ensino prendizagem com Modelagem matemática
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ensino prendizagem com Modelagem matemática


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o fato
de poder ser expressa em uma linguagem matema´tica. A pro´pria matema´tica teve uma
evoluc¸a\u2dco substancial, em decorre\u2c6ncia da demanda das diversas a´reas de pesquisa por novas
teorias matema´ticas.
Pode-se dizer que as cie\u2c6ncias naturais como F´\u131sica, a Astrof´\u131sica e a Qu´\u131mica ja´ estejam
hoje amplamente matematizadas em seus aspectos teo´ricos. As cie\u2c6ncias biolo´gicas, apoiadas
inicialmente nos paradigmas da F´\u131sica e nas analogias consequentes foram ficando cada
vez mais matematizadas. Nesta a´rea a matema´tica tem servido de base para modelar,
por exemplo, os mecanismos que controlam a dina\u2c6mica de populac¸o\u2dces, a epidemiologia, a
ecologia, a neurologia, a gene´tica e os processos fisiolo´gicos.
Na\u2dco se pode dizer que a modelagem matema´tica nas cie\u2c6ncias sociais ja´ tenha conseguido o
mesmo efeito, compara´vel em exatida\u2dco, com o que se obteve nas teorias f´\u131sicas, no entanto,
a simples interpretac¸a\u2dco de dados estat´\u131sticos tem servido, por exemplo, para direcionar
estrate´gias de ac¸a\u2dco nos meios comerciais e pol´\u131ticos. A Economia utiliza um forte aparato
matema´tico para estabelecer as teorias da concorre\u2c6ncia, dos ciclos e equil´\u131brios de mercado.
O advento dos computadores digitais favoreceu o desenvolvimento e a aplicac¸a\u2dco da
matema´tica em quase todos os campos do conhecimento \u2013 ate´ mesmo na arte, na mu´sica,
na lingu´\u131stica ou nos do´gmas intoca´veis da religia\u2dco!
Na\u2dco queremos dizer que todo \u201cfeno\u2c6meno\u201d possa ser matematizado ou convertido numa
forma que permita que seja processado num computador. Esforc¸os na tentativa de modelar
matematicamente a vida interior do ind´\u131viduo (amor, sonho, ciu´mes, inveja, desejo, saudade,
etc.) te\u2c6m tido, por enquanto, alguns poucos resultados significativos como os modelos
topolo´gicos apresentados por Lacan para expressar tende\u2c6ncias do comportamento humano.
1.2.1 Modelagem e Modelos Matema´ticos
Quando se procura refletir sobre uma porc¸a\u2dco da realidade, na tentativa de explicar, de
entender, ou de agir sobre ela \u2013 o processo usual e´ selecionar, no sistema, argumentos ou
para\u2c6metros considerados essenciais e formaliza´-los atrave´s de um sistema artificial: o modelo
(vide \u201cA trato´ria\u201d, no box da pro´xima pa´gina).
A ambiguidade do termo modelo, usado nas mais diversas situac¸o\u2dces, nos leva a considerar
aqui apenas o que concerne a` representac¸a\u2dco de um sistema. Nos limitaremos neste texto a
apenas dois tipos de modelos:
\u2022 Modelo Objeto e´ a representac¸a\u2dco de um objeto ou fato concreto; suas caracter´\u131sticas
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predominantes sa\u2dco a estabilidade e a homogeneidade das varia´veis. Tal representac¸a\u2dco
pode ser picto´rica (um desenho, um esquema compartimental, um mapa, etc.), con-
ceitual (fo´rmula matema´tica), ou simbo´lica. A representac¸a\u2dco por estes modelos e´
sempre parcial deixando escapar variac¸o\u2dces individuais e pormenores do feno\u2c6meno ou
do objeto modelado. Um modelo epidemiolo´gico (sistema de equac¸o\u2dces diferenciais) que
considera o grupo de infectados como sendo homoge\u2c6neo onde todos os seus elementos
te\u2c6m as mesmas propriedades e´ um exemplo de um modelo objeto; Um desenho para
representar o alve´olo usado pelas abelhas e´ tambe´m um modelo deste tipo.
\u2022 Um modelo teo´rico e´ aquele vinculado a uma teoria geral existente \u2013 sera´ sempre con-
struido em torno de um modelo objeto com um co´digo de interpretac¸a\u2dco. Ele deve
conter as mesmas caracter´\u131sticas que o sistema real, isto e´, deve representar as mes-
mas varia´veis essenciais existentes no feno\u2c6meno e suas relac¸o\u2dces sa\u2dco obtidas atrave´s de
hipo´teses (abstratas) ou de experimentos (reais).
Chamaremos simplesmente de Modelo Matema´tico um conjunto de s´\u131mbolos e relac¸o\u2dces
matema´ticas que representam de alguma forma o objeto estudado.
Cada autor se aventura dar uma definic¸a\u2dco de modelo matema´tico. Por exemplo, para
McLone [20] \u201cum modelo matema´tico e´ um construto matema´tico abstrato, simplificado
que representa uma parte da realidade com algum objetivo particular\u201d. Ferreira Jr. [30],
apresenta uma definic¸a\u2dco generalizada de modelo matema´tico a partir de uma abordagem
abstrata dos conceitos ba´sicos de dimensa\u2dco, unidade e medida.
A importa\u2c6ncia do modelo matema´tico consiste em se ter uma linguagem concisa que
expressa nossas ide´ias de maneira clara e sem ambiguidades, ale´m de proporcionar um
arsenal enorme de resultados (teoremas) que propiciam o uso de me´todos computacionais
para calcular suas soluc¸o\u2dces nume´ricas.
Os modelos matema´ticos podem ser formulados de acordo com a natureza dos feno\u2c6menos
ou situac¸o\u2dces analisadas e classificados conforme o tipo de matema´tica utilizada:
i. Linear ou na\u2dco-linear, conforme suas equac¸o\u2dces ba´sicas tenham estas caracter´\u131sticas;
ii. Esta´tico, quando representa a forma do objeto \u2013 por exemplo, a forma geome´trica
de um alve´olo; ou Dina\u2c6mico quando simula variac¸o\u2dces de esta´gios do feno\u2c6meno \u2013 por
exemplo, crescimento populacional de uma colme´ia.
iii. Educacional, quando e´ baseado em um nu´mero pequeno ou simples de suposic¸o\u2dces,
tendo, quase sempre, soluc¸o\u2dces anal´\u131ticas. O modelo presa-predador de Lotka-Volterra
e´ um exemplo t´\u131pico de tais modelos. O me´todo empregado por tais modelos envolve
a investigac¸a\u2dco de uma ou duas varia´veis, isoladas da complexidade das outras relac¸o\u2dces
fenomenolo´gicas. Geralmente estes modelos na\u2dco representam a realidade com o grau de
fidelidade adequada para se fazer previso\u2dces. Entretanto, a virtude de tais modelos esta´
na aquisic¸a\u2dco de experie\u2c6ncia e no fornecimento de ide´ias para a formulac¸a\u2dco de modelos
mais adequados a` realidade estudada; ou Aplicativo e´ aquele baseado em hipo´teses
real´\u131sticas e, geralmente, envolve interrelac¸o\u2dces de um grande nu´mero de varia´veis,
Rodney Carlos Bassanezi 21
fornecendo em geral sistemas de equac¸o\u2dces com numerosos para\u2c6metros. Neste caso, um
tratamento anal´\u131tico pode ser imposs´\u131vel e os me´todos utilizados para obtenc¸a\u2dco das
soluc¸o\u2dces devem ser computacionais. E quanto mais complexo for o modelo, mais dif´\u131cil
sera´ mostrar sua validade, isto e´, que ele descreve a realidade!
A trato´ria
Muitos problemas que serviram para testar me´todos matema´ticos ou estimular desafios e competic¸o\u2dces
entre matema´ticos nos se´culos XVII e XVIII, tiveram sua origem na observac¸a\u2dco de processos meca\u2c6nicos,
geralmente simples.
O estudo de curvas especiais que servissem para modelar tais feno\u2c6menos f´\u131sicos, proporcionou o de-
senvolvimento tanto da Meca\u2dcnica como do pro´prio Ca´lculo Diferencial e Integral. No rol das curvas que
surgiram na ocasia\u2dco, podemos citar a catena´ria, a braquisto´crona, a vela´ria, a trato´ria entre outras tantas.
Destas, a trato´ria e´ a menos conhecida atualmente. Acredita-se que o problema que a originou tenha sido
proposto por C. Perrault por volta de 1670 que, para ilustrar a questa\u2dco, puxava seu relo´gio de bolso, apoiado
sobre uma mesa, pela corrente. Movendo a ponta da corrente sobre a borda da mesa, o relo´gio descrevia
uma curva que tendia a` borda, era a trato´ria. Para a obtenc¸a\u2dco da equac¸a\u2dco da trato´ria, basta entender que,
durante o movimento de arrasto do relo´gio, a corrente esta´ sempre tangente a` trajeto´ria descrita pelo relo´gio.
Tambe´m, a dista\u2c6ncia entre o ponto de tange\u2c6ncia (relo´gio) e o eixo-x (borda da mesa), sobre a reta tangente
(corrente), e´ constante (comprimento da corrente esticada). A traduc¸a\u2dco desta linguagem para a linguagem
matema´tica permite descrever o feno\u2c6meno pelo modelo:
dy
dx
= \u2212 y\u221a
a2 \u2212 y2
cuja soluc¸a\u2dco e´ a trato´ria.
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