Livro Analise de regressão
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Livro Analise de regressão


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0:0 =\u3b2H , sendo \u3b2 o coeficiente 
de regressão do modelo 
 kikiki uZY ++= \u3b2\u3b1 , 
onde: 
a) kiZ é uma variável binária que assume valor \u20131 para as observações de uma das 
amostras e valor +1 no caso da outra amostra; 
b) o índice k = 1, 2 indica que se trata de uma observação da variável 1Y ou da variável 
2Y , e 
c) o índice i varia de 1 a 1n se k = 1 e de 1 a 2n se k = 2 
5.6. Mostre que o teste t descrito no exercício anterior é, também, igual ao teste t relativo à 
hipótese \u3b3\u3b2 =:0H , sendo \u3b2 e \u3b3 os coeficientes de regressão do modelo 
 kikikiki uVZY ++= \u3b3\u3b2 , 
 
 
 243 
onde 1=kiZ e 0=kiV no caso das observações da amostra de 1Y , e 0=kiZ e 1=kiV 
quando se trata das observações da amostra de 2Y . 
5.7. Para ajustar um par de retas a um conjunto de 21 nn + observações ( 1n observações no 
grupo I e 2n observações no grupo II), podemos utilizar o modelo 
 kikikkikkkki uXZXZZZY ++++= 22112211 \u3b2\u3b2\u3b1\u3b1 , 
 k = 1, 2 e i = 1, 2, ..., 1n ou 2n 
com 
 1 e 0 ,0 ,1 22211211 ==== ZZZZ 
Demonstre que o valor de t para testar a hipótese 210 : \u3b2\u3b2 =H é 
 
4
11
21
21
2
2
2
1
21
\u2212+
+
\uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\u2211
+
\u2211
\u2212
=
nn
QQ
xx
bb
t
ii
 
onde, para k = 1, 2, 
 2
ki
i
kiki
i
k
x
yx
b
\u2211
\u2211
= , 
 kkiki XXx \u2212= , 
 kkiki YYy \u2212= 
e 1Q e 2Q são as somas de quadrados de resíduo para as regressões lineares simples de kiY 
contra kiX , para os grupos de observações I e II, respectivamente, isto é, 
 kiki
i
kki
i
k yxbyQ \u2211\u2212\u2211= 2 
5.8. Dados: 
X 
Valores de Y no 
Tratamento 1 Tratamento 2 Tratamento 3 
0 4 3 3 
1 7 4 2 
2 6 6 4 
3 9 5 5 
Totais 26 18 14 
Admitimos que para cada tratamento existe uma relação linear entre X e Y, com o mesmo 
coeficiente angular, isto é, admitimos que a relação funcional entre Y e X pode ser representada 
por um feixe de 3 retas paralelas. Sejam h\u3b1 (h = 1, 2, 3) os coeficientes lineares das retas e seja 
\u3b2 o coeficiente angular comum. Admitimos, também, que iii uYEY += )( , com i = 1, 2, ..., 12, 
 
 
 244 
onde iu são variáveis aleatórias independentes, com média zero, variância 
2\u3c3 e distribuição 
normal. 
a) Determine as estimativas de h\u3b1 (h = 1, 2, 3) e de \u3b2 de acordo com o método de 
mínimos quadrados. 
b) Quais as propriedades dessas estimativas? 
c) Teste a hipótese 0:0 =\u3b2H . 
d) Teste a hipótese 0: 10 =\u3b1H contra 0: 1 >\u3b1AH . 
e) Teste a hipótese )(
2
1
: 3210 \u3b1\u3b1\u3b1 +=H 
f) Teste a hipótese 320 : \u3b1\u3b1 =H e 22
32
1 +
+
=
\u3b1\u3b1
\u3b1 . 
Considere um nível de significância de 1%. 
Sugestão: Adote, inicialmente, o modelo 
 iihih
h
i uXZY ++\u2211=
=
\u3b2\u3b13
1
, 
onde =hiZ 1 para toda observação do tratamento h e =hiZ 0 para as observações 
dos outros dois tratamentos (com h = 1, 2, 3). 
Dessa maneira h\u3b1 é o intercepto da reta relativa ao h-ésimo tratamento. 
A seguir mostre que o modelo inicialmente adotado é equivalente a 
 iihih
h
i uxZY ++\u2211=
=
\u3b2\u3b43
1
 
onde Xhh \u3b2\u3b1\u3b4 += e XXx ii \u2212= 
Os cálculos ficam bastante facilitados utilizando este último modelo, pois a 
correspondente matriz XX\u2032 será uma matriz diagonal. 
5.9. Faça o teste para \u201cfalta de ajustamento\u201d para a regressão linear simples do exercício 2.1. 
5.10. Faça o teste para \u201cfalta de ajustamento\u201d para a reta estimada no exercício 2.19. 
5.11. É dada uma amostra com 12 pares de valores das variáveis X e Y: 
X Y 
0 1; 1; 2; 2 
2 3; 4; 4; 5 
4 3; 3; 4; 4 
Temos 
36=\u2211Y , 24=\u2211 X , 1262 =\u2211Y 
322 =\u2211 x , 182 =\u2211 y e 16=\u2211 xy 
 
 
 245 
Admite-se que as variáveis estejam relacionadas de acordo com o modelo jjj uXY ++= \u3b2\u3b1 , 
onde os ju são erros independentes, com 0)( =juE , variância constante e distribuição 
normal. 
a) Determine a reta de regressão de Y em relação a X, de acordo com o método dos 
mínimos quadrados. 
b) Calcule o coeficiente de determinação e faça a análise de variância da regressão, 
adotando um nível de significância de 1%. 
c) Verifique se há razões para rejeitar o modelo linear inicialmente proposto, 
considerando um nível de significância de 1%. 
5.12. Verifique se há razões para rejeitar o modelo linear proposto no exercício 2.34. 
5.13. Com base nos 8 pontos cujas coordenadas são dadas na tabela a seguir, ajuste um plano 
que passe pela origem dos eixos, considerando Y como variável dependente. Faça o teste 
para \u201cfalta de ajustamento\u201d. Verifique se o coeficiente de 2X é estatisticamente 
diferente de zero, considerando um nível de significância de 5% 
1X 2X Y 
1 1 3,5 
1 1 4,5 
1 2 5,5 
1 2 4,5 
2 1 4,5 
2 1 3,5 
2 2 5,0 
2 2 6,0 
5.14. A tabela ao lado mostra uma 
série de 9 valores 
quadrimestrais da variável Y. 
Admite-se que essa variável 
apresenta variações cíclicas 
estacionais. Verifica-se que 
147=\u2211Y , 25352 =\u2211Y e 
1342 =\u2211 y . 
a) Estabeleça um modelo de regressão para captar as variações estacionais de Y, 
utilizando variáveis binárias. Construa a matriz X. 
b) Estime os parâmetros do modelo. 
Ano Quadrimestre Y 
1o 1o 15 
 2o 22 
 3o 15 
2o 1o 11 
 2o 18 
 3o 16 
3o 1o 10 
 2o 20 
 3o 20 
 
 
 
 246 
c) Teste, ao nível de significância de 5%, a hipótese de que não há variações estacionais 
[caso em que se tem \u3b1=)(YE ]. 
d) Determine o intervalo de previsão para o valor de Y no 2o quadrimestre do 4o ano, ao 
nível de confiança de 95%. 
5.15. É dada uma série de 9 valores anuais da variável Y. 
Admite-se que Y varia linearmente em função do 
tempo (em anos), mas acredita-se que ocorreu uma 
mudança estrutural entre a 4a e a 5a observação, de 
maneira que haveria uma tendência linear durante os 4 
primeiros anos da série e uma tendência linear distinta 
durante os 5 últimos anos. 
 
Verifica-se que 792=\u2211Y , 785882 =\u2211Y e 88922 =\u2211 y : 
a) Estime as taxas aritméticas de crescimento anual de Y nos dois períodos. 
b) Verifique se a mudança estrutural é estatisticamente significativa. Sugere-se fazer o 
teste com base nas regressões simples, como indicado por Chow. 
c) Há diferença estatisticamente significativa entre as taxas aritméticas de 
crescimento de Y nos dois períodos? Adote um nível de significância de 5% em todos 
os testes de hipóteses deste exercício. 
5.16. Vamos admitir que temos os resultados de uma pesquisa de orçamentos familiares, sendo 
W a renda per capita e Q o consumo per capita de determinado alimento. Os respectivos 
logaritmos neperianos são 
 Y = ln Q e X = ln W 
Admite-se que a elasticidade-renda do consumo é maior para os relativamente pobres do que 
para os relativamente ricos. Considera-se relativamente pobres as pessoas com X \u2264 4. Para 
analisar como Y varia em função de X será adotado, então, um modelo que corresponde a uma 
poligonal com dois segmentos e vértice no ponto de abcissa (X) igual a 4. 
Dispomos de uma amostra com 6 pares de valores de X e Y: 
a) Estabeleça o modelo apropriado e estime seus 
parâmetros. 
b) Calcule o coeficiente de determinação da 
regressão. 
Ano Y 
1o 39 
2o 54 
3o 63 
4o 66 
5o 96 
6o 108 
7o 111 
8o 120 
9o 135 
 
X Y 
1 0,1 
2 0,6 
3 1,5 
5 2,9 
6 3,0 
7 2,7 
 
 
 
 247 
c) Teste, ao nível de significância de 1%, a hipótese de que a elasticidade-renda do 
consumo desse alimento para os relativamente pobres é igual a zero, contra a hipótese 
alternativa de que essa elasticidade é positiva. 
d) Faça um teste bilateral, ao nível de significância de 1%, para a hipótese de que a 
elasticidade-renda para os relativamente ricos é igual a 1. 
5.17. Temos uma amostra com 6 valores da 
variável econômica Y em duas regiões (3 
observações em cada região), como 
mostra a tabela ao lado: 
a) Estabeleça um modelo de regressão 
com uma ou duas variáveis binárias 
para distinguir as duas regiões.
Annanda
Annanda fez um comentário
salvou meu TCC! obrigada!
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Douglas
Douglas fez um comentário
Muito obrigado por compartilhar!
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