Livro Analise de regressão
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Livro Analise de regressão


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1XX = e 
2XX = , respectivamente) é 
2
2
21
21
1)\u2c6,\u2c6cov( \u3c3\uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\u2211
+=
ix
xx
n
YY 
2.36. Seja X a quantidade de adubo colocada no solo, em doses por hectare, e seja Y a 
produtividade obtida, em toneladas por hectare. Admite-se que essas variáveis 
estão relacionadas de acordo com a função 
 
 
 96 
iii uXY ++= \u3b2\u3b1 , 
onde \u3b1 e \u3b2 são parâmetros e os ui são variáveis aleatórias independentes com 
distribuição normal de média zero e variância 2\u3c3 . 
Um experimento com 5 parcelas forneceu os seguintes resultados: 
 
Xi Yi 
0 2,7 
1 4,4 
4 5,3 
9 5,4 
16 7,2 
a) Determine as estimativas de mínimos quadrados (a e b) de \u3b1 e \u3b2. 
b) Calcule o coeficiente de determinação da regressão. 
c) Determine o intervalo de 95% de confiança para \u3b1. 
d) Determine o intervalo de 95% de confiança para \u3b2. 
e) Determine a dose econômica de adubo admitindo que o preço da tonelada do 
produto seja igual ao dobro do preço da dose de adubo (já considerados os 
custos de colocação do adubo, juros e/ou subsídios, etc.). 
f) Determine o intervalo de 95% de confiança para o verdadeiro valor (\u3c7) da 
dose econômica, para as condições do item anterior (Sugestão: determine 
inicialmente, os limites do intervalo de confiança para \u3c7 , e depois eleve 
ao quadrado). 
g) Determine o intervalo de previsão para a produção de uma nova parcela com 
X = 1, considerando um nível de confiança de 95%. 
2.37. Considere o modelo iii uXY += \u3b2 com Xi fixos, E(ui) = 0, 22 )( \u3c3=iuE e 
0)( =jiuuE para i \u2260 j. 
Sabe-se que o estimador de mínimos quadrados para \u3b2 é 2
i
ii
X
YXb
\u2211
\u2211
= , não-
tendencioso, com 2
2
)(
iX
bV
\u2211
=
\u3c3
 (ver exercício 2.32). 
Um estimador alternativo para \u3b2 é XY /\u2c6 =\u3b2 , que é a inclinação da reta unindo 
a origem do sistema de eixos ao ponto YX , . 
 
 
 97 
a) Prove que \u3b2\u2c6 é um estimador linear não-tendencioso. 
b) Deduza a expressão que dá V( \u3b2\u2c6 ) em função de 2\u3c3 e dos valores de X. 
c) Prove (sem utilizar o teorema de Gaus-Markov) que V( \u3b2\u2c6 ) \u2265 V(b). Em que 
condições tem-se V( \u3b2\u2c6 ) = V(b)? 
2.38. Considere o modelo de regressão linear simples iii uXY ++= \u3b2\u3b1 , onde ui são 
erros aleatórios independentes com média zero e variância 2\u3c3 , e os Xi são fixos, 
com iX i = para i = 1, 2, ..., 9. 
Sejam 1X e 2X as médias de X para as h primeiras e as h últimas observações, 
isto é, 
\u2211
=
=
h
i
iXh
X
1
1
1
 e \u2211
\u2212=
=
9
10
2
1
hi
iXh
X 
Verifique os valores de 1X e 2X apresentados na tabela abaixo 
h 
1X 2X 
1 1 9 
2 1,5 8,5 
3 2 8 
4 2,5 7,5 
Sejam 1Y e 2Y as médias dos correspondentes valores de Y, isto é, 
\u2211
=
=
h
i
iYh
Y
1
1
1
 e \u2211
\u2212=
=
9
10
2
1
hi
iYh
Y 
Define-se o seguinte estimador de \u3b2: 
12
12
* XX
YYb h
\u2212
\u2212
= 
a) Prove que 
12
12
* XX
uub h
\u2212
\u2212
+= \u3b2 , 
onde \u2211
=
=
h
i
iuh
u
1
1
1
 e \u2211
\u2212=
=
9
10
2
1
hi
iuh
u 
b) Mostre que hb* é um estimador não-tendencioso de \u3b2. 
c) Demonstre que 2
12
2
* )(
2)(
XXh
bV h
\u2212
=
\u3c3
 
 
 
 98 
d) Faça uma tabela mostrando os valores de )(
*hbV para h = 1, 2, 3, 4. 
Apresente, na mesma tabela, para cada valor de h, a eficiência relativa de hb* 
em comparação com o estimador de mínimos quadrados. 
 
Respostas 
2.1. a) XY 9,14\u2c6 += 
 b) F = 320,89, rejeita-se 0:0 =\u3b2H 
 c) r2 = 0,976 
 d) 7,9\u2c6 =Y . Os limites do intervalo de confiança são 8,89 e 10,51. 
2.4. a) XY 412\u2c6 += ; s(b) = 1; s(a) = 10,2 
 b) 571,0
7
42
==r 
 c) t = 4, significativo 
2.5. a) XY 22\u2c6 += 
 b) 842,02 =r ; F = 16, significativo 
 c) t = 8, significativo 
 d) t = \u20136,63, significativo 
 e) Y\u2c6 = 12; 8,10 a 15,90 
2.6. a) Y\u2c6 = 3X 
 b) 923,0
13
122
==r 
 c) F = 36, significativo 
 d) t = \u20136, não-significativo 
 e) t = \u20132,45, significativo 
 f) 15,42 a 44,58 
2.7. 
3
22
=r ; F = 100, significativo 
2.8. Uma vez que E(b) = \u3b2, basta mostrar que 0)(lim =
\u221e\u2192
bV
n
, o que acontece desde que 
2x\u2211 cresce indefinidamente quando n cresce. 
2.9. d = b + 1 e c = a 
 
 
 99 
2.10. Notando que os acréscimos relativos )/( YY\u2206 de Y são aproximadamente 
constantes, conclui-se que o modelo matemático apropriado é XY \u3b1\u3b2= . A mesma 
conclusão é obtida notando que os pontos (X, Y) estão aproximadamente 
alinhados, quando marcados em um gráfico com o eixo das ordenadas em escala 
logarítmica, isto é, notando que os pontos de coordenadas log Y e X estão 
aproximadamente alinhados. 
2.11. a) 2 ± 0,202 
 b) t = 3,059, significativo 
2.14. a) 1 025 ± 250 
 b) 124,3 
2.15. t = \u20134, não-significativo 
2.16. a) \u2013 0,06 a 2,72 
b) t = 2,954, significativo 
2.17. 
X
Y 605,4\u2c6 += 
2.18. a) a = 0, b = 10, 0175,0)(\u2c6 =aV , 417,0)(\u2c6 =bV 
 b) I) t = \u201315,12, significativo 
 II) t= \u20133,10, significativo 
 c) 833,02 =r ou 83,3% 
2.19. a) Y\u2c6 = 3 \u2013 0,5X 
 b) 
3
12
=r ; F = 4, não-significativo 
 c) t = \u20132, não-significativo 
 d) t = 3,27, não-significativo 
 e) \u20132,84 a 3,68 
 f) X = 4; Y\u2c6 = 1; \u20130,41 a 2,41 
2.20. a) Y\u2c6 = 4 + 3X 
 b) t = 17,23, significativo; rejeita-se 0:0 =\u3b2H 
 c) 49,651,1 << \u3b1 
 d) 974,02 =r 
 e) X = 12, isto é, 12 000 unidades 
 f) 34 ± 2,14 
 
 
 100 
2.21. a) Y\u2c6 = 6 + 1,5X 
 b) 519,0
52
272
==r 
 c) t = \u20133,429, não-significativo ( 303,40 =t ) 
 d) Y\u2c6 = 9 
 3,62 < E( XY | = 2) < 14,38 
2.22. a) Y\u2c6 = 20 \u2013 2X 
 b) 667,4
3
142
==s 
 c) F = 34,29, significativo ( 7,130 =F ) 
 d) 4,009 < E(\u2206Y) < 7,991 
2.23. 
Estatística 
Conjunto 
A B C 
a 3 10 \u20132 
b 2 0 2 
Y 10 10 5 
S.Q.Res. 1 1 1 
S.Q.Regr. 70 0 70 
2r 98,6% 0 98,6% 
CV 5% 5% 10% 
 
2.25. a) 0,94 < \u3b2 < 9,06 
 b) t = \u20132,21, significativo 
2.26. 2.26. Anamorfose: V
X
=
1
 
2.27. Anamorfose: Y = log (PNB) 
t = 2,30, não-significativo 
2.28. 5,010\u2c6 XY = 
2.29. BAXY = 
 Anamorfoses: Z = log Y e V = log X 
 t = \u20132,40, não-significativo 
2.30. i
X
i
iY \u3b5\u3b1\u3b2= 
 
 
 101 
 Adotando como origem do tempo (X = 0) o ano em que foi efetuada a terceira das 
observações consideradas, obtemos 
 
XY 216\u2c6 \u22c5= 
 A taxa de crescimento é 100% ao ano 
 F = 7,5 
2.31. Anamorfoses: Z = ln Y e 
X
V 1= 
2.32. g) XY 2\u2c6 = ; t = 7,303, significativo. 
2.34. a) XY 22\u2c6 += 
 b) 742,02 =r ; F = 28,8, significativo ( 04,100 =F ) 
 c) 37,5=t , significativo ( 76,20 =t ) 
 d) 14\u2c6 =Y ; 9,91 < E(Y|X = 6) < 18,09 
 e) 4\u2c6 =\u3b8 ; 
9
)()()\u2c6(
2
2 \u3c3\u2206\u3b8 == bVXV ; 
 
9
5)\u2c6(\u2c6 =\u3b8V e t = 2,01, significativo ( 81,10 =t ) 
2.36. a) a = 3, b = 1 
 b) 931,02 =r 
 c) 1,78 < \u3b1 < 4,22 
 d) 0,50 < \u3b2 < 1,50 
 e) Uma dose por hectare 
 f) 0,50 < \u3c7 < 1,50 
 ou 0,25 < \u3c7 < 2,25 
 g) 2,20 < hY < 5,80 
2.37. b) 2
2
)()
\u2c6(
X
nV
\u2211
=
\u3c3\u3b2 
 c) As variâncias são iguais apenas quando todos os valores de X forem iguais. 
 
 
 
 
 
 
 102 
2.38. 
60
)(
2\u3c3
=bV 
 h 
12 XX \u2212 )( *hbV Eficiência relativa 
1 8 2\u3c3 /32 0,533 
2 7 2\u3c3 /49 0,817 
3 6 2\u3c3 /54 0,900 
4 5 2\u3c3 /50 0,833 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 103 
3. CORRELAÇÃO 
Vimos que numa análise de regressão linear simples, se determina, através de 
estimativas dos parâmetros, como uma variável X exerce, ou parece exercer, efeito 
sobre uma outra variável Y. 
Na análise de correlação, que veremos aqui, se procura determinar o grau de 
relacionamento entre duas variáveis, ou seja, se procura medir a covariabilidade entre 
elas. 
Na análise de regressão é necessário distinguir a variável dependente e a variável 
explanatória; na análise de correlação, tal distinção não é necessária. 
 
3.1.
Annanda
Annanda fez um comentário
salvou meu TCC! obrigada!
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Douglas
Douglas fez um comentário
Muito obrigado por compartilhar!
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