Livro Analise de regressão
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Livro Analise de regressão


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90% de confiança para a variação esperada de Y 
quando X diminui 3 unidades )3( \u2212=X\u2206 . 
 
 
 
 
 
 
 
X Y 
1 15 
1 19 
3 16 
3 14 
5 9 
5 13 
7 6 
7 4 
 
 
 
 91 
2.23. São dados 3 conjuntos de 6 pares de valores iX( , iY , i = 1, ..., 6) 
Conjunto A Conjunto B Conjunto C 
X Y X Y X Y 
1 5,5 1 10,5 1 0,5 
2 6,5 2 9,5 2 1,5 
3 9,0 3 10,0 3 4,0 
4 10,5 4 9,5 4 5,5 
5 13,5 5 10,5 5 8,5 
6 15,0 6 10,0 6 10,0 
Para cada um desses conjuntos, obtenha as estimativas de mínimos quadrados 
dos parâmetros da regressão linear de Y contra X. Calcule os valores do 
coeficiente de determinação e do coeficiente de variação e analise 
comparativamente os resultados. Para melhor visualização, faça, para cada 
conjunto, um gráfico mostrando os pontos observados e a reta de regressão 
ajustada. 
2.24. Dada uma amostra de n pares de valores iX , iY (i = 1, ..., n), mostre que a 
estimativa dos coeficiente angular da reta, obtida através do método dos 
mínimos quadrados (b), é uma média ponderada das declividades das retas que 
passam pelos pontos ( iX , iY ) e pelo ponto central da amostra ),( YX . 
2.25. A partir de uma amostra de 7 pares de valores, foi obtida a equação de regressão 
XY 530\u2c6 += , 
com um coeficiente de determinação 
3
22
=r 
A estimativa do desvio padrão de X é s(X) = 2. 
a) Determine o intervalo de confiança do coeficiente de regressão, ao nível de 
confiança de 95%. 
b) Teste, ao nível de significância de 5%, a hipótese de que o coeficiente de 
regressão da população é 8,5, considerando a hipótese alternativa de que o 
coeficiente de regressão da população é menor do que 8,5. 
2.26. Seja Y o custo de carregamento mecânico por tonelada de cana-de-açúcar. Seja X 
o número de toneladas carregadas, por carregadeira e por ano. Suponha que um 
pesquisador levantou os custos de carregamento mecânico da cana-de-açúcar em 
diversas propriedades, obtendo uma amostra de pares de valores iX , iY . 
 
 
 92 
Admitindo que os custos totais de carregamento mecânico por ano sejam 
constituídos por uma parte fixa (que não varia com X) e por uma parte variável 
(de tal maneira que o custo variável por tonelada seja constante), que modelo 
matemático deve ser usado para estudar, por meio da análise de regressão, a 
variação do custo de carregamento por tonelada de cana-de-açúcar em função do 
número de toneladas carregadas? Que anamorfose deverá ser feita? 
2.27. Analisando a série de valores do Produto Nacional Bruto (PNB) de determinado 
país, durante um período de 10 anos, verificou-se que são aproximadamente 
constantes os incrementos anuais relativos do PNB. Qual é a equação (modelo 
matemático) que deve ser usada na análise de regressão desses dados? Que 
transformação de variáveis (anamorfose) deve ser feita para determinar as 
estimativas dos parâmetros através do método dos mínimos quadrados? Sabendo 
que, utilizando logaritmos decimais, a estimativa do coeficiente de regressão é 
0,0193 e a estimativa do respectivo desvio padrão é 0,0010, teste, ao nível de 
significância de 5%, a hipótese de que a taxa de crescimento é 4% ao ano (sabe-
se que log 104 = 2,0170). 
2.28. Admitindo que as variáveis X e Y estão relacionadas conforme o modelo 
iii XY \u3b5\u3b1
\u3b2
= , onde i\u3b5 são erros multiplicativos, determine as estimativas dos 
parâmetros \u3b1 e \u3b2 com base nos seguintes dados: 
X Y 
1 1 
1 10 
100 1.000 
100 1.000 
10.000 100 
10.000 1.000 
2.29. Suponha que um pesquisador está determinando a função de demanda do 
produto A em determinado mercado, com base em uma série de 8 pares de 
valores iX , iY , onde iY é o preço pelo qual foi vendida a quantidade iX do 
produto em determinado intervalo de tempo. Admitindo que a elasticidade-preço 
da demanda do produto é constante, qual é a equação (modelo matemático) que 
o pesquisador deve usar? Que transformação de variável (anamorfose) deverá ser 
feita para determinar as estimativas dos parâmetros através do método dos 
 
 
 93 
mínimos quadrados? Sabendo que a estimativa do coeficiente de regressão 
obtida é \u20131,24, com um desvio padrão estimado em 0,10, teste, ao nível de 
significância de 5%, a hipótese de que a elasticidade-preço é igual a \u20131. 
2.30. Seja Y uma grandeza econômica qualquer e seja X o tempo, em anos. Se 
admitirmos que a taxa geométrica de crescimento de Y é constante, que modelo 
de regressão deve ser adotado? Sabendo que, em cinco anos consecutivos, Y 
assumiu os valores 4, 4, 32, 64 e 32, qual é a estimativa da taxa de crescimento 
de acordo com o método dos mínimos quadrados? Faça a análise de variância da 
regressão. 
2.31. Em estudos da variação do consumo de certos produtos em função da renda da 
família tem sido usada a função \uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\u2212=
X
Y \u3b2\u3b1exp , onde Y é o dispêndio com o 
produto considerado e X é a renda da família. 
Mostre as anamorfoses que devem ser feitas para que as fórmulas de regressão 
linear simples sejam usadas para ajustar essa função, utilizando dados obtidos de 
uma amostra aleatória. 
2.32. a) Deduza, de acordo com o método dos mínimos quadrados, a fórmula para 
estimar o parâmetro do modelo 
iii uXY += \u3b2 com i = 1, ..., n, 
 onde 
0)( =iuE , 
22 )( \u3c3=iuE 
 e 
0)( =jiuuE para i \u2260 j 
 b) Prove que o estimador obtido (b) é não-tendencioso 
 c) Prove que a variância da estimativa obtida é 2
2
)(
iX
bV
\u2211
=
\u3c3
 
 d) Prove que o estimador obtido é um estimador linear não-tendencioso de 
variância mínima 
e) Mostre que a soma de quadrados residual é dada por 
 
 
 94 
iii
i
ii
i YXbYX
YX
Y \u2211\u2212\u2211=
\u2211
\u2211
\u2212\u2211 22
2
2 )(
 
f) Demonstre que a esperança da soma de quadrados residual é igual a 
2)1( \u3c3\u2212n 
g) Admitindo que Y é a receita de uma empresa comercial em certo intervalo de 
tempo e que X é a quantidade vendida (em unidades físicas), ajuste aos pares 
de valores, dados a seguir, uma reta que passe pela origem dos eixos. Teste, 
ao nível de significância de 5%, a hipótese 0:0 =\u3b2H . 
X Y 
2 5 
3 7 
4 11 
4 5 
5 9 
2.33. Dados um conjunto de pares de valores ijX , ijY (i = 1, ..., m; j = 1, ..., n), ajusta-
se um conjunto de m retas paralelas 
ijiij bXaY +=\u2c6 
Mostre que as estimativas dos parâmetros, de acordo com o método dos mínimos 
quadrados, são dadas por 
2)(
))((
iijji
iijiijji
XX
YYXX
b
\u2212\u2211\u2211
\u2212\u2212\u2211\u2211
= 
e 
iii XbYa \u2212= 
onde \u2211
=
=
n
j
iji X
n
X
1
1
 e \u2211
=
=
n
j
iji Y
n
Y
1
1
 
(Extraído de DRAPER e SMITH, 1996, p. 38). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 95 
2.34. É dada uma amostra de 12 pares de valores 
Xi Yi Xi Yi 
1 2 4 9 
1 4 4 13 
1 3 5 11 
1 5 5 10 
2 8 5 16 
2 6 5 9 
Obtemos 96=\u2211 iY , 962
2
=\u2211 iY , 194
2
=\u2211 iy 
Admite-se que as variáveis X e Y estão relacionadas de acordo com o modelo 
iii uXY ++= \u3b2\u3b1 , onde os ui são variáveis aleatórias independentes com 
distribuição normal de média zero e variância 2\u3c3 . 
a) Determine as estimativas dos parâmetros da regressão linear. 
b) Calcule o coeficiente de determinação da regressão e faça a análise de 
variância, interpretando o teste F realizado. Considere um nível de 
significância de 1%. 
c) Teste, ao nível de significância de 1%, a hipótese de que 0=\u3b2 contra a 
hipótese de que \u3b2 > 0. 
d) Determine a estimativa de Y para X = 6 e o intervalo de confiança para 
)6|( =XYE , ao nível de significância de 99%. 
e) Determine o valor da estimativa da variação em E(Y), isto é, estime 
)( YE \u2206\u3b8 = , quando o valor de X aumenta de 2 unidades )2( =X\u2206 . Qual é a 
variância de \u3b8\u2c6 ? Teste, ao nível de significância de 5%, a hipótese de que 
5,2=\u3b8 contra a hipótese alternativa de que 5,2>\u3b8 . 
2.35. Mostre que a covariância entre duas estimativas de Y ( 1\u2c6Y e 2\u2c6Y , para
Annanda
Annanda fez um comentário
salvou meu TCC! obrigada!
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Douglas
Douglas fez um comentário
Muito obrigado por compartilhar!
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