ensino prendizagem com Modelagem matemática
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ensino prendizagem com Modelagem matemática


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da mesma rua.
d) As varia´veis b e d sa\u2dco dependentes e portanto, podemos expressar P em func¸a\u2dco de uma
u´nica varia´vel.
Para encontrar a relac¸a\u2dco entre b e d usamos os dados (discretos) da 1a tabela e escrevemos:
b0 = f(d0), b1 = f(d1), . . . , bn = f(dn)
Nosso objetivo e´ encontrar uma func¸a\u2dco cont´\u131nua b = f(d).
Poder´\u131amos considerar simplesmente um ajuste de curvas e depois comparar o resultado
com o obtido atrave´s do processo interativo:
f(d1)\u2212 f(d0) = 6.5\u2212 4.5 = 2
f(d2)\u2212 f(d1) = 7.5\u2212 6.5 = 1
f(d3)\u2212 f(d2) = 8.0\u2212 7.5 = 12
f(d4)\u2212 f(d3) = 8.25\u2212 8.0 = 14
...
...
...
f(dn)\u2212 f(dn\u22121) = · · · = 12n\u22122
Somando, membro a membro, cada expressa\u2dco a` cima, obtemos:
f(dn)\u2212 f(d0) = 2 + 1 + 12 +
1
4
+ . . .+
1
2n\u22122
= 4\u2212 22\u2212n
que nada mais e´ que soma de uma progressa\u2dco geome´trica.
Como f(d0) = 4.5. podemos escrever
bn = f(dn) = 8.5\u2212 22\u2212n (3.2)
A relac¸a\u2dco entre n e d e´ dada pela reta:
n = 20d\u2212 5 (3.3)
188 Modelagem Matema´tica
E, portanto, usando (3.3) podemos passar (3.2) da forma discreta para a cont´\u131nua:
b = f(d) = 8.5\u2212 22\u2212(20d\u22125) = 8.5\u2212 27\u221220d (3.4)
(f e´ uma func¸a\u2dco pote\u2c6ncia).
Substituindo a expressa\u2dco (3.4)na equac¸a\u2dco que da´ o valor da produc¸a\u2dco em sacas (3.1),
obtemos:
P (d) =
40
d
(8.5\u2212 27\u221220d) (3.5)
A equac¸a\u2dco (3.5) da´ a produc¸a\u2dco de um alqueire em func¸a\u2dco do espac¸amento entre plantas.
e) Encontrar o valor de d de modo que P (d) seja ma´ximo:
Como P (d) e´ uma func¸a\u2dco diferencia´vel em todo R (reais) e por ser uma func¸a\u2dco pote\u2c6ncia,
temos que se d = d\u2217 e´ um ponto de ma´ximo para P (d), enta\u2dco sua derivada se anula em d\u2217,
isto e´, P \u2032(d\u2217) = 0.
Temos ainda que se
f(x) = ah(x) =\u21d2 f \u2032(x) = h\u2032(x)ah(x) ln a
(derivada de uma func¸a\u2dco composta). Logo, usando as propriedades das derivadas, obtemos:
P \u2032(d) =
\u221240× 8.5
d2
\u2212 40d× 2
7\u221220d(\u221220 ln 2)\u2212 40× 27\u221220d
d2
= (3.6)
=
40× 27\u221220d(20d ln 2 + 1)\u2212 40× 8.5
d2
Assim,
P \u2032(d\u2217) = 0\u21d0\u21d2 D = 27\u221220d(20d ln 2 + 1)\u2212 8.5 = 0 (3.7)
A soluc¸a\u2dco anal´\u131tica desta equac¸a\u2dco na\u2dco e´ simples, no entanto, uma maneira de encontrar
uma soluc¸a\u2dco aproximada e´ usando o me´todo da bissecc¸a\u2dco:
Construimos a tabela 3.3.
d D
0,25 9,36
0,30 1,81
0,35 -2,65
0,40 -5,23
0,45 -6,69
Tabela 3.3: Valores de d e D.
Como a func¸a\u2dco P \u2032(d) e´ cont´\u131nua para todo d 6= 0 e muda de sinal entre os valores
d1 = 0.30 e d2 = 0.35, enta\u2dco existe um valor d\u2217 \u2208 (0.30; 0.35) tal que P \u2032(d\u2217) = 0 (Teorema
Rodney Carlos Bassanezi 189
do Valor Me´dio). Consideramos o valor me´dio entre d1 e d2, isto e´, d3 = d1+d22 = 0.325
e calculamos D(d3) = \u22120.714. Portanto, d\u2217 deve estar entre os valores d1 e d3. Tomamos
d4 = d1+d32 = 0.312 =\u21d2 D(d4) = 0.518, logo d\u2217 \u2208 (d3, d4). Continuando o processo,
chegamos ta\u2dco perto quanto desejarmos da soluc¸a\u2dco real. E´ claro que uma soluc¸a\u2dco aproximada,
neste caso espec´\u131fico, e´ ta\u2dco boa quanto a real uma vez que plantar batatas a 31.5cm ou a
31.72cm vai resultar em uma diferenc¸a insignificante na produc¸a\u2dco total.
A condic¸a\u2dco P \u2032(d\u2217) = 0 e´ apenas necessa´ria para termos um ponto cr´\u131tico. Para que
d\u2217 seja ponto de ma´ximo devemos ter ainda a condic¸a\u2dco suficiente P \u2032\u2032(d\u2217) < 0. Neste caso
pra´tico, esta condic¸a\u2dco e´ obviamente satisfeita pela pro´pria natureza do problema, e mesmo
porque P (d) e´ crescente para d < d\u2217 e decrescente para d > d\u2217; entretanto, em se tratando
de aprendizagem de Ca´lculo, esta e´ uma boa situac¸a\u2dco para se fazer as contas!
f) Como o financiamento para o plantio de batatas pressupo\u2dce que se tenha uma colheita
de, pelo menos, 800 sacos, queremos saber a que dista\u2c6ncia se pode plantar para atender as
exige\u2c6ncias do financiador.
Devemos encontrar valores para d de modo que se tenha P (d) \u2265 800, ou seja,
800 \u2264 40
d
(8.5\u2212 27\u221220d)\u21d4 800d \u2264 340\u2212 40× 27\u221220d \u21d0\u21d2 27\u221220d \u2264 8.5\u2212 20d.
Seja B(d) = 8, 5\u2212 27\u221220d, enta\u2dco devemos resolver a inequac¸a\u2dco B(d) \u2265 20d.
Uma resposta aproximada pode ser dada pelo me´todo da bissecc¸a\u2dco, onde o extremo
inferior e´ \u2248 27cm e o superior e´ 40cm (verifique). Outra maneira de se obter uma resposta
aproximada e´ por meio de um procedimento geome´trico:
Figura 3.1: Ca´lculo das ra´\u131zes.
Geometricamente, a soluc¸a\u2dco e´ obtida pela intersecc¸a\u2dco das curvas y = 20d e B(d) =
8.5\u2212 27\u221220d (veja figura 3.1).
190 Modelagem Matema´tica
g) Estudo da func¸a\u2dco produc¸a\u2dco P (d):
P (d) =
40
d
(8, 5\u2212 27\u221220d), d > 0
P e´ uma func¸a\u2dco pote\u2c6ncia racional definida para todo d > 0.
P (d) = 0\u21d4 8.5\u2212 27\u221220d = 0\u21d4 8.5 = 27\u221220d \u21d4 ln 8.5 = (7\u2212 20d) ln 2\u21d0\u21d2
20d = 7\u2212 ln 8.5
ln 2
=\u21d2 d = 0.1956,
raiz de P .
Por outro lado temos que
P (d) > 0 \u21d4 d > 0.1956
Como P esta´ definida para todo d > 0 podemos calcular:
lim
d\u21920+
P (d) = \u2212\u221e e lim
d\u2192+\u221e
P (d) = 0
Assim, as retas P = 0 e d = 0 sa\u2dco ass´\u131ntotas de P (d).
O estudo da derivada de P , feito anteriormente, mostrou que a func¸a\u2dco e´ crescente para
d < d\u2217 ' 0.317 e decrescente para d > d\u2217 \u21d2 d\u2217 e´ ponto de ma´ximo, sendo que o valor de
ma´ximo para a func¸a\u2dco e´ P (d\u2217) ' 873.177.
Figura 3.2: Produc¸a\u2dco de batatas.
Rodney Carlos Bassanezi 191
Comenta´rios
Este problema, inicialmente de apare\u2c6ncia despretenciosa, despertou nos estudantes de
Tecnologia de Alimentos uma valiosa motivac¸a\u2dco para estudarem a disciplina de Ca´lculo
Diferencial e Integral, tanto e´ que, no final, houve apenas uma reprovac¸a\u2dco entre os 70
cursantes. Salientamos que as provas desta disciplina utilizadas na avaliac¸a\u2dco dos alunos
eram as mesmas das outras 14 turmas que estavam cursando Ca´lculo I na UNICAMP.
O programa foi desenvolvido a` medida que o \u201cproblema das batatas\u201d exigia a sistem-
atizac¸a\u2dco de novos conceitos. Assim e´ que trabalhamos com func¸a\u2dco (linear, pote\u2c6ncia, expo-
nencial), func¸a\u2dco inversa (logar´\u131tmo), func¸a\u2dco discreta (forma de recorre\u2c6ncia), continuidade,
limites (ass´\u131ntotas), derivadas (crescimento, pontos cr´\u131ticos, concavidade), ra´\u131zes de func¸o\u2dces
(Teorema do Valor Me´dio \u2013 bissecc¸a\u2dco), gra´fico de func¸o\u2dces etc. Em cada etapa deste processo
procura´vamos selecionar problemas diversos com resoluc¸o\u2dces ana´logas.
O conceito de integral definida foi introduzido posteriormente, quando estudamos a
plantac¸a\u2dco de batatas em terrenos irregulares (ca´lculo de a´reas).
Tema 3: Construc¸a\u2dco de uma piscina
A construc¸a\u2dco de uma piscina foi um tema aplicado no ensino de Ca´lculo II (ca´lculo difer-
encial e integral com va´rias varia´veis), para alunos de Engenharia Meca\u2c6nica da UNICAMP
em 1980 (curso ba´sico). O tema foi apresentado na forma de um projeto que deveria ser
desenvolvido durante o curso e ser apresentado no final. O objetivo era aplicar os conheci-
mentos aprendidos na disciplina na resoluc¸a\u2dco do problema proposto.
A planta da piscina foi dada aos alunos que deveriam efetuar os ca´lculos envolvidos no
processo de sua construc¸a\u2dco.
Questo\u2dces:
a. Ca´lculo do volume da piscina;
b. A´rea para colocac¸a\u2dco de azulejos;
c. Variac¸a\u2dco da altura do n´\u131vel da a´gua quando a piscina esta´ sendo cheia;
d. Tempo necessa´rio para se encher a piscina.
Dados: A a´gua entra a uma velocidade constante de 20l/min;
1. Expressa\u2dco do volume
O ca´lculo do volume deve ser realizado em 5 etapas distintas conforme as configurac¸o\u2dces
do fundo e da borda da piscina (veja figura). A simetria da piscina em relac¸a\u2dco ao eixo-x
permite trabalhar somente com sua metade.
Calculamos inicialmente a equac¸a\u2dco da reta tangente que determina a configurac¸a\u2dco da
borda superior:
? Raio da circunfere\u2c6ncia menor r:
r =
6.3\u2212 3.6
2
= 1.35
192 Modelagem Matema´tica
Figura 3.3: Planta da piscina.
? Raio da circunfere\u2c6ncia maior: R = 1.8
? Centro da circunfere\u2c6ncia menor:
OB =
6.3 + 3.6
2
= 4.95
? Coordenadas dos pontos P , Q e C:
Sejam P : (x1, y1), Q : (x2, y2) e C : (x3, 0) o ponto onde a reta tangente a`s duas
circunfere\u2c6ncias corta o eixo-x. Temos que os tria\u2c6ngulos O\u302PC