Livro Analise de regressão
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Livro Analise de regressão


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\u2c6\u2c6 
ou, ainda, 
 S.Q.Total = (S.Q.Regr.) + (S.Q.Res.) 
Como AB=e é ortogonal a 1x e 2x , temos que 
 011 =\u2032=\u22c5 exex 
e 
 022 =\u2032=\u22c5 exex 
De acordo com essas relações, podemos escrever 
 0eX =\u2032 , (4.107) 
que é a relação (4.8). 
Temos 
 Xbye \u2212= , (4.108) 
onde 
 \uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
=
2
1
b
b
b 
 
 
 191 
Substituindo (4.108) em (4.107), obtemos 
 0XbyX =\u2212\u2032 )( 
ou 
 yXXbX \u2032=\u2032 , 
que é o sistema de equações normais. 
É interessante examinar o que ocorre quando os vetores 1x e 2x são colineares. 
Nesse caso esses vetores geram apenas um subespaço unidimencional, que é a reta que 
os contém, e não um plano. Seja OA=y\u2c6 a projeção vertical de y sobre essa reta, como 
mostra a figura 4.7. 
 
 
 
 
 
Figura 4.7. Vetores 1x e 2x colineares. 
Existem infinitas combinações lineares de 1x e 2x que produzem o vetor 
OA=y\u2c6 . No caso da figura 4.7, admitindo que 1|| 1 =x , 3|| 2 =x e 2|| =OA , temos, por 
exemplo, 
 21 02 xx +=OA , 
 21 3
20 xx +=OA 
ou 
 21 xx +\u2212=OA 
Isso mostra que os valores de 1b e 2b em 2211\u2c6 xxy bb += são indeterminados. 
Esse é o problema da multicolinearidade perfeita, já examinado, sob outro enfoque, na 
seção 4.17. 
Vários outros problemas de análise de regressão podem ser examinados com o 
auxílio da interpretação geométrica apresentada nesta seção.10 Como ilustração final, 
vamos considerar o exercício 2.9, onde se pede para comparar a análise de regressão 
 
10
 Uma exposição didática do assunto pode ser encontrada em Wonnacott e Wonnacott (1976), parte II. 
 
 
 
 192 
linear simples de iY contra iX com a análise de regressão linear simples de iZ contra 
iX , com iii XYZ += . As equações estimadas de acordo com o método de mínimos 
quadrados são indicadas respectivamente por 
 ii bXaY +=\u2c6 
e 
 ii dXcZ +=\u2c6 
Vamos demonstrar que c = a e d = b + 1. 
Sejam y e y\u2c6 os vetores com os valores de iY e iY\u2c6 , respectivamente; seja 1x o 
vetor com os valores de iX ; sejam z e z\u2c6 os vetores com os valores de iZ e iZ\u2c6 , 
respectivamente, e seja 0x um vetor cujos elementos são todos iguais a 1. Temos 
 1xyz += 
 10\u2c6 xxy ba += 
e 
 10\u2c6 xxz dc += 
Na figura 4.8 estão representados os vetores yxx e , 10 . O plano gerado por 
10 e xx é denominado plano \u3c8. Indicando a extremidade de y por B e a projeção 
vertical de B sobre \u3c8 por A, temos que 
 y\u2c6=OA 
e 
 =
2
AB (S.Q.Res. 10 e | xxy ) (4.109) 
Traçando pelo ponto A retas paralelas a 0x e a 1 x , obtemos 
 00 xaOA = e 11 xbOA = , 
de tal maneira que 
 10\u2c6 xxy baOA +=== 
Uma vez que neste caso a e b são positivos, segue-se que 
 || 0
0
x
OA
a = (4.110) 
e 
 
 
 193 
 || 1
1
x
OAb = (4.111) 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.8. Regressão linear simples de Y contra X e de Z = Y + X contra X. 
Para obter o vetor yxz += 1 construímos o paralelogramo OBDQ. Então BD é 
um segmento de reta paralelo ao plano \u3c8 com comprimento igual a || 1x e z=OD . 
Sendo C a projeção vertical de D sobre \u3c8, temos 
 z\u2c6=OC 
e 
 =
2
CD (S.Q.Res. 0| xz e 1x ) (4.112) 
Como BD é paralelo a 1x e ao plano \u3c8 e AC é a projeção de BD sobre \u3c8, 
temos que AC = BD = || 1x , com AC paralelo a 1x e, portanto, colinear com o 
segmento de reta AA0 . 
Além disso, temos ABCD = . Lembrando (4.109) e (4.112), concluímos que 
 (S.Q.Res. 0| xz e 1x ) = (S.Q.Res. 0| xy e 1x ). 
Traçamos CC1 paralelo a 0x . Então 
 || 111 x== ACCA (4.113) 
e 
 10\u2c6 OCOAOC +== z , 
com 
 00 xcOA = 
e 
 11 xdOC = 
 
 
 
 194 
Uma vez que neste caso c e d são positivos, segue-se que 
 || 0
0
x
OA
c = (4.114) 
e 
 || 1
1
x
OCd = (4.115) 
Comparando (4.114) com (4.110) concluímos que 
 c = a 
Examinando a figura 4.8 e lembrando (4.113), temos que 
 || 111111 x+=+= OACAOAOC 
Substituindo esse resultado em (4.115) obtemos 
 1|| 1
1 +=
x
OAd 
Lembrando (4.111) concluímos que 
 d = b + 1, c.q.d. 
 
Exercícios 
4.1. Mostre que as fórmulas para regressão linear simples, deduzidas no Capítulo 2, são 
casos particulares das expressões gerais: 
a) yXXXb \u2032\u2032= \u22121)( 
b) 21)( \u3c3\u2212\u2032XX , que é a matriz de variâncias e covariâncias das estimativas dos 
parâmetros. 
c) S.Q.Res. = yXbyy \u2032\u2032\u2212\u2032 
d) 21)()\u2c6( \u3c3hhhYV xXXx \u2212\u2032= 
4.2. São dados os valores de 1X , 2X e Y da tabela a seguir: 
 
 
 
 
 
 195 
1X 2X Y 
0 0 \u20131 
0 2 3 
0 4 5 
0 6 5 
2 0 4 
2 2 10 
2 4 12 
2 6 10 
 
Admite-se que as variáveis estão relacionadas de acordo com o modelo 
jjjj uXXY +++= 2211 \u3b2\u3b2\u3b1 , onde os ju são variáveis aleatórias independentes, 
homocedásticas, com média zero e distribuição normal. 
a) Determine as estimativas dos parâmetros da regressão linear múltipla de Y em 
relação a 1X e 2X . 
b) Faça a análise de variância da regressão. 
c) Determine a contribuição de cada variável para a soma de quadrados de 
regressão. Verifique que o respectivo teste F é igual ao quadrado do teste t 
correspondente à hipótese de que seja nulo o valor do coeficiente de regressão 
da variável em questão. 
4.3. Idem, para 
1X 2X 3X Y 
\u20131 \u20131 0 5 
\u20131 0 0 7 
\u20131 1 0 3 
1 \u20131 0 7 
1 0 0 9 
1 1 0 5 
0 0 \u20131 3 
0 0 0 8 
0 0 1 7 
 
 
 
 
 
 
 196 
4.4. Idem para 
1X 2X Y 
0 1 1 
1 0 1 
1 1 4 
1 2 5 
1 3 4 
 
Além disso, determine: 
d) o valor dos coeficientes de correlação parcial 2.1Yr e 1.2Yr . 
e) o intervalo de 95% de confiança para cada um dos três parâmetros do modelo 
linear 
 jjjj uXXY +++= 2211 \u3b2\u3b2\u3b1 , 
admitindo que os ju são variáveis independentes com distribuição normal de 
média zero e variância 2\u3c3 . 
f) a estimativa de Y para 11 =X e 22 =X , e o intervalo de 95% de confiança para 
1|( 1 =XYE e 22 =X ). 
g) Idem, para 21 =X e 42 =X (uma extrapolação). 
4.5. São dados os seguintes valores, obtidos de uma amostra aleatória com 10 
observações: 
1X 2X 3X Y 
\u20131 \u20131 0 5 
\u20131 0 0 7 
\u20131 1 0 3 
1 \u20131 0 7 
1 0 0 9 
1 1 0 5 
0 0 \u20131 3 
0 0 0 8 
0 0 1 7 
1 1 0 6 
 
 
 
 
 197 
Admite-se que as variáveis estão relacionadas de acordo com o modelo 
 jjjjj uXXXY ++++= 332211 \u3b2\u3b2\u3b2\u3b1 , 
onde os ju são erros independentes com distribuição normal de média zero e 
variância 2\u3c3 . 
a) Determine as estimativas dos parâmetros. 
b) Faça a análise de variância da regressão. 
c) Teste a hipótese 0:0 =\u3b1H contra 0: \u2260\u3b1AH , ao nível de significância de 
1%. 
d) Teste a hipótese 0: 30 =\u3b2H contra 0: 3 >\u3b2AH , ao nível de significância de 
5%. 
e) Determine os valores dos coeficientes de determinação parcial 2 23.1Yr , 2 13.2Yr e 
2
12.3Yr . 
f) Determine a estimativa de jY para 01 =X , 12 =X e 13 =X , e o respectivo 
intervalo de 95% de confiança. 
4.6. No caso do exemplo apresentado na seção 4.13, teste, através do valor de t, a 
hipótese 0: 30 =\u3b2H contra a hipótese 0: 3 \u2260\u3b2AH , considerando um nível de 
significância de 5%. Obtenha, também, o valor do teste F para a \u201ccontribuição de 
3X \u201d, verificando que este valor é igual ao quadrado do valor de t obtido 
anteriormente. Determine, para o mesmo exemplo, a estimativa de jY para 
1321 === XXX e o respectivo intervalo de 95% de confiança. 
4.7. Considerando o modelo de regressão múltipla 
 uuXXY jjjj \u2212+++= 2211 \u3b2\u3b2\u3b1 , 
com todas as variáveis centradas, demonstre que 
 2
12
2
22112
2
12
1
2
r
rrrrr
R YYYY
\u2212
+\u2212
= , 
onde 2R é o coeficiente de determinação múltipla. 
4.8. Considerando o resultado do problema anterior, mostre que, se 
11221 \u2260=== rrrr YY , obtemos 
 
 
 198 
 
r
rR
+
=
1
2 22
 
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Annanda
Annanda fez um comentário
salvou meu TCC! obrigada!
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Douglas
Douglas fez um comentário
Muito obrigado por compartilhar!
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