Livro Analise de regressão
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Livro Analise de regressão


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e 
 
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef
\uf8ef
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
\u2212
=\u2032\u2032=
\u2212
1
5,1
5,5
)( 1 yXXXb 
A equação estimada é 
 jjj xZY \u2212+= 5,15,5\u2c6 
ou 
 jjj XZY \u2212+= 5,18\u2c6 
 
 
 226 
No período I, com 1=jZ , temos 
 jj XY \u2212= 5,9\u2c6 , 
e no período II, com 1\u2212=jZ , temos 
 jj XY \u2212= 5,6\u2c6 
O resultado, como era de se esperar, é o mesmo que obtivemos quando 
utilizamos o modelo (5.5). 
 
5.3. Uso de variáveis binárias para ajustar poligonais 
Neste caso as variáveis binárias são usadas para captar a mudança na inclinação 
entre segmentos consecutivos da poligonal. 
O modelo geral para uma poligonal com k vértices (k +1 segmentos) é 
 jhjhjh
k
h
jj uXZXY +\u2212\u2211++=
=
)(
1
\u3b8\u3b3\u3b2\u3b1 (5.6) 
onde h\u3b8 é a abcissa do h-ésimo vértice (que pressupomos conhecida) e hjZ é uma 
variável binária tal que 
 0=hjZ para hjX \u3b8\u2264 
e 
 1=hjZ para hjX \u3b8> 
Pode-se verificar que h\u3b3 é a mudança na inclinação do h-ésimo segmento da 
poligonal, em relação à inclinação do segmento anterior. 
Para uma poligonal com 3 segmentos o modelo fica 
jjjjjjj uXZXZXY +\u2212+\u2212++= )()( 222111 \u3b8\u3b3\u3b8\u3b3\u3b2\u3b1 
(5.7) 
A figura 5.2 mostra como poderia ser a forma da poligonal que mostra como 
)( jYE varia em função de jX com 01 <\u3b3 e 02 <\u3b3 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 227 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 01 =Z =1Z 1 =1Z 1 
 =2Z 0 =2Z 0 =2Z 1 
Figura 5.2. Uma poligonal com 3 segmentos. 
Para o 1o intervalo )( 1\u3b8\u2264jX a reta é 
 jj XYE \u3b2\u3b1 +=)( (5.8) 
No 2o intervalo )( 21 \u3b8\u3b8 \u2264< jX a reta é 
 jj XYE )()( 111 \u3b3\u3b2\u3b8\u3b3\u3b1 ++\u2212= (5.9) 
No 3o intervalo )( 2\u3b8>jX a reta é 
 jj XYE )()( 212211 \u3b3\u3b3\u3b2\u3b8\u3b3\u3b8\u3b3\u3b1 +++\u2212\u2212= (5.10) 
É interessante verificar que tanto (5.8) como (5.9) produzem a mesma ordenada 
para 1\u3b8=jX (que é a ordenada do 1o vértice). Analogamente, (5.9) e (5.10) produzem a 
mesma ordenada para 2\u3b8=jX . 
Para obter a poligonal da figura acima devemos ter 0>\u3b1 , 0>\u3b2 , 01 <\u3b3 , 
02 <\u3b3 , 01 >+ \u3b3\u3b2 e 021 <++ \u3b3\u3b3\u3b2 . 
Vamos considerar um exemplo numérico para o qual o modelo tem apenas dois 
segmentos. Nesse caso o modelo fica 
 jjjjj uXZXY +\u2212++= )( \u3b8\u3b3\u3b2\u3b1 , (5.11) 
com 0=jZ para \u3b8\u2264jX e 1=jZ para \u3b8>jX . 
)(YE 
1\u3b8 2\u3b8 X 
 
 
 228 
Consideremos, por simplicidade, que estamos analisando a tendência de uma 
variável ( jY ) qualquer, ou seja, consideremos que a variável explanatória ( jX ) é o 
tempo, medido em anos, por exemplo. 
Na tabela 5.5 são apresentados os valores de 6 observações consecutivas da 
variável jY . Vamos admitir que a inclinação da linha de tendência se modifique na 3a 
observação. Desejamos, portanto, ajustar uma poligonal com um vértice cuja abcissa é 
igual à abcissa da 3a observação. 
Para facilitar os cálculos, vamos considerar que no instante correspondente à 3a 
observação temos jX = 0. Dessa maneira temos 0=\u3b8 e o modelo estatístico do 
problema em questão fica 
 jjjjj uXZXY +++= \u3b3\u3b2\u3b1 (5.12) 
ou, fazendo jjj XZW = , 
 jjjj uWXY +++= \u3b3\u3b2\u3b1 
TABELA 5.5. Amostra de 6 observações consecutivas da variável jY . 
Tempo ( jX ) jZ jY 
\u20132 0 5,5 
\u20131 0 5,0 
0 0 1,0 
1 1 3,5 
2 1 4,5 
3 1 4,5 
 
Para as 3 primeiras observações, onde jZ = 0, a relação é 
 jj XYE \u3b2\u3b1 +=)( , 
e para as 3 últimas observações, onde jZ = 1, a equação da tendência passa a ser 
 jj XYE )()( \u3b3\u3b2\u3b1 ++= 
Confirma-se, portanto, que \u3b3 representa a mudança na tendência. 
Para o exemplo apresentado, obtemos: 
 
 
 229 
 
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef
\uf8ef
\uf8ef
\uf8ef
\uf8ef
\uf8ef
\uf8ef
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
\u2212
\u2212
=
331
221
111
001
011
021
X , 
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef
\uf8ef
\uf8ef
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
=\u2032
26
10
24
yX , 
 
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef
\uf8ef
\uf8ef
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
=\u2032
14146
14193
636
XX , 
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef
\uf8ef
\uf8ef
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
\u2212\u2212
\u2212
\u2212
=\u2032
\u2212
1056672
664842
724270
 
114
1)( 1XX 
e 
 
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef
\uf8ef
\uf8ef
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
\u2212=\u2032\u2032=
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef
\uf8ef
\uf8ef
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
=
\u2212
3
2
2
)( 1 yXXXb
c
b
a
 
A equação ajustada é 
 jjjj XZXY 322\u2c6 +\u2212= 
A poligonal correspondente está traçada na figura 5.3. Note que a declividade no 
primeiro período é \u20132 e no segundo período é (\u20132 + 3) = 1. 
 
 
 
 
 
 
Figura 5.3. Poligonal ajustada aos dados da tabela 5.5. 
 
A seguir calculamos 
 
 
 
 230 
 S.Q.Res. = 3)263102242(109 =\u22c5+\u22c5\u2212\u22c5\u2212=\u2032\u2032\u2212\u2032 yXbyy 
e fazemos a análise de variância da regressão, apresentada na tabela 5.6. 
TABELA 5.6. Análise de Variância 
C.V. G.L. S.Q. Q.M. F 
Regressão 2 10 5 5 
Resíduo 3 3 1 
Total 5 13 
 
Para verificar se a mudança de tendência após a terceira observação é 
estatisticamente significativa, fazemos o teste da hipótese 0:0 =\u3b3H . Para isso 
calculamos 
 
38
35
114
105)(\u2c6 ==cV 
e 
 126,3
38
35
3
)(
0
==
\u2212
=
cs
c
t 
O valor crítico de t para um teste bilateral, ao nível de significância de 5% e com 
3 graus de liberdade, é 3,182. O resultado obtido não é, portanto, significativo. 
 
5.4. Mudança estrutural 
Vamos admitir que estamos analisando a relação entre duas variáveis ( jX e jY ) 
e temos duas situações (dois períodos, duas regiões ou duas categorias). Seja 1n o 
número de observações disponíveis para a situação I e seja 2n o número de observações 
disponíveis para a situação II. Podemos usar uma variável binária para distinguir as 
duas situações, fazendo 0=jZ para as observações da situação I e 1=jZ para as 
observações da situação II. Admitindo que tanto o \u201cnível\u201d como a inclinação da relação 
entre jX e jY sejam diferentes nas duas situações, um modelo apropriado é 
 jjjjjj uXZZXY ++++= \u3b4\u3b3\u3b2\u3b1 (5.13) 
 
 
 231 
A equação estimada com base nas 21 nn + observações é 
 dZXcZbXaY +++=\u2c6 (5.14) 
A respectiva soma de quadrados residual é 
 S.Q.Res. = US , com 21 nn + \u2013 4 graus de liberdade 
Na situação I, com 0=jZ , a relação entre X e Y é 
 jj XYE \u3b2\u3b1 +=)( 
Na situação II, com 1=jZ , a relação fica 
 jj XYE )()( \u3b4\u3b2\u3b3\u3b1 +++= 
Para verificar se existe \u201cdiferença estrutural\u201d entre as duas situações testamos a 
hipótese 
 0:0 == \u3b4\u3b3H (5.15) 
Seja EF o valor de F calculado para testar essa hipótese. 
O modelo restrito para a hipótese (5.15) é jjj uXY ++= \u3b2\u3b1 . Seja RS a soma 
de quadrados residual obtida ajustando esse modelo restrito às 21 nn + observações. 
Então RS está associado a 21 nn + \u2013 2 graus de liberdade. De acordo com (4.85), 
sabemos que o valor de EF pode ser obtido de 
 
 
4
 
 
2
 
21 \u2212+
\u2212
=
nn
S
SS
F
U
UR
E (5.16) 
Se admitimos que a relação entre jX e jY é distinta nas duas situações 
analisadas, é lógico ajustar regressões separadamente para cada situação. 
Para as 1n observações da situação I obtemos 
 XbaY 11\u2c6 += e S.Q.Res. = 1S , com 1n \u2013 2 graus de liberdade 
e para as 2n observações da situação II obtemos 
 XbaY 22\u2c6 += e S.Q.Res. = 2S , com 2n \u2013 2 graus de liberdade. 
 
 
 232 
Pode-se provar que aa =1 , bb =1 , caa +=2 e dbb +=2 , isto é, que as duas 
retas estimadas separadamente são idênticas ao conjunto de duas retas estimado por 
meio do modelo (5.13). Consequentemente 
 USSS =+ 21 
Então o teste F para mudança estrutural pode ser obtido de 
 
4
 
2
)(
 
21
21
21
\u2212+
+
+\u2212
=
nn
SS
SSS
F
R
E (5.17) 
Esse é o teste de Chow para mudança estrutural. 
Genericamente, para um modelo com p parâmetros em cada uma das duas 
situações, temos 
 
pnn
SS
p
SSS
F
R
E
2
 
)(
 
21
21
21
\u2212+
+
+\u2212
= (5.18) 
Para ilustrar o tema, consideremos um exercício apresentado em Draper e Smith 
(1966), no
Annanda
Annanda fez um comentário
salvou meu TCC! obrigada!
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Douglas
Douglas fez um comentário
Muito obrigado por compartilhar!
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