Livro Analise de regressão
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Y
X
Yb
i
i
=
\u2211
\u2211
= 
6.5. 
21
1
n
X
X
YnYX
X
a
i
i
iii
i
\u2212\u2211\u2211
\u2211\u2212\u2211\u2211
= 
X Y 
3 10 
4 10 
6 19 
7 17 
8 17 
 
 
 
 274
 
21
n
X
X
YXnYXb
i
i
iiii
\u2212\u2211\u2211
\u2211\u2212\u2211\u2211
= 
6.6. 
i
i
i
X
X
Y
a 1
\u2211
\u2211
= , 
iX
aV 1)(
2
\u2211
=
\u3c3
 
6.7. a) b = 3 
b) t = 14,61, significativo ( 0t = 9,925) 
6.8. 4,21 =\u2211=
i
i
X
Y
n
b 
6.9. a) 3 
b) a = 3 e b = \u20132 
c) 1 e 0,4 
d) t = \u20134,209, não-significativo ( 0t = 4,303). 
6.10. a) ZXXYE )5()( \u2212+= \u3b3\u3b2 , com Z = 0 para 5\u2264X e Z = 1 para X > 5. Estimativas 
dos parâmetros: b= 3 e c = \u20132 
 b) 33,32 =s 
 c) t = \u20131,601, não-significativo (Região de rejeição: t \u2264 \u20131,638). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 275
7. MÍNIMOS QUADRADOS GENERALIZADOS E AUTOCORRELAÇÃO NOS 
RESÍDUOS 
7.1. Mínimos quadrados generalizados 
No capítulo anterior estudamos o procedimento a ser usado quando há 
heterocedasticia, mas admitimos que as covariâncias entre erros de diferentes observações 
eram todas iguais a zero, fazendo com que a matriz de variâncias e covariâncias do vetor 
de erros u fosse uma matriz diagonal. Neste capítulo vamos analisar o caso mais geral, em 
que se admite que haja covariâncias positivas ou negativas entre erros de diferentes 
observações. 
Para isso, consideremos o modelo 
 uX\u3b2y += (7.1) 
com 0u =)(E e 2)( \u3c3Vuu =\u2032E , 
onde V é uma matriz n × n, simétrica e definida positiva. Então 1\u2212V também é simétrica e 
definida positiva e existe uma matriz \u39b tal que 
 
1\u2212
=\u2032 V\u39b\u39b (7.2) 
Pré-multiplicando (7.1) por \u39b , obtemos 
 \u39bu\u39bX\u3b2\u39by += (7.3) 
Para o modelo de regressão (7.3), de \u39by contra \u39bX , com \u39bu\u3b5 = , temos 
 0\u3b5 =)(E 
e 
 =\u2032\u2032=\u2032 )()( \u39bu\u39bu\u3b5\u3b5 EE 
 
2\u3c3\u39b\u39bV \u2032= = 
 
21)( \u3c3\u39b\u39b\u39b\u39b \u2032\u2032= \u2212 = 
 
2211 )( \u3c3\u3c3 I\u39b\u39b\u39b\u39b =\u2032\u2032= \u2212\u2212 
Podemos, portanto, aplicar ao modelo (7.3), de regressão de \u39by contra \u39bX , as 
expressões conhecidas, obtendo 
 
 
 276
 ,)()( 111 yVXXVX\u39by\u39bX\u39bX\u39bXb 1 \u2212\u2212\u2212\u2212 \u2032\u2032=\u2032\u2032\u2032\u2032= (7.4) 
que é o estimador linear não-tendencioso de variância mínima de \u3b2 . 
A matriz de variâncias e covariâncias de b é 
 
21121 )()( \u3c3\u3c3 \u2212\u2212\u2212 \u2032=\u2032\u2032 XVX\u39bX\u39bX (7.5) 
A estimativa não-tendenciosa de 2\u3c3 é 
 
pn
s
\u2212
\u2032\u2032
\u2212
\u2032
=
\u2212\u2212 yVXbyVy 112
 (7.6) 
De maneira geral, as expressões relativas ao modelo básico de regressão múltipla 
são facilmente generalizadas, bastando substituir X por \u39bX e y por \u39by , e lembrar que 
1\u2212
=\u2032 V\u39b\u39b . 
Entretanto, no caso de os erros serem correlacionados, isto é, de V ser não-
diagonal, as expressões relativas à predição (estimação de novos valores) são afetadas de 
maneira mais complicada, já que é possível, então, que o erro da nova observação esteja 
correlacionado com os erros das observações da amostra. 
Admitamos que seja calculado, incorretamente, o estimador de mínimos quadrados 
ordinários 
 yXXXb \u2032\u2032= \u22121
*
)( 
Considerando (7.1), obtemos 
 =+\u2032\u2032= \u2212 )()( 1
*
u\u3b2XXXXb 
 uXXX\u3b2 \u2032\u2032+= \u22121)( (7.7) 
Então \u3b2b =)(
*
E , isto é, o estimador de mínimos quadrados ordinários é não-
tendencioso. 
Com IV \u2260 , entretanto, yXXXb \u2032\u2032= \u22121
*
)( é um estimador ineficiente, já que o 
estimador linear não-tendencioso de variância mínima é dado por (7.4). 
 
 
 277
De (7.7) obtemos 
 uXXX\u3b2b \u2032\u2032=\u2212 \u22121
*
)( 
Segue-se que 
 =\u2032\u2032\u2032\u2032=\u2032\u2212\u2212
\u2212\u2212 ])()[(]))([( 11
**
XXXuuXXX\u3b2b\u3b2b EE 
 
211 )()( \u3c3\u2212\u2212 \u2032\u2032\u2032= XXVXXXX (7.8) 
Variâncias e covariâncias obtidas a partir da expressão 21)( \u3c3\u2212\u2032XX estariam, 
portanto, erradas se IV \u2260 . 
Quem estivesse, erroneamente, aplicando mínimos quadrados ordinários utilizaria, 
como estimativa da variância residual, o valor dado por 
 
pn
s
\u2212
\u2032\u2032
\u2212
\u2032
=
yXbyy
*2
*
 (7.9) 
Sabemos que MuuyXbyy \u2032=\u2032\u2032\u2212\u2032
*
, com XXXXIM \u2032\u2032\u2212= \u22121)( 
Então 
 =\u2032=\u2032=\u2032\u2032\u2212\u2032 )](tr[)()(
*
MuuMuuyXbyy EEE 
 ==\u2032= )(tr)](tr[ 2 MVuMu \u3c3E 
 =\u2032\u2032\u2212=
\u2212 ]})([tr)tr({ 12 VXXXXV\u3c3 
 ]})([tr)tr({ 12 \u2212\u2032\u2032\u2212= XXVXXV\u3c3 (7.10) 
Uma vez que, com IV \u2260 , teremos, normalmente, \u2260\u2032\u2032\u2212 \u2212 ])([tr)tr( 1XXVXXV n \u2013 p, 
a expressão (7.9) dará uma estimativa tendenciosa da variância 2\u3c3 . 
Note que o método de mínimos quadrados ponderados, estudado no capítulo 
anterior, é um caso particular de mínimos quadrados generalizados, em que a matriz V é 
diagonal. Aliás, o modelo estudado no capítulo 4 também pode ser encarado como o caso 
particular em que V = I. 
A matriz simétrica V tem n(n + 1)/2 elementos possivelmente distintos que 
precisamos conhecer, para poder aplicar as fórmulas (7.4) e (7.6). Em aplicações práticas 
do método de mínimos quadrados generalizados, comumente há restrições que tornam 
viável a determinação da matriz V. Na próxima seção vamos examinar uma aplicação de 
 
 
 278
mínimos quadrados generalizados na qual todos os elementos de V são função de um único 
parâmetro. 
 
7.2. Autocorrelação nos resíduos 
Para ilustrar o problema da autocorrelação, consideremos o modelo 
 uX\u3b2y += ou titi
k
i
t uXY +\u2211=
=
\u3b2
0
, (t = 1, ..., n) (7.11) 
com 
 ttt uu \u3b5\u3c1 += \u22121 (7.12) 
Admitimos que 11 \u2264\u2264\u2212 \u3c1 e que t\u3b5 é um ruído branco, isto é, uma série com as 
seguintes propriedades: 
 0)( =tE \u3b5 , 
 
22 )( \u3b5\u3c3\u3b5 =tE , 
 0)( =
\u2212httE \u3b5\u3b5 se h \u2260 0 
Para que o modelo (7.11) tenha um termo constante devemos ter 10 =tX para 
t = 1, ..., n. 
Aqui utilizamos a letra t para indicar o índice associado às diferentes observações 
porque o problema da autocorrelação dos resíduos surge, geralmente, quando estamos 
trabalhando com séries cronológicas de dados; então cada observação corresponde a um 
certo período de tempo (ano, mês ou semana, geralmente). 
A relação (7.12) mostra que estamos admitindo que o erro da observação relativa a 
um período está correlacionado com o erro da observação anterior. Se \u3c1 > 0 dizemos que 
os erros estão positivamente autocorrelacionados e se \u3c1 < 0 dizemos que há autocorrelação 
negativa. 
Se \u3c1 = 0 teremos, obviamente, o modelo de regressão linear múltipla estudado no 
capítulo 4, isto é, podemos aplicar mínimos quadrados ordinários. 
Consideremos, inicialmente, o caso particular em que \u3c1 = 1. Então 
 ttt uu \u3b5+= \u22121 
ou 
 ttt uu \u3b5=\u2212 \u22121 (7.13) 
 
 
 279
De (7.11) podemos obter 
 11,
0
1 ( \u2212\u2212
=
\u2212
\u2212+\u2212\u2211=\u2212 tttiiti
k
i
tt uuXXYY \u3b2 (t = 2, ..., n) 
Considerando (7.13), segue-se que 
 ttiiti
k
i
tt XXYY \u3b5\u3b2 +\u2212\u2211=\u2212 \u2212
=
\u2212
)( 1,
0
1 (t = 2, ..., n) (7.14) 
Como os erros t\u3b5 têm média zero, são não-correlacionados e homocedásticos, 
podemos aplicar, para o modelo (7.14), as fórmulas de mínimos quadrados ordinários. 
Note que no modelo (7.14) a variável dependente é 1\u2212\u2212= ttt YYY\u2206 , as variáveis 
explanatórias são 1, \u2212\u2212= tXXX iitit\u2206 (i = 0, ..., k) e o número de observações se reduz a 
n \u2013 1. Note que, se houver um termo constante no modelo original 1( 0 =tX para todo t), 
ele desaparece na equação (7.14). O modelo (7.14) terá um termo constante somente se 
uma das variáveis explanatórias do modelo original (7.11) for igual a t. 
É fácil verificar que, para 1\u2212=\u3c1 , obteríamos o modelo 
 ttiiti
k
i
tt XXYY \u3b5\u3b2 ++\u2211=+ \u2212
=
\u2212
)( 1,
0
1 
Consideremos, agora, que 11 <<\u2212 \u3c1 , ou seja, 1|| <\u3c1 . 
Utilizando (7.12) sucessivamente, obtemos 
 =+=
\u2212 ttt uu \u3b5\u3c1 1 
 
rt
r
t
tttt
tttt
ttt
ttt
u
u
u
\u2212
\u221e
=
\u2212\u2212\u2212
\u2212\u2212\u2212
\u2212\u2212
\u2212\u2212
\u2211=
=++++=
==
=+++=
=++=
=++=
\u3b5\u3c1
\u3b5\u3c1\u3b5\u3c1\u3c1\u3b5\u3b5
\u3b5\u3c1\u3b5\u3b5\u3c1\u3c1
\u3b5\u3c1\u3b5\u3c1
\u3b5\u3b5\u3c1\u3c1
0
3
3
2
2
1
12
2
3
3
12
2
12 )(
K
L 
Então 
 0)( =tuE , (7.15) 
 =++++= 26422 )1()( \u3b5\u3c3\u3c1\u3c1\u3c1 KtuE 
 
2
2
2
1 u
\u3c3
\u3c1
\u3c3 \u3b5
=
\u2212
= (7.16) 
 
 
 280
e, com h \u2265 0, 
 =
\u2212
)( httuuE 
 =++++++=
\u2212\u2212\u2212\u2212\u2212\u2212\u2212
)])([( 221221 KK hththttttE
Annanda
Annanda fez um comentário
salvou meu TCC! obrigada!
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Douglas
Douglas fez um comentário
Muito obrigado por compartilhar!
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