APOSTILA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
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APOSTILA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II


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com 1.11.1,
46
temos que
V = pi
\u222b 2
\u22121
(x+ 2)2dx\u2212 pi
\u222b 2
\u22121
(
x2
)2
dx
= pi
\u222b 2
\u22121
(x2 + 4x+ 4\u2212 x4)dx
= pi
(
1
3
x3 + 2x2 + 4x\u2212 1
5
x5
) \u2223\u2223\u2223\u2223\u2223
2
\u22121
=
72
5
pi u.v.
EXEMPLO 1.11.4 Encontre o volume do sólido de revolução gerado pela rotação da curva
(x\u2212 2)2 + y2 = 1 em torno do eixo y.
Solução: Observe na Figura 1.44 a circunferência geratriz do sólido.
y
1
1 2 3-1
-1
x
Figura 1.44: circunferência (x\u2212 2)2 + y2 = 1
Isolando a variável x na equação da circunferência, obtemos
(x\u2212 2)2 = 1\u2212 y2 \u21d2 x = 2±\u221a1\u2212 y2
Observe que o volume do sólido desejado é formado pelo volume obtido pela rotação da
curva x = 2 +
\u221a
1\u2212 y2 em torno do eixo y, menos o volume obtido pela rotação da curva
x = 2\u2212\u221a1\u2212 y2. Portanto, o volume desejado é igual a
V = V1 \u2212 V2,
onde
V1 = pi
\u222b 1
\u22121
(2 +
\u221a
1\u2212 y2)2dy
e
V2 = pi
\u222b 1
\u22121
(2\u2212
\u221a
1\u2212 y2)2dy
ou seja,
V = pi
\u222b 1
\u22121
[(2 +
\u221a
1\u2212 y2)2 \u2212 (2\u2212
\u221a
1\u2212 y2)2]dy = pi
\u222b 1
\u22121
8
\u221a
1\u2212 y2dy.
Para resolver esta integral, utilizamos a substituição trigonométrica y = sin \u3b8, com dy =
cos \u3b8d\u3b8 e assim, obtemos que
47
V = pi
\u222b pi
2
\u2212pi
2
8
\u221a
1\u2212 sin2 \u3b8 cos \u3b8d\u3b8
= 8pi
\u222b pi
2
\u2212pi
2
cos2 \u3b8d\u3b8 = 4pi
\u222b pi
2
\u2212pi
2
(1 + cos 2\u3b8)d\u3b8
= pi[4\u3b8 + 2 sin (2\u3b8)]
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223
pi
2
\u2212pi
2
= 4pi2.
Portanto, o volume desejado é igual a 4pi2 unidades de volume.
1.11.5 Rotação em torno de uma Reta Paralela a um Eixo Coorde-
nado
Até agora consideremos somente sólidos gerados por rotações de curvas em torno de um
dos eixos coordenados, onde y = f(x) ou x = g(y) eram os raios dos cilindros de revolução
(elementos de volume).
No caso mais geral, podemos rotacionar a curva y = f(x), com x \u2208 [a, b], em torno da
reta y = c, de acordo com a Figura a 1.45.
y
r
y=c
y=f(x)
xba
y
r
y=c
y=f(x)
x
z
ba
Figura 1.45: Sólido obtido pela rotação y = f(x) em torno da reta y = c
Neste caso, o raio do cilindro in\ufffdnitesimal é igual à distância entre a curva e o eixo de
revolução, ou seja, é dado por
r = c\u2212 f(x)
e o volume do sólido resultante é dado por
V = pi
\u222b b
a
(c\u2212 f(x))2dx.
De forma semelhante, se a curva x = g(y), com y \u2208 [a, b], for rotacionada em torno da
reta x = c, o volume do sólido resultante é dado por
V = pi
\u222b b
a
(c\u2212 g(y))2dy.
Note que quando c = 0 temos novamente a revolução em torno dos eixos coordenados.
48
EXEMPLO 1.11.6 Calcule o volume do sólido obtido quando a porção da pará bola y = 2\u2212 x2
que está situada acima do eixo x é rotacionada em torno da reta y = 3.
Solução: Na Figura 1.46 podemos observar a curva geratriz, o eixo de revolução e o sólido
de revolução obtido.
y
x
y
x
z
Figura 1.46: Curva geratriz e sólido de revolução obtido pela rotação de y = 2\u2212x2 em torno
de y = 3.
Como rotacionamos em torno de uma reta paralela ao eixo das abscissas, devemos efetuar
a integração em relação a x. O intervalo de integração, de\ufffdnido aqui pela parte da parábola
situada acima do eixo x, é descrito por x \u2208 [\u2212\u221a2,\u221a2].
Já o raio de rotação, dado pela distância entre a curva e o eixo de rotação, é dado por
r = 3\u2212 (2\u2212 x2) = 1 + x2
e assim, o volume desejado é dado por
V = pi
\u222b \u221a2
\u2212\u221a2
(1 + x2)2dx = pi
\u222b \u221a2
\u2212\u221a2
(1 + 2x2 + x4)dx =
94
15
\u221a
2pi.
EXEMPLO 1.11.7 Escreva as integrais que permitem calcular o volume do sólido obtido quando
a região situada entre as curvas y = x2 e y = 2x é rotacionada em torno:
(a) do eixo y; (b) da reta y = 5; (c) da reta x = 2.
Solução: A região a ser rotacionada está representada na Figura 1.47.
y
x
Figura 1.47: Região a ser rotacionada
As interseções entre as curvas são dadas por
49
x2 = 2x \u21d2 x(x\u2212 2) = 0 \u21d2 x = 0, x = 2 \u21d2 y = 0, y = 4.
No item (a), rotacionamos em torno do eixo das ordenadas e, por isso, devemos tomar a
integração em relação a y. Como o só lido resultante será vazado, devemos tomar a diferença
entre os volumes dos sólidos externo e interno.
O raio externo, de\ufffdnido pela parábola, é dado por x =
\u221a
y. O raio interno é de\ufffdnido pela
reta e é dado por x =
y
2
. Assim, o volume desejado é calculado pela integral
V = pi
\u222b 4
0
(
\u221a
y)2 \u2212 pi
\u222b 4
0
(
y
2
)2dy = pi
\u222b 4
0
(
y \u2212 y
2
4
)
dy.
Já no item (b), como rotacionamos em torno de uma reta paralela ao eixo das abscissas,
devemos tomar a integração em relação a x. Novamente o sólido resultante será vazado e
devemos tomar a diferença entre os volumes dos sólidos externo e interno.
O raio externo, de\ufffdnido pela distância entre a parábola e o eixo de rotação, é dado por
r = 5 \u2212 x2 e o raio interno, de\ufffdnido pela distância entre a reta e o eixo de rotação, é dado
por r = 5\u2212 2x. O volume do novo sólido é calculado pela integral
V = pi
\u222b 2
0
(5\u2212 x2)2dx\u2212 pi
\u222b 2
0
(5\u2212 2x)2dx
= pi
\u222b 2
0
(25\u2212 10x2 + x4)\u2212 (25\u2212 20x+ 4x2)dx
= pi
\u222b 2
0
(\u221214x2 + x4 + 20x)dx.
Por \ufffdm, como no item (c) rotacionamos em torno de uma reta paralela ao eixo das
ordenadas, devemos tomar a integração em relação a y. Mais uma vez devemos tomar a
diferença entre os volumes dos sólidos externo e interno.
O raio externo, neste caso, é de\ufffdnido pela reta e é dado por r = 2\u2212 y
2
e o raio interno,
agora de\ufffdnido pela parábola, é dado por r = 2\u2212\u221ay.
Assim, o último volume desejado é calculado pela integral
V = pi
\u222b 4
0
(2\u2212 y
2
)2dy \u2212 pi
\u222b 4
0
(2\u2212\u221ay)2dy
= pi
\u222b 4
0
(4\u2212 2y + y
2
4
)\u2212 (4\u2212 4\u221ay + y)dy
= pi
\u222b 4
0
(\u22123y + y
2
4
+ 4
\u221a
y)dy.
EXEMPLO 1.11.8 Seja R a região sob o grá\ufffdco de f(x) =
1\u221a
x
e acima do eixo x com x \u2208 [0, 4].
Determine:
(a) a área da região R, se existir;
(b) o volume do sólido obtido pela rotação da região R em torno do eixo x, se existir.
(c) o volume do sólido obtido pela rotação da região R em torno do eixo y, se existir.
50
Solução (a):
A =
\u222b 4
0
1\u221a
x
dx = lim
a\u21920+
\u222b 4
a
x\u2212
1
2 dx = lim
a\u21920+
2
\u221a
x
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223
4
a
= lim
a\u21920+
(2
\u221a
4\u2212 2\u221aa) = 2u.a.
Solução (b):
V = pi
\u222b 4
0
(
1\u221a
x
)2
dx = pi lim
a\u21920+
\u222b 4
a
1
x
dx = pi lim
a\u21920+
ln x
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223
4
a
= lim
a\u21920+
(ln 4\u2212 ln a) = +\u221e
Portanto o sólido obtido não tem volume \ufffdnito.
Solução (c):
V = pi
\u222b 1
2
0
(4)2 dy + pi
\u222b +\u221e
1
2
(
1
y2
)2
dy = pi · 16 · 1
2
+ pi lim
b\u2192+\u221e
\u222b b
1
2
y\u22124 dy
= 8pi + pi lim
b\u2192+\u221e
(
\u2212 1
3x3
) \u2223\u2223\u2223\u2223\u2223
b
1
2
= 8pi + pi lim
b\u2192+\u221e
(
\u2212 1
3b3
+
8
3
)
=
32pi
3
u.v.
51
1.12 Exercícios Gerais
1. Dadas as funções f, g : [1, 3]\u2192 R de\ufffdnidas por f (x) = x+2 e g (x) = x2 + x encontre
S (f, P ) e S (g, P ) .
2. Dada a função f : [\u22122, 5]\u2192 R de\ufffdnida por f (x) = x2 + 2 encontre S(f, P ) .
3. Determine as expressões para a soma superior e para a soma inferior de f(x) =
5\u2212 x2, considerando x \u2208 [1, 2].
4. Utilize somas superiores para calcular a área da região situada entre as curvas y =
x4 + 2, x = 0, x = 1 e y = 0.
5. Utilize a de\ufffdnição de integral de\ufffdnida para calcular
\u222b 3
1
(x2 \u2212 2x)dx. (Observe que é
preciso provar que a função é integrável.)
6. Utilize soma de áreas de retângulos circunscritos para calcular
\u222b 4
0
(\u2212x2 \u2212 1)dx.
7. Utilize soma de áreas de retângulos circunscritos para determinar a área sob o grá\ufffdco
de f(x) = x3 + 1, para x \u2208 [0, b], onde b > 0 é arbitrário.
8. Calcule, usando somas superiores, a área da região situada entre o grá\ufffdco de f(x) = ex
e o eixo x, entre as retas x = \u22121 e x = 2.
9. Utilize somas inferiores para calcular a área da região situada entre a curva x = y2 e
o eixo y, com y \u2208 [0, 2].
10. Considere f : [a, b]\u2192 R uma função contínua. Mostre que:
(a) Se f é uma função par, então
\u222b a
\u2212a f(x)dx = 2
\u222b a
0
f(x)dx.
(b) Se f é uma função ímpar, então
\u222b a
\u2212a f(x)dx