Livro Analise de regressão
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Livro Analise de regressão


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C\u3b2CbCXXCC\u3b2Cb (4.60) 
onde m é a característica da matriz de constantes C e F está associado a m e n \u2013 p graus 
de liberdade. 
A relação (4.60) é muito geral. Mostraremos, inicialmente, que o teste F relativo 
à hipótese 0: 210 ==== kH \u3b2\u3b2\u3b2 K é um de seus casos particulares. 
Consideremos o modelo de regressão linear múltipla com todas as variáveis 
centradas: 
 uuxy jiji
k
i
j \u2212+\u2211=
=
\u3b2
1
 (4.61) 
Fazendo kIC = , onde kI é uma matriz identidade com característica m = k, a 
hipótese da nulidade fica 
 
 
 
 158 
 0C\u3b2 =:0H 
Em (4.60), fazendo kIC = e 0C\u3b2 = , obtemos 
 2ks
F XbXb
\u2032\u2032
= 
Lembrando que yXXXb \u2032\u2032= \u22121)( , obtemos 
 Q.M.Res.
Q.M.Regr.
22 =
\u2032\u2032
=
\u2032\u2032
=
s
k
ks
F
yXb
yXb
, 
que é, como sabemos, o valor de F usualmente calculado para verificar a significância 
estatística da regressão ajustada. 
Um outro caso particular de (4.60) é o teste F para a \u201ccontribuição\u201d de uma 
variável que, como vimos na seção 4.11, equivale ao teste t relativo à hipótese 
0:0 =iH \u3b2 . Consideremos o modelo (4.61) e admitamos, para facilitar a indicação, que 
se deseja verificar se a contribuição da variável jx1 é significativa, ou seja, vamos testar 
a hipótese 0: 10 =\u3b2H . 
Fazemos 
 [ ]0001 K=C , cuja característica é m = 1. 
Então, a hipótese da nulidade pode ser escrita como segue: 
 0:0 =C\u3b2H 
Temos, também, que 
 1b=Cb 
e 
 11
1)( w=\u2032\u2032 \u2212 CXXC , 
onde 11w é o primeiro elemento da diagonal principal de 1)( \u2212\u2032XX . 
Substituindo esses resultados em (4.60) e considerando que 0=C\u3b2 , obtemos 
 2
11
2
1
2
1
1
111 )(
sw
b
s
bwb
F ==
\u2212
 
Como )( 12211 bssw = segue-se que 
 )(
||||
1
1
bs
b
Ft == 
 
 
 159 
Uma vez que o quadrado de um teste t é sempre igual a um teste F com 
numerador associado a um grau de liberdade, pode-se verificar que a relação (4.60) 
engloba, como caso particular, qualquer t relativo a uma hipótese sobre o valor de um 
parâmetro ou sobre o valor de uma combinação linear de parâmetros, incluindo-se, neste 
último caso, um teste a respeito de )( hYE . 
Se, escolhido um nível de confiança, substituirmos F, em (4.60), pelo seu valor 
crítico 0F , essa relação nos fornecerá os limites de um intervalo ou de uma região de 
confiança (dependendo de como é definida a matriz C). Os pontos pertencentes ao 
intervalo ou região de confiança obedecem à desigualdade 
 
2
0
11 )(])([)( msF<\u2212\u2032\u2032\u2032\u2212 \u2212\u2212 C\u3b2CbCXXCC\u3b2Cb (4.62) 
Consideremos, por exemplo, que se deseja obter o intervalo de confiança para 
1\u3b2 . Tendo em vista o modelo (4.61), fazemos 
 [ ]0001 K=C , cuja característica é m = 1. 
Então, 
 1b=Cb , 1\u3b2=C\u3b2 e 111)( w=\u2032\u2032 \u2212 CXXC 
Substituindo esses resultados em (4.62), obtemos 
 
2
011
1
1111 )())(( sFbwb <\u2212\u2212 \u2212 \u3b2\u3b2 
 
2
110
2
11 )( swFb <\u2212\u3b2 
 
2
11011
2
110 swFbswF <\u2212<\u2212 \u3b2 
 
2
11011
2
1101 swFbswFb +<<\u2212 \u3b2 
Finalmente, como 00 tF = e )( 1211 bssw = , temos 
 )()( 1011101 bstbbstb +<<\u2212 \u3b2 
Verificamos, assim, que o intervalo de confiança para 1\u3b2 pode ser considerado 
como um caso particular de (4.62). 
Determinemos, agora, a região de confiança para os parâmetros 1\u3b2 e 2\u3b2 de uma 
regressão linear múltipla com 2 variáveis explanatórias. Tendo em vista o modelo 
 jjjj uxxY +++= 22110 \u3b2\u3b2\u3b2 
fazemos 
 
 
 160 
 \uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
=
100
010
C 
cuja característica é m = 2. Então 
 \uf8fa\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef\uf8f0
\uf8ee
=
2
1\u3b2
\u3b2C\u3b2 e \uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
=
2
1
b
b
Cb 
Fazendo 
 111 qb =\u2212\u3b2 e 222 qb =\u2212\u3b2 (4.63) 
segue-se que 
 \uf8fa\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef\uf8f0
\uf8ee
\u2212=\u2212
2
1
q
qC\u3b2Cb (4.64) 
Temos, também, que 
 =\u2032\u2032
\u2212 CXXC 1)( 
 \uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
=
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef
\uf8ef
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef
\uf8ef
\uf8ef
\uf8ef
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
=
2212
1211
2212
1211
10
01
00
 
0
0
001
 
100
010
ww
ww
ww
ww
n
 
Donde 
 
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
\u2211\u2211
\u2211\u2211
=\u2032\u2032
\u2212\u2212
2
221
21
2
111 ])([
jjj
jjj
xxx
xxx
CXXC (4.65) 
Substituindo (4.64) e (4.65) em (4.62) e lembrando que m = 2, obtemos 
 [ ] 20
2
1
2
221
21
2
1
21 2 sFq
q
xxx
xxx
qq
jjj
jjj <\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
\u2211\u2211
\u2211\u2211
 (4.66) 
No caso do exemplo numérico apresentado no início desta seção, temos 
 5,521 =\u2211 jx 2222 =\u2211 jx 
 921 =\u2211 jj xx 1
2
=s 
Para o nível de confiança de 99%, o valor crítico de F com 2 e 3 graus de 
liberdade é 30,82. 
Substituindo esses resultados em (4.66), obtemos 
 
 
 161 
 
[ ] 82,302 
229
95,5
 
2
1
21 \u22c5<\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
q
q
qq 
ou 
 064,6122185,5 222121 <\u2212++ qqqq 
Essa desigualdade é satisfeita pelos pontos delimitados pela elipse 
 064,6122185,5 222121 =\u2212++ qqqq , 
que é a elipse traçada na figura 4.1. 
Para mais uma aplicação da relação (4.60), consideremos que, no exemplo 
numérico que estamos desenvolvendo, desejamos testar, ao nível de significância de 
5%, a hipótese 
 4: 10 =\u3b2H e 22 =\u3b2 
Ressaltemos que esta é uma única hipótese envolvendo, concomitantemente, os 
valores de dois parâmetros e que o teste dessa hipótese não equivale a fazer dois testes 
consecutivos, um para a hipótese 4: 10 =\u3b2H e outro para a hipótese 2: 20 =\u3b2H . 
Fazendo 
 \uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
=
100
010
C 
a hipótese 4: 10 =\u3b2H e 22 =\u3b2 pode ser indicada como segue: 
 \uf8fa\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef\uf8f0
\uf8ee
= 2
4
:0 C\u3b2H 
Como 
 \uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
=\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
=
1
3
2
1
b
b
Cb , 
temos que 
 \uf8fa\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef\uf8f0
\uf8ee
\u2212=\uf8fa\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef\uf8f0
\uf8ee
\u2212
\u2212
=\u2212 1
1
 21
43C\u3b2Cb (4.67) 
Substituindo (4.65) e (4.67) em (4.60) e lembrando que m = 2 e 12 =s , obtemos 
 [ ] 75,22
1
1
 
229
95,5
 11
2
1
=\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
=F 
 
 
 162 
Como o valor crítico de F com 2 e 3 graus de liberdade e ao nível de 
significância de 5% é 9,55, o resultado é significativo, isto é, rejeita-se a hipótese 
4: 10 =\u3b2H e 22 =\u3b2 . 
Se tivéssemos adotado o nível de significância de 1%, não rejeitaríamos 
4: 10 =\u3b2H e 22 =\u3b2 , pois, neste caso, o valor crítico de F é 30,82. Isso pode ser 
verificado na figura 4.1, notando que o ponto ( 41 =\u3b2 , 22 =\u3b2 ) pertence à região de 
99% de confiança para 1\u3b2 e 2\u3b2 . 
4.13. Exemplo de uma regressão linear múltipla com três variáveis 
explanatórias 
Nesta seção, desenvolveremos um exemplo de regressão linear múltipla com três 
variáveis explanatórias, como ilustração do que já foi vista neste capítulo. 
Na tabela 4.7 são apresentados 14 valores das variáveis jY , jX 1 , jX 2 e jX 3 . 
Note que as três variáveis explanatórias já são centradas. 
TABELA 4.7. Amostra de 14 observações para 4 variáveis. 
jY jX 1 = jx1 jX 2 = jx2 jX 3 = jx3 
8,5 \u20132 2 \u20132 
1,0 \u20131 \u20131 0 
4,0 \u20131 0 0 
4,0 \u20131 0 0 
5,0 \u20131 1 0 
3,0 1 \u20131 0 
6,0 1 0 0 
6,0 1 0 0 
7,0 1 1 0 
5,0 0 0 \u20131 
5,0 0 0 0 
5,0 0 0 0 
3,0 0 0 1 
0,5 2 \u20132 2 
 
 
 
 163 
Os valores básicos a serem calculados são: 
 63=\u2211 jY 16
2
1 =\u2211 jx 5,4=Y 
 1222 =\u2211 jx 61
2
=\u2211 jy 10
2
3 =\u2211 jx 
 81 \u2212=\u2211 jjYx 821 \u2212=\u2211 jj xx 242 =\u2211 jjYx 
 831 =\u2211 jj xx 183 \u2212=\u2211 jjYx 832 \u2212=\u2211 jj xx 
Tendo em vista o modelo 
 jjjjj uxxxY ++++= 3322110 \u3b2\u3b2\u3b2\u3b2 , j = 1, 2, ..., 14 
construímos as matrizes 
 
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef
\uf8ef
\uf8ef
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
\u2212
\u2212\u2212
\u2212
=\u2032
10880
81280
88160
00014
XX e 
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef
\uf8ef
\uf8ef
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
\u2212
\u2212
=\u2032
18
24
8
63
yX 
A seguir, obtemos 
 
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef
\uf8ef
\uf8ef
\uf8ef
\uf8ef
\uf8ef
\uf8ef
\uf8ef
\uf8ef
\uf8ef
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
\u2212
\u2212
=\u2032
\u2212
4
1
8
1
16
10
Annanda
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salvou meu TCC! obrigada!
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Muito obrigado por compartilhar!
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