Livro Analise de regressão
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..., 11, temos 532,0=\u3c6 , isto é, a eficiência relativa do 
estimador de mínimos quadrados ordinários, em comparação com o estimador de mínimos 
quadrados ponderados, é de apenas 53,2%. 
 
 
 259
Outros exemplos, considerando o modelo jjj uXY ++= \u3b2\u3b1 , podem ser 
encontrados em Johnston (1971, p. 225-229). 
É claro que o pesquisador que estivesse, inadvertidamente, utilizando as expressões 
de mínimos quadrados ordinários consideraria 21)( \u3c3\u2212\u2032XX , e não (6.12), como a matriz de 
variâncias e covariâncias de 
*
b , e, para estimar 2\u3c3 , utilizaria 
 =\u2032\u2032\u2212\u2032
\u2212
= )(1
*
2
*
yXbyy
pn
s 
 ,])([(1 1 yXXXXIy \u2032\u2032\u2212\u2032
\u2212
=
\u2212
pn
 (6.18) 
em lugar do estimador correto que, de acordo com (6.8), é 
 )(1 112 yVXbyVy \u2212\u2212 \u2032\u2032\u2212\u2032
\u2212
=
pn
s 
Lembrando (6.7), obtemos 
 yVXXVXXVVy ])([1 111112 \u2212\u2212\u2212\u2212\u2212 \u2032\u2032\u2212\u2032
\u2212
=
pn
s (6.19) 
Substituindo (6.3) em (6.18) e (6.19), obtemos 
 uXXXXIu ])([1 12
*
\u2032\u2032\u2212\u2032
\u2212
=
\u2212
pn
s (6.20) 
e 
 uVXXVXXVVu ])([1 111112 \u2212\u2212\u2212\u2212\u2212 \u2032\u2032\u2212\u2032
\u2212
=
pn
s (6.21) 
De (6.20), notando que se trata de uma matriz com um único elemento, temos 
 =\u2032\u2032\u2212\u2032
\u2212
=
\u2212 }])([{tr12
*
uXXXXIu 1
pn
s 
 ]})([{tr1 1 XXXXIuu \u2032\u2032\u2212\u2032
\u2212
=
\u2212
pn
 
Como 2)( \u3c3Vuu =\u2032E segue-se que 
 =\u2032\u2032\u2212
\u2212
=
\u2212 ]})([tr{)( 1
2
2
*
XXXXIV
pn
sE \u3c3 
 ]})(tr[)tr({ 1
2
\u2212
\u2032\u2032
\u2212
\u2212
= XXVXXV
pn
\u3c3
 (6.22) 
Analogamente, de (6.21) obtemos 
 
 
 260
 =\u2032\u2032\u2212
\u2212
=
\u2212\u2212\u2212\u2212\u2212 ]})([tr{)( 11111
2
2 VXXVXXVVV
pn
sE \u3c3 
 =\u2032\u2032\u2212
\u2212
=
\u2212\u2212\u2212 ]})(tr[){tr( 111
2
XVXXVXI npn
\u3c3
 
 
2
2
)]tr()[tr( \u3c3\u3c3 =\u2212
\u2212
= pnpn
II (6.23) 
Esse resultado já era esperado, pois (6.19) é o quadrado médio do resíduo relativo 
ao modelo (6.6), cujo vetor de erros (\u3b5 ) é tal que 2)( \u3c3I\u3b5\u3b5 =\u2032E , que é, de acordo com o 
que vimos na seção 4.5, a condição necessária para demonstrar que o quadrado médio do 
resíduo é um estimador não-tendencioso da variância residual. 
Por simplicidade, consideremos, novamente, o modelo (6.13). O pesquisador que, 
inadvertidamente, não considerasse a existência de heterocedasticia, calcularia 
*
b , dado 
por (6.15), e, de acordo com (4.23), obteria 
 2
2
*
**
)(\u2c6
jX
sbV
\u2211
= (6.24) 
onde, de acordo com (6.18), 
 
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
\u2211
\u2211
\u2212\u2211
\u2212
= 2
2
22
*
)(
1
1
j
jj
j X
YX
Y
n
s 
Considerando (6.22), temos que 
 
\uf8f7
\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\u2211
\u2211
\u2212\u2211
\u2211\u2212
= 2
2
2
2
** )1()](
\u2c6[
j
jj
j
j X
Xv
v
Xn
bVE \u3c3 (6.25) 
De acordo com (6.17), o estimador correto da variância de 
*
b é 
 22
22
* )()(
\u2c6
j
jj
X
Xvs
bV
\u2211
\u2211
= , (6.26) 
onde, de acordo com (6.19), 
 
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
\u2211
\u2211
\u2212\u2211
\u2212
=
\u2212
\u2212
\u2212
21
21
212 )(
1
1
jj
jjj
jj Xv
YXv
Yv
n
s 
Considerando (6.23), temos que 
 22
22
* )()](
\u2c6[
j
jj
X
Xv
bVE
\u2211
\u2211
=
\u3c3
 (6.27) 
 
 
 261
Comparando (6.27) com (6.17), verificamos que (6.26) é um estimador não-
tendencioso da variância de 
*
b . 
De (6.17) e (6.25) obtemos a tendenciosidade ou viés de (6.24) como estimador de 
)(
*
bV , que é 
 =\u2212 )()](\u2c6[
***
bVbVE 
 =
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
\u2211
\u2211
\u2212
\uf8f7
\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\u2211
\u2211
\u2212\u2211
\u2212\u2211
= 2
2
2
2
2
2
1
1
j
jj
j
jj
j
j X
Xv
X
Xv
v
nX
\u3c3
 
 
\uf8f7
\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\u2211
\u2211
\u2212
\u2211
\u2211\u2212
= 2
2
2
2
)1( j
jjj
j X
Xv
n
v
Xn
n\u3c3
 (6.28) 
Nesta expressão temos, entre parênteses, a diferença entre a média aritmética e a média 
ponderada dos jv , com 
2
jX como fatores de ponderação. Se, por exemplo, os maiores 
valores dos jv estiverem associados aos maiores valores absolutos dos jX , a média 
ponderada é maior do que a média aritmética e, portanto, )(\u2c6
**
bV é um estimador 
negativamente viesado de )(
*
bV . É óbvio que, neste caso, não são válidos os intervalos de 
confiança ou testes de hipóteses feitos com base nos estimadores tendenciosos das 
variâncias obtidos de 2
*
1)( s\u2212\u2032XX . 
Entretanto, se não houver associação entre jv e 
2
jX , as duas médias dos jv (sem 
ponderação e com ponderação por 2jX ) em (6.28) tendem a ser iguais. Neste caso o 
pesquisador que usa as fórmulas de mínimos quadrados ordinários, embora não esteja 
usando o estimador mais eficiente, não será sistematicamente induzido a conclusões 
erradas ao efetuar teste de hipóteses. 
 
6.4. Testes para a homocedasticia e obtenção de estimativas dos 
parâmetros quando a matriz V é desconhecida 
Até aqui admitimos que a matriz V, de 2)( \u3c3Vuu =\u2032E , é conhecida. 
Entretanto, em problemas práticos, freqüentemente desconhecemos se os erros são 
homocedásticos ou heterocedásticos. Vejamos então como podemos, com base nos dados 
da amostra, verificar se a variância dos erros é ou não homogênea. 
 
 
 262
Vamos admitir, inicialmente, que, na amostra disponível, temos repetições de 
conjuntos de valores das variáveis explanatórias, ou seja, dispomos de 1>hn valores de Y 
para os valores khhh XXX ,...,, 21 das variáveis explanatórias. Se H é o número de diferentes 
conjuntos de valores de iX existentes (ou número de vetores diferentes entre as linhas da 
matriz X), os hnn \u2211= valores da variável dependente podem ser indicados por hjY (j = 1, 
..., hn ; h = 1, ..., H). 
As estimativas das variâncias dentro de cada grupo são dadas por 
 
h
hhjj
h g
YY
s
2
2
)( \u2212\u2211
= , (6.29) 
onde 1\u2212= hh ng e hj
h
h Y
n
Y \u2211= 1 
Sejam 
 
2
2
lnln)( hh
h
hh
h sgg
sg
gU \u2211\u2212
\u2211
\u2211
\u2211= (6.30) 
e 
 \uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\u2211
\u2212\u2211
\u2212
+=
hh ggH
G 11)1(3
11 (6.31) 
Pode-se demonstrar que, se a variância de Y é homogênea, a variável GU / tem, 
aproximadamente, distribuição de qui-quadrado com H \u2013 1 graus de liberdade. Então, o 
valor de GU / pode ser utilizado para testar a hipótese 222
2
10 : HH \u3c3\u3c3\u3c3 === K , isto é, a 
hipótese de que a variância de Y é constante.11 
Se o teste for não-significativo, é justificável pressupor que há homocedasticia. 
Neste caso, é razoável aplicar o método de mínimos quadrados ordinários. Ressaltemos, 
entretanto, que um resultado não-significativo não implica, necessariamente, que haja 
homocedasticia. O teste de hipótese pode apenas mostrar se é razoável manter ou não a 
pressuposição de homocedasticia, nunca provando sua veracidade. Em outras palavras, o 
fato de o teste para homocedasticia não ser significativo não tira o caráter de pressuposição 
da afirmação de que os erros são homocedásticos. 
 
11
 Ver Hoel (1962, p. 225-227). 
 
 
 263
Se o teste resultar significativo, devemos usar o método de mínimos quadrados 
ponderados. Para isso, como a matriz V é desconhecida, ela é substituída por uma matriz 
diagonal V\u2c6 , cujos elementos diferentes de zero são 2\u2c6 hhj sv = , obtidos de (6.29). Quando 
utilizamos V\u2c6 em lugar de V, temos yVXXVXb 111 \u2c6)\u2c6( \u2212\u2212\u2212 \u2032\u2032= , que não é um estimador 
linear não-tendencioso de variância mínima. Pode-se demonstrar, entretanto, que, em 
certas condições,12 esse é um estimador consistente e assintoticamente eficiente de \u3b2 . 
Consideremos, agora, o caso em que o número de valores de Y para um mesmo 
conjunto de valores de iX é insuficiente para aplicar o procedimento anteriormente 
descrito. Então, para testar a homocedasticia dos erros, pode-se usar o método proposto por 
Goldfeld e Quandt (1965), que descrevemos a seguir. 
Dado o modelo uX\u3b2y += , com 0u =)(E e 2)( \u3c3Vuu =\u2032E , onde V é uma matriz 
diagonal cujos elementos diferentes de zero são jv (j = 1, ..., n), a hipótese da nulidade
Annanda
Annanda fez um comentário
salvou meu TCC! obrigada!
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Douglas
Douglas fez um comentário
Muito obrigado por compartilhar!
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