Livro Analise de regressão
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no espaço n-
dimensional. Na figura 4.5 os vetores x e y estão representados nesse subespaço 
bidimensional. 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.5. A projeção vertical de y sobre a reta-suporte de x e o ângulo entre x e y. 
 
Na figura 4.5 o ângulo entre os vetores x e y foi denominado \u3b8. Foi obtida a 
projeção vertical *y=OA do vetor y sobre a reta-suporte do vetor x. Como *y e x são 
colineares, existe um escalar \u3bb tal que 
 xy \u3bb== *OA (4.99) 
Temos 
 yy =+ AB* 
ou 
 
*yy \u2212=AB 
Uma vez que x e *yy \u2212=AB são vetores ortogonais entre si, temos 
 0)( * =\u2212\u22c5 yyx 
Então 
 
*yxyx \u22c5=\u22c5 (4.100) 
Substituindo (4.99) em (4.100), obtemos 
 )( xxyx \u22c5=\u22c5 \u3bb 
ou 
 
xx
yx
\u22c5
\u22c5
=\u3bb (4.101) 
Na figura 4.5, como OAB é um triângulo retângulo com hipotenusa igual a || y , 
temos 
 
 
 
 186 
 
yy
yy
y
y
\u22c5
\u22c5
==
***
||
||
cos\u3b8 
Lembrando (4.99), segue-se que 
 
yy
xx
\u22c5
\u22c5
=
\u3bb\u3b8cos (4.102) 
Substituindo (4.101) em (4.102) obtemos 
 
))((
cos
yyxx
yx
\u22c5\u22c5
\u22c5
=\u3b8 (4.103) 
Se os elementos de x e de y são, respectivamente ix e iy (com i = 1, 2, ..., n), 
isto é, são os valores das variáveis centradas obtidos de uma amostra com n 
observações, verifica-se que 
 r
yx
yx
ii
ii
=
\u2211\u2211
\u2211
=
22
cos\u3b8 , (4.104) 
onde r é o coeficiente de correlação entre X e Y na amostra. 
Para a amostra dada na tabela 4.9, que corresponde aos vetores x e y definidos 
em (4.98) e representados nas figuras 4.4 e 4.5, temos 
 
2
3
248
12
cos =
\u22c5
== r\u3b8 
Donde 
 
o30=\u3b8 
Vamos agora considerar a análise de regressão de Y contra X de acordo com o 
modelo 
 iii uXY += \u3b2 
ou 
 uxy += \u3b2 , 
onde 
 
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef
\uf8ef
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
=
nY
Y
Y
M
2
1
y e 
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef
\uf8ef
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
=
nX
X
X
M
2
1
x 
 
 
 187 
Para dar um exemplo numérico, vamos considerar os valores de iX e iY dados 
na tabela 4.9. Então x e y são os vetores tridimensionais definidos em (4.98) e 
representados nas figuras 4.4 e 4.5. Devemos ressaltar que o raciocínio apresentado a 
seguir não depende da dimensão dos vetores x e y, pois estaremos considerando apenas 
o plano (subespaço bidimensional) definido por esses vetores (admitindo que x e y não 
sejam colineares). 
Se b é a estimativa de \u3b2, o vetor dos desvios é 
 xye b\u2212= 
De acordo com o método de mínimos quadrados, devemos determinar o valor de 
b que minimiza a soma dos quadrados dos desvios, dada por ee\u2032 ou ee \u22c5 . Mas ee \u22c5 e´, 
também, o quadrado do comprimento do vetor xye b\u2212= . Devemos, portanto, 
determinar o valor de b que minimiza o comprimento do vetor xye b\u2212= . 
Uma vez que b é um escalar, xb é um vetor colinear com x, como os vetores 
OA e OC na figura 4.5. Se fizermos xb = OA , teremos e = AB e, se fizermos xb = 
OC , teremos e = CB . Por outro lado, sabemos que a menor distância de um ponto a 
uma reta é dada pela perpendicular baixada do ponto sobre a reta. Uma vez que, na 
figura 4.5, OA = x\u3bb é, por construção, a projeção vertical de y sobre a reta-suporte do 
vetor x, concluímos que, para minimizar o comprimento de xye b\u2212= , devemos fazer 
xb = OA = x\u3bb . Portanto, o estimador de mínimos quadrados de \u3b2 é 
 b = \u3bb 
Lembrando (4.101), obtemos 
 yxxx
xx
yx
\u2032\u2032=
\u22c5
\u22c5
=
\u22121)(b 
Esta relação é um caso particular de (4.7). 
Para os valores de iX e iY da tabela 4.9, obtemos 8=\u22c5 xx , 12=\u22c5 yx e 
5,18/12 ==b . 
Como OA = xb é o vetor com os valores estimados de iY , passaremos a indicá-
lo por y\u2c6 , de acordo com a notação utilizada em seções anteriores. 
O vetor dos desvios da regressão é 
 yyye \u2c6\u2212=\u2212== OAAB 
No triângulo retângulo OAB da figura 4.5, o teorema de Pitágoras estabelece que 
 
 
 188 
 
222
ABOAOB += 
ou 
 eeyyyy \u22c5+\u22c5=\u22c5 \u2c6\u2c6 
Também podemos escrever 
 eeyyyy \u2032+\u2032=\u2032 \u2c6\u2c6 
ou 
 S.Q.total = (S.Q.Regr.) + (S.Q.Res.), 
que é uma relação já demonstrada anteriormente, mas de outra maneira. 
Uma vez que x e e são vetores ortogonais entre si, temos 
 0=\u2032=\u22c5 exex 
Esta relação é um caso particular de (4.8). 
É fácil verificar que se x e y fossem colineares, teríamos \u3b8 = 0, r = cos \u3b8 = 1, 
xyy b== \u2c6 , 0e = e S.Q.Res. = 0=\u2032ee . 
Vamos considerar, a seguir, o modelo de regressão linear múltipla 
 uX\u3b2y += (4.105) 
onde 
 
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef
\uf8ef
\uf8ef
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
=
nY
Y
Y
2
1
y , 
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef
\uf8ef
\uf8ef
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
=
nn XX
XX
XX
21
2212
2111
X , 
 \uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
=
2
1
\u3b2
\u3b2\u3b2 e 
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef
\uf8ef
\uf8ef
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
=
nu
u
u
2
1
u 
Se indicarmos por 1x e 2x os vetores constituídos pela primeira e pela segunda 
coluna da matriz X, respectivamente, isto é, se fizermos 
 
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef
\uf8ef
\uf8ef
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
=
nX
X
X
1
12
11
1x e 
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef
\uf8ef
\uf8ef
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
=
nX
X
X
2
22
21
2x , 
temos 
 uxxy ++= 2211 \u3b2\u3b2 (4.106) 
 
 
 189 
Vamos admitir que os vetores y, 1x e 2x têm dimensão igual ou superior a 3, 
não são colineares nem estão todos em um mesmo plano, isto é, vamos admitir que y, 
1x e 2x são linearmente independentes.9 Observada esta condição, qualquer que seja a 
dimensão (n \u2265 3) dos vetores 1x , 2x e y, tais vetores geram um espaço tridimensional. 
A figura 4.6 mostra os 3 vetores nesse espaço. Seja \u3c8 o plano (subespaço 
bidimensional) gerado por 1x e 2x . 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.6. Os vetores y, 1x e 2x . 
De acordo com o método de mínimos quadrados, devemos determinar 
2211\u2c6 xxy bb += de maneira a minimizar )\u2c6()\u2c6( yyyyee \u2212\u22c5\u2212=\u22c5 , que é o quadrado do 
comprimento do vetor yy \u2c6\u2212 . Devemos, portanto, determinar 2211\u2c6 xxy bb += de 
maneira a minimizar o comprimento do vetor yy \u2c6\u2212 . Necessariamente 2211\u2c6 xxy bb += é 
um vetor no plano \u3c8, porque é uma combinação linear dos vetores 1x e 2x . 
O ponto do plano \u3c8 que está mais próximo do ponto B (a extremidade do vetor 
y) é a projeção vertical de B sobre \u3c8, isto é, o ponto A na figura 3.6. Portanto OA=y\u2c6 é 
a combinação linear ( 2211\u2c6 xxy bb += ) de 1x e 2x que minimiza o comprimento do 
vetor e = yy \u2c6\u2212 . 
Obtido o vetor OA=y\u2c6 , podemos determinar os vetores 2211 e xx bb . Para isso, 
devemos traçar por A retas paralelas a 1x e 2x , construindo o paralelogramo 21 AAOA . 
Temos 
 
9
 Dado um conjunto de vetores, dizemos que eles são linearmente independentes se nenhum deles pode 
ser expresso como uma combinação linear dos demais. Dados dois vetores linearmente independentes 
(não colineares), 1x e 2x , uma combinação linear 2211 xx \u3bb\u3bb + é sempre um vetor no plano definido por 
1x e 2x e, reciprocamente, todo vetor (ponto) neste plano é uma combinação linear de 1x e 2x ; 
dizemos, então, que os vetores 1x e 2x geram o plano (subespaço bidimensional). Analogamente, 3 
vetores linearmente independentes geram um subespaço tridimensional. 
 
 
 
 190 
 21\u2c6 OAOAOA +==y , 
 111 xbOA = 
e 
 222 xbOA = 
O valor absoluto de 1b é o cociente da divisão do comprimento de 1OA pelo 
comprimento de 1x e o valor absoluto de 2b é o cociente da divisão do comprimento de 
2OA pelo comprimento de 2x . No caso da figura 4.6 verifica-se que 11 >b e 10 2 << b . 
O vetor dos desvios da regressão é 
 yye \u2c6\u2212==AB 
Como o segmento de reta AB é, por construção, perpendicular ao plano \u3c8, tal 
segmento é perpendicular ou ortogonal a toda reta desse plano. Em particular, AB é 
perpendicular a OA . Portanto OAB é um triângulo retângulo e, conseqüentemente 
 
222
ABOAOB += 
ou 
 eeyyyy \u22c5+\u22c5=\u22c5
Annanda
Annanda fez um comentário
salvou meu TCC! obrigada!
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Douglas
Douglas fez um comentário
Muito obrigado por compartilhar!
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