Livro Analise de regressão
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obter amostras com n = 2 elementos 
dessa população. Na tabela 1.5 apresentamos as dezesseis amostras de tamanho n = 2, 
que podem ser obtidas, e as respectivas estimativas dos parâmetros µ e 2\u3c3 . Os 
estimadores são 
2
21 XX
n
X
X i
+
=
\u2211
= 
e 
2
2
2
1
2
2 )()(
1
)(
XXXX
n
XX
s i \u2212+\u2212=
\u2212
\u2212\u2211
= 
Calculamos, também, as estimativas da variância da média da amostra. Esta 
variância é definida por 
22 )]([)( XEXEXVX \u2212==\u3c3 
Temos 
)(1)( 21221 nn XXXVnn
XXX
VXV +++=\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb +++
= K
K
 
Uma vez que as observações de uma amostra aleatória de uma população infinita 
são independentes, segue-se que 
n
n
n
XV
2
2
2
1)( \u3c3\u3c3 == 
O estimador da variância média é 
n
s
s X
2
2
= 
Obviamente, cada uma das dezesseis amostras tem probabilidade 1/16 de ser 
selecionada. 
 
 
 12 
TABELA 1.5. Valores de 22 ,, XssX e 
2)( µ\u2212X para as 16 amostras que 
podem ser obtidas lançando duas vezes o tetraedro. 
Amostra X 2s 2Xs 
2)( µ\u2212X 
0 e 0 0 0 0 9 
0 e 2 1 2 1 4 
0 e 4 2 8 4 1 
0 e 6 3 18 9 0 
2 e 0 1 2 1 4 
2 e 2 2 0 0 1 
2 e 4 3 2 1 0 
2 e 6 4 8 4 1 
4 e 0 2 8 4 1 
4 e 2 3 2 1 0 
4 e 4 4 0 0 1 
4 e 6 5 2 1 4 
6 e 0 3 18 9 0 
6 e 2 4 8 4 1 
6 e 4 5 2 1 4 
6 e 6 6 0 0 9 
 
Verificamos que 
µ==\u22c5+\u22c5++\u22c5+\u22c5+\u22c5=
16
48
16
16
16
15
16
12
16
11
16
10)( KXE , 
Ou seja, X é um estimador não-tendencioso (não viesado, não-viciado ou imparcial) de 
µ . Isto pode ser facilmente demonstrado: 
=\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb +++
=
n
XXX
EXE n
K21)( 
µµ ==+++=
n
nXEXEXE
n
n )]()()([
1
21 K 
Verificamos, também, que 
22 5
16
80
16
10
16
12
16
18
16
12
16
10)( \u3c3===\u22c5\u22c5++\u22c5\u22c5+\u22c5= KsE , 
ou seja, 2s é um estimador não-tendencioso de 2\u3c3 . 
A variância da média da amostra pode ser obtida através da expressão 
 
 
 13 
2
5)(
2
2
===
n
XV X
\u3c3
\u3c3 
ou diretamente, a partir da definição, utilizando os valores da última coluna da tabela 
1.5, como segue: 
2
5
16
40
16
19
16
14 
16
19)()]([)( 22
==\u22c5++\u22c5+
+\u22c5=\u2212=\u2212=
K
µXEXEXEXV
 
Considerando os valores de 2Xs apresentados na tabela 1.5, verificamos que 
2
5
16
40
16
10
16
11
16
14
16
11
16
10)( 2 ==\u22c5+\u22c5++\u22c5+\u22c5+\u22c5= KXsE , 
ou seja, 2Xs é um estimador não-tendencioso de 2X\u3c3 . 
Devemos ressaltar que o exemplo apresentado refere-se a uma população 
infinita. As mesmas fórmulas serão válidas se, de uma população finita, tirarmos 
amostras com reposição dos elementos. 
Consideremos, agora, o caso de uma população finita (com m elementos) da 
qual se tiram amostras (de n elementos) sem reposição. 
A média da população é 
\u2211
=
==
m
i
iX
m
XE
1
1)(µ 
A variância de X é definida por (ver Cochran, 1965, p. 42) 
\u2211
=
\u2212
\u2212
==
m
i
iX
m
SXV
1
22 )(
1
1)( µ 
Demonstra-se que (ver Cochran, 1965, p. 44) 
\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\u2212==
m
n
n
SXV X 1)(
2
2\u3c3 
Dada uma amostra (sem reposição) de n elementos, uma estimativa não-
tendenciosa de µ é dada por 
 
 
 14 
n
X
X
n
i
i\u2211
=
=
1
 
As estimativas não-tendenciosas de 2S e 2X\u3c3 são dadas, respectivamente, por 
1
)(
1
2
2
\u2212
\u2212
=
\u2211
=
n
XX
s
n
i
i
 e \uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\u2212=
m
n
n
s
s X 1
2
2
 
Vejamos um exemplo numérico simples, embora artificial. Seja uma população 
de apenas 4 elementos (m = 4), onde iX assume os valores 0, 2, 4 e 6. Temos que 
3
4
6420
=
+++
=µ 
e 
3
20
3
)36()34()31()30(
1
)( 222222
=
\u2212+\u2212+\u2212+\u2212
=
\u2212
\u2212\u2211
=
m
XS i µ 
Consideremos as 6
2
4
=\uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
 diferentes amostras de 2 elementos (n = 2) que 
podemos tirar dessa população. Essas amostras estão discriminadas na tabela 1.6, com 
os correspondentes valores de X , 2s , 2Xs e 
2)( µ\u2212X . 
TABELA 1.6. Valores de iX ,
22
,, XssX e 
2)( µ\u2212X para as 6 possíveis 
amostras de 2 elementos (sem reposição). 
Valores de iX X 
2s 2Xs 
2)( µ\u2212X 
0 e 2 1 2 1/2 4 
0 e 4 2 8 2 1 
0 e 6 3 18 9/2 0 
2 e 4 3 2 1/2 0 
2 e 6 4 8 2 1 
4 e 6 5 2 1/2 4 
 
Para amostras com n = 2 elementos, temos 
 
 
 15 
3
5
4
21
6
201)(
2
2
=\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\u2212=\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\u2212==
m
n
n
SXV X\u3c3 
O mesmo resultado pode ser obtido a partir da definição de variância, utilizando 
os valores da última coluna da tabela 1.6. Como as 6 diferentes amostras são igualmente 
prováveis, temos 
3
5
6
10
6
410014)( 22 ==+++++=\u2212= µ\u3c3 XEX 
Verificamos que: 
3
6
18)521(
6
1)( ==+++= KXE , 
ou seja, µ=)(XE 
3
20
6
40)282(
6
1)( 2 ==+++= KsE , 
ou seja, 22 )( SsE = 
3
5
2
20
6
1
2
12
2
1
6
1)( 2 =\u22c5=\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
+++= KXsE 
ou seja, 22 )( XXsE \u3c3= 
 
1.7. Estimador de variância mínima 
A não-tendenciosidade ou ausência de viés é uma qualidade desejável para os 
estimadores. Entretanto, essa qualidade é insuficiente como critério para selecionar um 
estimador. Assim, por exemplo, no caso da média de uma população, podemos verificar 
que qualquer média ponderada dos valores de uma amostra é um estimador não 
tendencioso de µ . 
Consideremos a média ponderada 
\u2211
=
=
n
i
ii Xm
1
pi , com 1=\u2211 ipi 
 
 
 16 
Temos que 
µpiµpi =\u2211=\u2211= iii XEmE )()( 
Isso mostra que qualquer média ponderada dos valores observados em uma 
amostra aleatória é um estimados não tendencioso de µ . Portanto, existem infinitos 
estimadores não-tendenciosos de µ . 
Dados dois estimadores não-tendenciosos de \u3b1 , 1a e 2a , por definição a 
eficiência relativa de 2a , em comparação com 1a , é igual a 
)(
)(
2
1
aV
aV
 
Assim, por exemplo, dada uma amostra aleatória com 2 elementos, 1X e 2X , de 
uma população infinita, consideremos 2 estimadores não-tendenciosos da média da 
população: 
a) a média aritmética 2121 2
1
2
1
2
XX
XX
X +=
+
= e 
b) a média ponderada 21 4
3
4
1 XXm += 
Temos 
2
)(
2\u3c3
=XV 
e 
222
8
5
16
9
16
1)( \u3c3\u3c3\u3c3 =+=mV 
A eficiência de m em relação a X é 
8,0
5
4
8
5
2
1
2
2
==
\u3c3
\u3c3
 ou 80% 
 
 
 17 
É fácil provar que, dada uma amostra com 2 observações ) e ( 21 XX , dentre os 
estimadores da classe 
21 )1( XXm \u3b8\u3b8 \u2212+= , 
o mais eficiente é a média aritmética, ou seja, o caso em que 
2
1
=\u3b8 . 
Temos 
222222 )221()1()( \u3c3\u3b8\u3b8\u3c3\u3b8\u3c3\u3b8 +==\u2212+=mV 
Igualando a zero a derivada em relação a \u3b8 e simplificando, obtemos 
042 =+\u2212 \u3b8 
Donde 
2
1
=\u3b8 
A derivada segunda é positiva, confirmando que a variância é mínima quando 
2
1
=\u3b8 . 
Generalizando esse resultado, demonstraremos que, dada uma variável aleatória 
X de população infinita com média µ e variância 2\u3c3 , a média aritmética de uma 
amostra aleatória de n observações é, dentre os estimadores lineares não-tendenciosos, o 
estimador de variância mínima. 
Dizemos que um estimador é linear quando ele é uma combinação linear dos 
valores da amostra. Como exemplo, consideremos o seguinte estimador linear de µ : 
\u2211
=
=
n
i
ii Xm
1
pi 
Temos que 
imE piµ \u2211=)( 
 
 
 18 
Para que m seja estimador não-tendencioso de µ , devemos ter 
1=\u2211 ipi 
Temos, também, que 
22)( imV pi\u3c3 \u2211= 
Para minimizar )(mV devemos minimizar 2ipi\u2211 , considerando a restrição 
1=\u2211 ipi . Utilizando o método do multiplicador de Lagrange, definimos a função 
( )12 \u2212\u2211\u2212\u2211= ii pi\u3bbpi\u3c6 
Igualando a zero as derivadas parciais em relação a \u3bbpi e i , obtemos o sistema 
de equações 
02 =\u2212 \u3bbpi i , i = 1, 2, ..., n (1.1) 
1=\u2211 ipi (1.2) 
De (1.1),
Annanda
Annanda fez um comentário
salvou meu TCC! obrigada!
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Douglas
Douglas fez um comentário
Muito obrigado por compartilhar!
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