Livro Analise de regressão
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t = \u20135,953, significativo ( 0t = 5,841). 
5.17. a) iii uZY ++= \u3b2\u3b1 , com 1\u2212=iZ para a região A e 1=iZ para a região B. 
b) ZY 413\u2c6 += 
 
 
 253 
 As estimativas de )(YE nas regiões A e B são, respectivamente, 13 \u2212 4 = 9 e 
13 + 4 = 17. 
c) 82 =s , com 4 graus de liberdade. 
d) t = 3,464 , significativo )776,2( 0 =t . 
5.18. a) XY 1040\u2c6 += , com S.Q.Res. = 1212 
 b) 432 58664039\u2c6 ZZZY +++= 
 ou 4321 971057939\u2c6 ZZZZY +++= , com S.Q.Res. = 20 
 F= 346,13 , significativo )59,6( 0 =F 
 c) 2,119
5
596
==F , significativo )0,18( 0 =F 
 d) 8
5
40
==F , significativo )71,7( 0 =F 
 e) S.Q.Res. = 20 (a mesma do item b). Não há grau de liberdade para o teste de 
\u201cfalta de ajustamento\u201d. 
5.19. a) uZZZZY ++++= 44332211 \u3b2\u3b2\u3b2\u3b2 , com =iZ 1 para o i-ésimo trimestre e 
=iZ 0 para os demais trimestres (i = 1, 2, 3 ou 4). 
 4321 20122028\u2c6 ZZZZY +++= . 
b) t = 3,578, significativo ( 0t = 2,776). 
c) F = 17,07, significativo )69,16( 0 =F 
5.20. a) 21 3426\u2c6 XXY ++= . 
b) 21 5250\u2c6 XXY ++= 
c) F = 4,166, não-significativo )35,4( 0 =F 
5.21. a) XY 830\u2c6 += , S.Q.Res. = 36 
 b) XY 1234\u2c6 += , S.Q.Res. = 36 
 c) t = 0,535, não-significativo )604,4( 0 =t 
 d) t = 2,981, não-significativo )604,4( 0 =t 
 e) 11,31
18
560
==F , significativo )0,18( 0 =F 
 f) 05:0 =+ \u3b4\u3b3H , com 303,78,10
24
==t , significativo )604,4( 0 =t 
 
 
 
 
 254
6. HETEROCEDASTICIA 
Veremos, neste capítulo, como obter as estimativas dos parâmetros de uma 
regressão linear quando a variância do erro não é constante, isto é, quando há 
heterocedasticia. 
 
6.1. O caso de uma regressão linear simples em que o desvio padrão do 
erro é proporcional a X 
Consideremos, inicialmente, o caso de uma regressão linear simples em que a 
variância do erro é proporcional ao valor de 2X . O modelo dessa regressão é 
 jjj uXY ++= \u3b2\u3b1 (6.1) 
com 
 
2222)( \u3c3\u3c3 jjj XuE == 
Admitiremos que são válidas as demais pressuposições relativas ao modelo de 
regressão linear simples, vistas no capítulo 2. 
O modelo (6.1) pode ser transformado em um modelo de regressão linear simples 
com homocedasticia. Para isso, basta dividir cada termo por jX , obtendo 
 
j
j
jj
j
X
u
XX
Y
++= \u3b2\u3b1 1 
ou 
 jjj VZ \u3b5\u3b1\u3b2 ++= , (6.2) 
onde 
 
j
j
j X
Y
Z = , 
j
j X
V 1= e 
j
j
j X
u
=\u3b5 
Convém ressaltar que 
 
2
2
2
2 )()( \u3c3\u3b5 ==
j
j
j X
uE
E , 
ou seja, a variância do erro no modelo (6.2) é constante. O cálculo das estimativas dos 
parâmetros, a determinação de intervalos de confiança e os testes de hipóteses relativos ao 
 
 
 255
modelo (6.2) podem, portanto, ser feitos da maneira usual, utilizando as fórmulas de 
mínimos quadrados ordinários. 
Os mesmos resultados podem ser obtidos através do raciocínio exposto a seguir. 
Sabemos que, no caso de um modelo homocedástico, as estimativas dos parâmetros são os 
valores que minimizam 
 
2)( jj bXaY \u2212\u2212\u2211 
No caso de um modelo heterocedástico, com 22)( jjuE \u3c3= , os quadrados dos desvios 
devem ser ponderados, sendo que o fator de ponderação deve ser inversamente 
proporcional à variância, isto é, devemos dar peso maior às observações de menor 
variância. As estimativas dos parâmetros são, então, os valores que minimizam 
 
2
2 )(
1
jj
j
bXaY \u2212\u2212\u2211
\u3c3
 
No caso em que 222 \u3c3\u3c3 jj X= isso implica minimizar 
 
2
2 )(
1
jj
j
bXaY
X
\u2212\u2212\u2211 = 
2
1
\uf8f7
\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\u2212\u2212\u2211
jj
j
X
ab
X
Y
 
Verificamos, portanto, que o resultado é o mesmo que o obtido aplicando o método 
dos mínimos quadrados ordinários (não ponderados) ao modelo (6.2). 
 
6.2. O método dos mínimos quadrados ponderados 
Consideremos o modelo 
 uX\u3b2y += (6.3) 
com 0u =)(E e 
 
22
1
00
00
00
)( \u3c3\u3c3
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef
\uf8ef
\uf8ef
\uf8ef
\uf8ef
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
==\u2032
nv
v
v
E
K
MMM
K
K
2Vuu 
Note que V é uma matriz diagonal. Vamos admitir que sejam conhecidos os valores 
de jv , que mostram como varia o valor da variância do erro. O fato de serem nulos os 
elementos fora da diagonal principal da matriz V significa que é válida a pressuposição de 
 
 
 256
ausência de covariância entre os erros das várias observações, isto é, que 0)( =hjuuE para 
j \u2260 h. 
Definimos a matriz diagonal 
 
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef
\uf8ef
\uf8ef
\uf8ef
\uf8ef
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
=
n\u3bb
\u3bb
\u3bb
K
MMM
K
K
00
00
00
2
1
\u39b 
onde 
 
j
j
v
1
=\u3bb , j = 1, ..., n 
Dessa maneira, temos que 
 
1\u2212
= V\u39b\u39b (6.4) 
e 
 
1\u2212\u2212
= \u39b\u39bV 1 (6.5) 
Pré-multiplicando cada um dos termos de (6.3) por \u39b , obtemos o modelo 
 \u39bu\u39bX\u3b2\u39by += (6.6) 
No modelo (6.6) o vetor dos erros é \u39bu\u3b5 = e uma vez que 0u =)(E , temos 
0\u3b5 =)(E . 
Notando que \u39b\u39b =\u2032 e lembrando que 2)( \u3c3Vuu =\u2032E , obtemos 
 
2)()( \u3c3\u39bV\u39b\u39bu\u39bu\u3b5\u3b5 =\u2032=\u2032 EE 
De acordo com (6.5), segue-se que 
 
2211)( \u3c3\u3c3 I\u39b\u39b\u39b\u39b\u3b5\u3b5 ==\u2032 \u2212\u2212E 
ou seja, o modelo (6.6) é homocedástico. Podemos, então, aplicar a esse modelo as 
fórmulas de mínimos quadrados ordinários, deduzidas no capítulo 4. É óbvio que devemos 
tomar o cuidado de substituir, naquelas fórmulas, as matrizes y e X pelas matrizes \u39by e 
\u39bX , respectivamente. Considerando (6.4) obtemos: 
yVXXVX\u39b\u39byX\u39b\u39bXXb 1\u2212\u2212\u2212\u2212 \u2032\u2032=\u2032\u2032= 111 )()( (6.7) 
S.Q.Res. = yVXbyVy\u39b\u39byXb\u39b\u39byy 1\u2212\u2212 \u2032\u2032\u2212\u2032=\u2032\u2032\u2212\u2032 1 (6.8) 
 
 
 257
212 )()(]))([( \u3c3\u3c3 \u2212\u2212\u2212 \u2032=\u2032=\u2032\u2212\u2212 XVX\u39b\u39bXX\u3b2b\u3b2b 11E (6.9) 
Desde que 0\u3b5 =)(E e 2)( \u3c3I\u3b5\u3b5 =\u2032E , isto é, desde que os erros j\u3b5 são variáveis 
aleatórias independentes com média zero e variância constante, as estimativas dos 
parâmetros obtidas através de (6.7) são estimativas lineares não-tendenciosas de variância 
mínima, de acordo com o que foi visto no capítulo 4. 
 
6.3. Consequências do uso de estimadores de mínimos quadrados 
ordinários quando existe heterocedasticia 
Vejamos, inicialmente, a perda de eficiência decorrente do uso das fórmulas de 
mínimos quadrados ordinários quando há heterocedasticia. 
Admitamos que o modelo correto seja (6.3) e que o pesquisador, erroneamente, 
admite que 2)( \u3c3Iuu =\u2032E , calculando 
 yXXXb \u2032\u2032= \u22121
*
)( (6.10) 
Substituindo (6.3) em (6.10), obtemos 
 )()( 1
*
uX\u3b2XXXb +\u2032\u2032= \u2212 
ou 
 uXXX\u3b2b \u2032\u2032+= \u22121
*
)( (6.11) 
Aplicando esperança em (6.11) obtemos 
 \u3b2b =)(
*
E , 
isto é, o estimador de mínimos quadrados ordinários é não-tendencioso. Entretanto, 
*
b não 
é um estimador eficiente, já que o estimador de variância mínima é o dado por (6.7). 
Determinemos a matriz de variâncias e covariâncias de 
*
b . De (6.11) obtemos 
 uXXX\u3b2b \u2032\u2032=\u2212 \u22121
*
)( 
Então 
 ])()[(]))([( 11
**
\u2212\u2212
\u2032\u2032\u2032\u2032=\u2032\u2212\u2212 XXXuuXXX\u3b2b\u3b2b EE 
Como 2Vuu \u3c3=\u2032)(E , segue-se que 
 
211
**
)()(]))([( \u3c3\u2212\u2212 \u2032\u2032\u2032=\u2032\u2212\u2212 XXVXXXX\u3b2b\u3b2bE (6.12) 
 
 
 258
Por simplicidade, consideremos o modelo 
 jjj uXY += \u3b2 , j = 1, ..., n (6.13) 
com 
 0)( =juE , 22 )( \u3c3jj vuE = e 0)( =hjuuE para h \u2260 j. 
De acordo com (6.7), obtemos 
 21
1
jj
jjj
Xv
YXv
b
\u2212
\u2212
\u2211
\u2211
= (6.14) 
O estimador de mínimos quadrados ordinários é 
 2*
j
jj
X
YX
b
\u2211
\u2211
= (6.15) 
De acordo com (6.9) e (6.12) temos, respectivamente, 
 21
2
)(
jj Xv
bV
\u2212\u2211
=
\u3c3
 (6.16) 
e 
 22
22
* )()( j
jj
X
Xv
bV
\u2211
\u2211
=
\u3c3
 (6.17) 
A eficiência relativa de 
*
b , em comparação com b, é 
 221
22
*
)(
)(
)(
jjjj
j
XvXv
X
bV
bV
\u2211\u2211
\u2211
==
\u2212
\u3c6 
Para exemplificar, admitamos que a variância de Y, dado X, seja direta ou 
inversamente proporcional ao quadrado do valor de X, isto é, 2jj Xv = ou 
2\u2212
= jj Xv . Em 
ambos os casos temos 
 4
22 )(
j
j
Xn
X
\u2211
\u2211
=\u3c6 
Se 1\u2212= jX j , com j = 1,
Annanda
Annanda fez um comentário
salvou meu TCC! obrigada!
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Douglas
Douglas fez um comentário
Muito obrigado por compartilhar!
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