ensino prendizagem com Modelagem matemática
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ensino prendizagem com Modelagem matemática


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Va´rios matema´ticos estudaram e escreveram sobre a trato´ria, entre eles, J. Bernoulli, L\u2019Hopital e
Huygens (1670/90)a.
aBos, H.J.M.-O \u201cCa´lculo no Se´culo XVIII: Te´cnicas e Aplicac¸o\u2dces\u201d. Edit. UnB, unid. 5, 1985, pp. 29-30.
iv. Estoca´stico ou Determin´\u131stico, de acordo com o uso ou na\u2dco de fatores aleato´rios nas
equac¸o\u2dces.
22 Modelagem Matema´tica
Os modelos determin´\u131sticos sa\u2dco baseados na suposic¸a\u2dco que se existem informac¸o\u2dces
suficientes em um determinado instante ou num esta´gio de algum processo, enta\u2dco todo
o futuro do sistema pode ser previsto precisamente.
Os modelos estoca´sticos sa\u2dco aqueles que descrevem a dina\u2c6mica de um sistema em
termos probabil´\u131sticos (cf. M. Thompson). Os modelos pra´ticos tendem a empregar
me´todos estoca´sticos, e quase todos os processos biolo´gicos sa\u2dco formulados com estes
modelos quando se tem pretenso\u2dces de aplicabilidade.
De qualquer forma, quando se trabalha com uma amostra grande de indiv´\u131duos, podendo
ser caracterizada como uma distribuic¸a\u2dco cont´\u131nua, uma trajeto´ria determin´\u131stica pode rep-
resentar a me´dia dos casos considerados isoladamente. Por exemplo, se considerarmos uma
populac¸a\u2dco sujeita a um crescimento exponencial, a teoria determin´\u131stica indica que o cresci-
mento populacional
(
dN
dt
)
e´ proporcional ao nu´mero de indiv´\u131duos da populac¸a\u2dco (N) em
cada instante t. Se \u3bb denota o coeficiente de crescimento desta populac¸a\u2dco, enta\u2dco o modelo
matema´tico pode ser dado por:
dN
dt
= \u3bbN
cuja soluc¸a\u2dco e´ N(t) = N0e\u3bbt, onde N0 = N(0) e´ a populac¸a\u2dco inicial. Tem-se enta\u2dco o valor
da populac¸a\u2dco N em cada instante, dada por uma equac¸a\u2dco determin´\u131stica que pressupo\u2dce a
taxa \u3bb constante.
Entretanto, o processo de crescimento populacional e´ essencialmente estoca´stico uma vez
que a taxa \u3bb na\u2dco e´ necessariamente constante.
Se for considerada a probabilidade p(N, t) de que, em um dado instante t, a populac¸a\u2dco
e´ igual a N , tem-se, de acordo com Pielou (1969)
p(N, t) =
(N \u2212 1)!
(N0 \u2212 1)!(N \u2212N0)!e
\u2212\u3bbN0t(1\u2212 e\u3bbt)(N\u2212N0).
Neste caso, o para\u2c6metro \u3bb e´ considerado como a taxa me´dia de crescimento.
Calculando o valor esperado N , ou seja, a populac¸a\u2dco me´dia num instante t , vem:
N =
\u221e\u2211
N=0
Np(N, t) = N0e\u3bbt
e portanto, neste caso, a soluc¸a\u2dco determin´\u131stica expressa o estado me´dio do processo es-
toca´stico atual.
Estudos recentes te\u2c6m mostrado que o uso de modelos fuzzy (sistemas com para\u2c6metros e
varia´veis imprecisas) conduzem ao fato que as soluc¸o\u2dces determin´\u131sticas sa\u2dco as mais prova´veis
ou as preferidas.
Neste livro daremos mais e\u2c6nfase aos modelos determin´\u131sticos, na\u2dco por preconceito mas,
simplesmente, por questa\u2dco de praticidade dida´tica e gosto pessoal.
Um modelo matema´tico bem estruturado deve ser composto de resultados parciais in-
terrelacionados. As leis fundamentais da f´\u131sica sa\u2dco formuladas matematicamente para pro-
porcionarem uma primeira gerac¸a\u2dco de modelos matema´ticos que depois sa\u2dco sujeitos a va´rias
Rodney Carlos Bassanezi 23
correc¸o\u2dces, algumas emp´\u131ricas. A dina\u2c6mica de populac¸o\u2dces de diferentes espe´cies, pressupo\u2dce
inicialmente, seus crescimentos independentes para se obter as respectivas taxas de repro-
dutividade. No entanto, tais para\u2c6metros podem ser redimensionados quando as espe´cies
convivem num mesmo habitat.
Enquanto a Biof´\u131sica, que possui uma filosofia basicamente reducionista, tenta reduzir os
feno\u2c6menos biolo´gicos a simples processos f´\u131sico-qu´\u131micos, para deduzir o comportamento de
um sistema complexo pelo estudo dos comportamentos indiv´\u131duais dos componentes isola-
dos, a Biomatema´tica procura analisar a estrutura do sistema de maneira global, tentando
preservar as caracter´\u131sticas biolo´gicas essenciais.
Quando modelamos um sistema complexo, considerando partes isoladas deste sistema e
ignorando as interrelac¸o\u2dces dos sub-modelos, podemos obter um conjunto de modelos va´lidos
do ponto de vista microsco´pico (para cada porc¸a\u2dco isolada) mas que, globalmente, podem
na\u2dco representar o sistema completo.
O poema de J.G. Saxe (1816-1877) da´ uma ide´ia do que pode ocorrer quando um modelo
e´ obtido a partir de sub-modelos que na\u2dco esta\u2dco interrelacionados corretamente (veja Bender,
1978, [14]).
Subida e Descida:Litografia de M.C.Escher de 1960. Quando os resultados parciais na\u2dco esta\u2dco
corretamente interrelacionados o modelo do todo se torna imposs´\u131vel.
24 Modelagem Matema´tica
The Blind Men and the Elephant
It was six men of Indostan The Fourth reached out an eager hand,
To learning much inclined, And left about the knee.
Who went to see the Elephant \u201cWhat most this wondrous beast is like
(Though all of them were blind), Is mighty plain\u201d, quoth he;
That each by observation \u201c\u2019Tis clear enough the Elephant
Might satisfy his mind. Is very like a tree!\u201d
The first approached the Elephant, The Fifth who chanced to touch the ear,
And happening to fall Said: \u201cE\u2019en the blindest man
Against his broad and study side, Can tell what this resembles most;
At once began to bawl: Deny the fact who can,
\u201cGod bless! but the Elephant This marveed of an Elephant
Is very like a wall!\u201d Is very like a fan!\u201d
The Second, feeling of the tusk, The sixth no sooner had begun
Cried, \u201cHo! what have we here About the beast to grope,
So very round and smooth and sharp? Than, seizing on the swinging tail
To me \u2019tis mighty clear That fell within his scope,
This wonder of an Elephant \u201cI see,\u201d quoth he, \u201cthe Elephant
Is very like a spear!\u201d Is very like a rope!\u201d
The third approached the animal And so these men of Indostan
And happening to take Disputed loud and long
The squirming trunk within his hands, Each in his own opinion
Thus boldly up an and spoke: Exceeding stiff and strong.
\u201cI see,\u201d quoth he, \u201cthe Elephant Though each was partly in the right
Is very like a Snake!\u201d And all were in the wrong!
John Godfrey Saxe (1816\u20131887)
Reprinted in Engineering Concepts
Curriculum Project
Modelagem Matema´tica e´ um processo dina\u2c6mico utilizado para a obtenc¸a\u2dco e validac¸a\u2dco
de modelos matema´ticos. E´ uma forma de abstrac¸a\u2dco e generalizac¸a\u2dco com a finalidade de
previsa\u2dco de tende\u2c6ncias. A modelagem consiste, essencialmente, na arte de transformar
situac¸o\u2dces da realidade em problemas matema´ticos cujas soluc¸o\u2dces devem ser interpretadas na
linguagem usual.
A modelagem e´ eficiente a partir do momento que nos concientizamos que estamos sem-
pre trabalhando com aproximac¸o\u2dces da realidade, ou seja, que estamos elaborando sobre
representac¸o\u2dces de um sistema ou parte dele.
Na\u2dco e´ nossa intenc¸a\u2dco neste livro fazer uma apologia da modelagem matema´tica como
instrumento de evoluc¸a\u2dco de outras cie\u2c6ncias. Pretendemos simplesmente mostrar, atrave´s
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de exemplos representativos, como este me´todo pode ser aplicado em va´rias situac¸o\u2dces de
ensino-aprendizagem, com a intensa\u2dco de estimular alunos e professores de matema´tica a
desenvolverem suas pro´prias habilidades como modeladores.
A modelagem na\u2dco deve ser utilizada como uma panace´ia descritiva adaptada a qualquer
situac¸a\u2dco da realidade \u2013 como aconteceu com a teoria dos conjuntos. Em muitos casos, a
introduc¸a\u2dco de um simbolismo matema´tico exagerado pode ser mais destrutivo que esclare-
cedor (seria o mesmo que utilizar granadas para matar pulgas!) O conteu´do e a linguagem
matema´tica utilizados devem ser equilibrados e circunscritos tanto ao tipo de problema como
ao objetivo que se propo\u2dce alcanc¸ar. Salientamos que, mesmo numa situac¸a\u2dco de pesquisa,
a modelagem matema´tica tem va´rias restric¸o\u2dces e seu uso e´ adequado se de fato contribuir
para o desenvolvimento e compreensa\u2dco do feno\u2c6meno analisado.
A obtenc¸a\u2dco do modelo matema´tico pressupo\u2dce, por assim dizer, a existe\u2c6ncia de um
diciona´rio