Livro Analise de regressão
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\u3b2\u3b2H , considerando um nível de significância de 5%. 
4.21. São dados os valores das variáveis jX1 , jX 2 e jY para uma amostra com 6 
observações: 
jX1 jX 2 jY 
0 0 \u2013 0,5 
1 1 3,5 
1 2 7,0 
2 1 7,0 
2 2 7,5 
3 3 11,5 
a) Determine a equação de regressão linear de Y em relação a 1X e 2X . 
b) Calcule o valor do coeficiente de determinação da regressão. 
c) Teste, ao nível de significância de 5%, a hipótese 4: 210 += \u3b2\u3b2H contra a 
hipótese alternativa 4: 21 +< \u3b2\u3b2AH . 
d) Teste, ao nível de significância de 1%, a hipótese 3: 10 =\u3b2H e 52 =\u3b2 . 
e) Calcule o coeficiente de determinação parcial entre jY e )( 2 1.22 Yj rX e 
verifique se é estatisticamente diferente de zero, considerando um nível de 
significância de 1%. 
f) Calcule a estimativa de Y para 5,01 =X e 5,22 =X e determine o respectivo 
intervalo de 90% de confiança. 
g) O problema da multicolinearidade é mais sério no exercício anterior ou neste? 
Justifique. 
4.22. Numa análise da demanda de certo produto, baseada em dados anuais para um 
período de 17 anos, foram obtidos os seguintes valores, referentes às variáveis Y 
(logaritmo da quantidade consumida per capita), 1X (logaritmo da renda per 
capita) e 2X (logaritmo do preço do produto). 
 
 
 204 
Médias Estimativas dos desvios padrões 
Coeficiente de 
correlação 
5,4=Y 53=ys 30
5
1 =Yr 
11 =X 61 =s 30
4
2 \u2212=Yr 
12 =X 62 =s 5,012 \u2212=r 
a) Calcule as estimativas dos coeficientes de regressão relativos a 1X e a 2X na 
regressão linear de Y em relação a 1X e 2X . 
b) Teste, ao nível de significância de 1%, a hipótese 0: 20 =\u3b2H contra a 
hipótese alternativa 0: 20 <\u3b2H . 
4.23. Admite-se que as variáveis Y, X e T estão relacionadas de acordo com o modelo 
 jjjj uTXY +++= \u3b3\u3b2\u3b1 , 
onde T é o tempo, medido em anos, e ju são erros aleatórios com média zero e 
variância constante. Sejam a, b e c as estimativas de mínimos quadrados de \u3b1, \u3b2 e 
\u3b3, obtidas a partir de uma amostra com n observações anuais de X e Y. Mostre que 
o valor de b, obtido através das fórmulas usuais de regressão múltipla, é igual à 
estimativa do coeficiente de regressão de Y em relação a v, sendo v os desvios da 
regressão linear simples de X em relação a T. 
4.24. Numa análise da demanda de certo produto, baseada numa série temporal de 
dados, foram estimados os parâmetros da regressão de Y (logaritmo da 
quantidade consumida per capita) em relação a X (logaritmo do preço do produto) 
e T (tempo, em anos). 
Explique o significado econômico da inclusão do tempo como variável 
explanatória. 
4.25. Considere a matriz 
 \u3b9\u3b9IA \u2032\u2212=
n
1
, 
 
 
 205 
onde I é uma matriz unitária de ordem n e \u3b9 é um vetor-coluna com n elementos, 
todos iguais a 1. 
a) Mostre que A é uma matriz quadrada, simétrica e idempotente. 
b) Demonstre que tr(A) = n\u2013 1. 
4.26. Considere a matriz A, definida no exercício anterior, e o modelo de regressão 
linear múltipla apresentado no início do capítulo 4, isto é, 
 uX\u3b2y += , 
onde y é um vetor-coluna com as n observações da variável dependente, X é uma 
matriz n × p de valores fixos, \u3b2 é um vetor-coluna com p parâmetros (incluindo 
\u3b1, o termo constante da equação de regressão) e u é o vetor-coluna dos erros, com 
0u =)(E e 2)( \u3c3Iuu =\u2032E . 
Demonstre que: 
a) S.Q.Total = Ayy\u2032 
b) S.Q.Total = AuX\u3b2AX\u3b2X\u3b2Auu \u2032\u2032+\u2032\u2032+\u2032 2 
c) S.Q.Total = +\u2032)(tr uAu AuX\u3b2AX\u3b2X\u3b2 \u2032\u2032+\u2032\u2032 2 
d) E(S.Q.Total) = +\u2212 2)1( \u3c3n AX\u3b2X\u3b2 \u2032\u2032 
Finalmente, considerando (4.22) e lembrando que 
 S.Q.Regr. = (S.Q.Total) \u2013 (S.Q.Res.), 
Deduza que 
 E(S.Q.Regr.) = AX\u3b2X\u3b2 \u2032\u2032 + (p\u2013 1) 2\u3c3 
Verifique, ainda, que (2.32) é um caso particular desse resultado e que o valor de 
AX\u3b2X\u3b2 \u2032\u2032 não depende de \u3b1. 
4.27. Considere, novamente, o modelo de regressão linear múltipla do exercício anterior 
e lembre as propriedades das matrizes H e M definidas na seção 4.5. 
a) Se jx é a j-ésima coluna de X\u2032 , verifique que o j-ésimo elemento da diagonal 
de H é 
 
 
 206 
jjjh xXXx
1)( \u2212\u2032\u2032= 
b) Utilizando (4.20), deduza que 0e =)(E e que a matriz de variâncias e 
covariâncias do vetor de desvios é 
2)()( \u3c3Meee =\u2032= EV 
c) Demonstre que a variância do desvio da j-ésima observação é 
2)1()( \u3c3jj heV \u2212= 
e que a respectiva estimativa é 
2)1()(\u2c6 sheV jj \u2212= 
d) Para o exemplo numérico apresentado na seção 4.8, verifique que 6,01 =h e 
5,0)(\u2c6 1 =eV . Muitas vezes se considera que o quadrado médio do resíduo 
( 2s ), que é a estimativa não-tendenciosa da variância do erro, é, também, a 
estimativa da variância dos desvios. Note como neste caso (com n pequeno) a 
estimativa correta é muito diferente. 
4.28. Considere o modelo 
 tttt uxxY +++= 33221 \u3b2\u3b2\u3b2 (t = 1, ..., n) 
com 
 0)( =tuE para todo t 
 
22 )( \u3c3=tuE para todo t 
 0)( =stuuE se t \u2260 s 
 e 032 =\u2211=\u2211 t
t
t
t
xx 
Seja 3b uma estimativa não-tendenciosa de 3\u3b2 , obtida de dados independentes. 
Sabendo que a variância dessa estimativa é 23)( vbV = , demonstre que a variância 
da estimativa do coeficiente de regressão de ( tt xbY 33\u2212 ) contra tx2 , de acordo com 
o método de mínimos quadrados, é 
 
2
32
2
2
2
2
bv
x t
+
\u2211
\u3c3
, 
 
 
 207 
onde 32b é a estimativa do coeficiente angular da regressão linear simples de tx3 
em relação a tx2 . 
4.29. Foi proposto o seguinte modelo para analisar o crescimento de uma espécie 
vegetal (baseado em AIGNER, 1971, p. 107-108): 
 jjjj uXXY +++= 2211 \u3b2\u3b2\u3b1 , 
onde Y é a altura da planta, em cm, 1X é o tempo decorrido, em semanas, 
2
12 XX = e os ju são erros aleatórios independentes com distribuição normal de 
média zero e variância 2\u3c3 . 
A partir de uma amostra com n = 13 observações semanais, com a variável 1X 
assumindo os valores \u2013 6, \u2013 5, \u2013 4, \u2013 3, \u2013 2, \u2013 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6, foram obtidos 
os seguintes resultados: 
32=Y 36402 =\u2211 jy 90,01 =Yr 
01 =X 182
2
1 =\u2211 jx 20,02 \u2212=Yr 
142 =X 2002
2
2 =\u2211 jx 
a) Calcule as estimativas de \u3b1, 1\u3b2 e 2\u3b2 de acordo com o método de mínimos 
quadrados. 
b) Calcule 2R . 
c) Teste, ao nível de significância de 5%, a hipótese 0: 210 == \u3b2\u3b2H . 
d) Teste, ao nível de significância de 5%, a hipótese 0: 20 =\u3b2H . 
4.30. Considerando o exemplo numérico do capítulo 2, teste, ao nível de significância 
de 5%, a hipótese de que \u3b1 = 5 e \u3b2 = 0. 
4.31. Considere o modelo jjjj uXXY ++= 2211 \u3b2\u3b2 , onde os ju são erros aleatórios 
independentes com distribuição normal de média zero e variância 2\u3c3 . 
 
 
 
 
 
 208 
a) Utilizando os dados da tabela a seguir, teste, ao nível de significância de 5%, a 
hipótese 210 : \u3b2\u3b2 =H . 
1X 2X Y 
0 \u20131 0 
0 \u20131 0 
0 1 1 
0 1 3 
1 0 5 
1 0 3 
b) Verifique que sob 0H , isto é, com \u3b2\u3b2\u3b2 == 21 , o modelo fica 
jjjj uXXY ++= )( 21\u3b2 . Seja 1S , com n \u2013 2 graus de liberdade, a soma de 
quadrados residual para o modelo jjjj uXXY ++= 2211 \u3b2\u3b2 e seja 2S , com 
1\u2212n graus de liberdade, a soma de quadrados residual para o modelo 
jjjj uXXY ++= )( 21\u3b2 . Calcule o valor de 
 )2/(1
12
\u2212
\u2212
=
nS
SS\u3c6 
e compare com o valor de F relativo ao teste de hipótese da parte (a). 
4.32. Com base em uma amostra aleatória com n observações foi estimada, pelo método 
de mínimos quadrados, a equação de regressão linear múltipla de Y contra 1X e 
2X , ..., kX e foram obtidas, através da equação ajustada, as estimativas de Y para 
as n observações da amostra, isto é, foram calculados os valores de jY\u2c6 para j = 1, 
2, ..., n. 
A seguir o método de mínimos quadrados é novamente utilizado para estimar os 
parâmetros da equação de regressão linear simples de jY contra jY\u2c6 , isto é, para 
obter as estimativas (c e d) dos parâmetros \u3b3 e \u3b4 do modelo 
 jjj YY \u3b5\u3b4\u3b3 ++= \u2c6 
Deduza quais são os valores de c e d. Faça um gráfico ilustrando suas conclusões.
Annanda
Annanda fez um comentário
salvou meu TCC! obrigada!
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Douglas
Douglas fez um comentário
Muito obrigado por compartilhar!
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