizagem com Modelagem matemática
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ensino prendizagem com Modelagem matemática


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consiste\u2c6ncia de uma teoria ou sua pro´pria validac¸a\u2dco depende, em grande
parte, da capacidade de interpretac¸a\u2dco/explicac¸a\u2dco em linguagem matema´tica.
Na\u2dco podemos negar que a Matema´tica tem penetrado fortemente na Economia, Qu´\u131mica,
Biologia, entre outras, na perspectiva da utilizac¸a\u2dco de modelos matema´ticos, quase sempre
apoiados, no in´\u131cio, nos paradigmas que nortearam a F´\u131sica \u2013 como as leis de conservac¸a\u2dco
e analogias consequ¨entes. Outras a´reas como Sociologia, Psicologia, Medicina, Lingu¨´\u131stica,
Mu´sica, e mesmo a Histo´ria, comec¸am a acreditar na possibilidade de ter suas teorias mod-
eladas por meio da linguagem matema´tica.
Grosso modo, quando procuramos agir/refletir sobre uma porc¸a\u2dco da realidade, na ten-
tativa de explicar, compreender ou modifica´-la, o processo usual e´ selecionar, no sistema em
estudo, argumentos ou para\u2c6metros considerados essenciais, formalizando-os por meio de um
processo artificial denominado modelo. Bunge reconhece tal processo, chegando a afirmar
que \u201ctoda teoria espec´\u131fica e´, na verdade, um modelo de um pedac¸o da realidade\u201d(Bunge,
[6]).
174 Modelagem Matema´tica
Neste sentido, em relac¸a\u2dco a`s aplicac¸o\u2dces da Matema´tica, duas alternativas mostram-se
bem delineadas: uma primeira visa\u2dco consiste em adaptar conceitos, configurac¸o\u2dces ou estru-
turas matema´ticas aos feno\u2c6menos da realidade \u2013 muitas vezes, sujeitando aspectos da reali-
dade, f´\u131sico- sociais e outros, a tender da melhor maneira poss´\u131vel aos modelos matema´ticos
que lhes sa\u2dco atribu´\u131dos. Numa segunda alternativa temos situac¸o\u2dces da realidade servindo
como fonte para a obtenc¸a\u2dco de novos conceitos e estruturas matema´ticas \u2013 com efeito, neste
sentido, os paradigmas da construc¸a\u2dco cient´\u131fica, ja´ estabelecidos, da\u2dco lugar a novos paradig-
mas e a Matema´tica evolui como um retrato do universo. Talvez, seja esta visa\u2dco, pro´xima
de uma explicac¸a\u2dco plato\u2c6nica sobre o desenvolvimento da Matema´tica, a raza\u2dco da existe\u2c6ncia
e funcionalidade da Matema´tica.
Assim, em se tratando da investigac¸a\u2dco em matema´tica, e´ comum a combinac¸a\u2dco das
duas alternativas. Ha´, enta\u2dco, a possibilidade da construc¸a\u2dco de modelos matema´ticos, a
partir de uma teoria conhecida que, por sua vez, na\u2dco conte´m te´cnicas e me´todos suficientes
para obtenc¸a\u2dco dos resultados desejados. Tais situac¸o\u2dces exigem do matema´tico aplicado
habilidades e criatividade, em especial de tende\u2c6ncias matema´ticas, de modo a desenvolver
novos me´todos e te´cnicas que va\u2dco se mostrando necessa´rios \u2013 naturalmente, tais dina\u2c6micas
sa\u2dco fontes geradoras de motivac¸a\u2dco para a produc¸a\u2dco cient´\u131fica em processo. Do nosso ponto
de vista, a posic¸a\u2dco mais razoa´vel para o matema´tico praticante das aplicac¸o\u2dces, pesquisador
ou professor, e´ a de estar atento para adotar as facetas mais producentes das estrate´gias
dispon´\u131veis, ajustando-as, de modo conveniente, em cada etapa do trabalho.
Neste contexto, um modelo matema´tico e´ um conjunto consistente de equac¸o\u2dces ou estruturas
matema´ticas, elaborado para corresponder a algum feno\u2c6meno \u2013 este pode ser f´\u131sico, biolo´gico,
social, psicolo´gico, conceitual ou ate´ mesmo um outro modelo matema´tico.
A aceitac¸a\u2dco de um modelo, por sua vez, depende essencialmente dos fatores que condi-
cionam o modelador, ou seja, dos objetivos e recursos dispon´\u131veis do sujeito que se propo\u2dce
a construir/elaborar o modelo. Nesta perspectiva, um modelo complexo pode ser motivo
de orgulho para um matema´tico e inadequado para o pesquisador que vai aplica´-lo .Muitas
vezes, as necessidades imediatas de um pesquisador sa\u2dco atendidas por um modelo parcial
e simples, o qual na\u2dco comporta todas as varia´veis que possam influenciar na dina\u2c6mica do
feno\u2c6meno estudado. De modo expl´\u131cito, Davis & Hersh [7] afirmam:
\u201cUm modelo que pode ser considerado bom ou ruim, simples ou satisfato´rio, este´tico ou feio, u´til ou
inu´til, mas seria dif´\u131cil dizer se e´ verdadeiro ou falso . . . a utilidade de um modelo esta´ precisamente
em seu sucesso de imitar ou predizer o comportamento do Universo\u201d.
No que se refere a utilidade, reconhecemos que uma coisa e´ considerada u´til quando
tem a capacidade de satisfazer de algum modo, uma necessidade humana \u2013 desta forma a
utilidade depende essencialmente do usua´rio.
A questa\u2dco da utilidade, no caso da Matema´tica, tem sido discutida de modo bastante
abrangente, levando em conta elementos este´ticos, cient´\u131ficos, comerciais, psicolo´gicos, entre
outros. Pore´m, tal abrange\u2c6ncia e´ reconhecida apenas parcialmente pelos profissionais da
Matema´tica dita pura. Para o matema´tico purista, um conceito matema´tico e´ considerado
Rodney Carlos Bassanezi 175
u´til quando pode ser aplicado/associado em alguma parte da pro´pria pesquisa. Na verdade,
na\u2dco seria razoa´vel esperar que a expectativa de utilidade, por parte do matema´tico puro,
se estendesse para outras a´reas do terreno matema´tico pois, dado o vasto crescimento da
Matema´tica em seus meandros de sub-a´reas, e´ imposs´\u131vel, atualmente, qualquer que seja o
matema´tico, ter um bom conhecimento das pesquisas realizadas em outras a´reas, ou seja,
fora do seu campo estrito de atuac¸a\u2dco. Neste sentido, poder´\u131amos afirmar que a maior
parte do que se tem feito em Matema´tica na\u2dco e´ utilizada pela grande maioria dos pro´prios
matema´ticos. \u201cNo fim da de´cada dos 40, von Neumann estimou que um matema´tico ha´bil
poderia saber, essencialmente, 10% do que estaria dispon´\u131vel (. . . ) Uma classificac¸a\u2dco mais
detalhada mostraria que a literatura matema´tica esta´ subdividida em mais de 3000 categorias
(. . . ) Na maioria destas categorias, cria-se matema´tica nova a uma velocidade constante-
mente crescente, tanto em profundidade quanto em extensa\u2dco\u201d [7].
Vale ressaltar que na\u2dco estamos aqui desconsiderando a importa\u2c6ncia da matema´tica pura
ou que toda teoria constru´\u131da de modo dedutivo, no estilo formalista, deva ser de alguma
maneira aplica´vel \u2013 Na verdade, como ja´ mencionamos, um bom pesquisador deveria ter um
bom conhecimento de matema´tica, pelo menos para organizar seus conhecimentos atrave´s
de uma linguagem universal. O que podemos afirmar, de modo geral, e´ que a evoluc¸a\u2dco no
campo da matema´tica e em va´rias outras a´reas do conhecimento, auxiliada em grande parte
pela informa´tica, propiciou o atual destaque do matema´tico aplicado.
A matema´tica aplicada e´ essencialmente inter-disciplinar e sua atividade consiste em
tornar aplica´vel alguma estrutura matema´tica fora do seu campo estrito; a modelagem, por
sua vez, e´ um instrumento indispensa´vel da matema´tica aplicada. A construc¸a\u2dco matema´tica
pode ser entendida, neste contexto, como uma atividade em busca de sintetizar ide´ias con-
cebidas a partir de situac¸o\u2dces emp´\u131ricas que esta\u2dco quase sempre, escondidas em num emaran-
hado de varia´veis. Fazer matema´tica, nesta perspectiva, e´ aliar, de maneira equilibrada,
a abstrac¸a\u2dco e a formalizac¸a\u2dco na\u2dco perdendo de vista a fonte origina´ria do processo. Desse
modo, numa retomada aos fundamentos, o caminho tomado pela matema´tica aplicada, em
especial pela modelagem matema´tica, se aproxima da concepc¸a\u2dco plato\u2c6nica no que se refere
a` construc¸a\u2dco do conhecimento, pois e´ como se o modelo ja´ estivesse la´, em algum lugar da
Matema´tica. Vale aqui, enta\u2dco, antecipar uma discussa\u2dco do ponto de vista pedago´gico: o
desafio do professor, que toma o caminho da modelagem como me´todo de ensino, e´ ajudar
o aluno a compreender, construindo relac¸o\u2dces matema´ticas significativas, em cada etapa do
processo.
Se um modelo e´ inadequado para atingir determinados objetivos, e´ natural tentar cam-
inhos que permitem construir outro melhor ou, enta\u2dco, analisa´-lo, de modo comparativo,
tomando como refere\u2c6ncia um outro ja´ existente. O modelo nunca encerra uma verdade
definitiva, pois e´ sempre uma aproximac¸a\u2dco conveniente da realidade analisada e, portanto,
sujeito a mudanc¸as