APOSTILA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
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APOSTILA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II


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V (x, y) = xyc.
Também é possível variar as três dimensões simultaneamente e, nesse caso tomando z = c
o volume do paralelepípedo será expresso como uma função de três variáveis x, y e z, isto é,
V (x, y, z) = xyz.
A função V (x, y, z) é de\ufffdnida para toda tripla de pontos pertencentes ao espaço R3 e a
imagem é um número real. O convencional é escrever V : R3 \u2192 R. Vejamos um exemplo
que envolve mais do que três variáveis.
EXEMPLO 2.1.1 Suponhamos que uma pessoa vá a um supermercado e a nota de compras seja
descrita conforme o modelo abaixo.
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Nota de compras
Produtos Unidades Preço por unidade Total
Leite 2 pacotes 1,00 2,00
Pão 10 0,10 1,00
Laranja 2kg 0,50 1,00
Maçã 2kg 2,50 5,00
Açúcar 5kg 0,60 3,00
Total a pagar 12,00
Suponhamos que as variáveis x, y, z, w e t representem, respectivamente, leite, pão,
laranja, maçã e açúcar, então podemos escrever a função "total a pagar\ufffd por
T (x, y, z, w, t) = x+ 0, 1y + 0, 5z + 2, 5w + 0, 6t.
A função T é uma função de cinco variáveis. Para encontrar o total a pagar referente a
tabela anterior, fazemos
T (2, 10, 2, 2, 5) = 2 + 0, 1 (10) + 0, 5 (2) + 2, 5 (2) + 0, 6 (5)
= 2 + 1 + 1 + 5 + 3 = 12.
A função T (x, y, z, w, t) é de\ufffdnida para todo ponto (x, y, z, w, t) \u2208 R5. O convencional é
escrever T : R5 \u2192 R.
Note que, em todos os exemplos acima, a imagem da função é um número real. Com
base nesses exemplos vamos de\ufffdnir funções de várias variáveis.
2.2 Função de Várias Variáveis
DEFINIÇÃO 2.2.1 Seja D um subconjunto de Rn e seja (x1, x2, x3, · · · , xn) \u2208 D. Se a cada
n\u2212upla ordenada pertencente a D corresponder um único número real f (x1, x2, x3, · · · , xn) ,
dizemos que f é uma função de n\u2212variáveis, de\ufffdnida em D com imagem em R. O subcon-
junto D é chamado domínio de f. Convencionalmente escreve-se f : D \u2282 Rn \u2192 R.
EXEMPLO 2.2.2 Vejamos alguns exemplos de funções de várias variáveis:
(a) f : D \u2282 R2 \u2192 R de\ufffdnida por f (x, y) = 2x+ 3y + 1.
(b) f : D \u2282 R3 \u2192 R de\ufffdnida por f (x, y, z) = x2 + y + z + 6.
(c) f : D \u2282 R4 \u2192 R de\ufffdnida por f (x, y, z, w) = x2 + y2 + z + w + 6.
(d) f : D \u2282 R5 \u2192 R de\ufffdnida por f (x, y, z, w, t) = x2 + y2 + z + w + t2 + 6.
EXEMPLO 2.2.3 A função z = f(x, y) =
1\u221a
y \u2212 x é uma função de duas variáveis, cujo
domínio é D = {(x, y) \u2208 R2 tal que y > x}. Geometricamente, D é formado por todos os
pontos do plano xy que estão situados "acima"da reta y = x. Já a função w = f(x, y, z) =
(x2+y2+z2)\u2212
1
2
é uma função de três variáveis cujo domínio são todos os pontos (x, y, z) \u2208 R3
para os quais x2 + y2 + z2 6= 0, ou seja, todos os ponto de R3, com exceção da origem.
EXEMPLO 2.2.4 A temperatura em um ponto (x, y) de uma placa de metal plana é dada por
T (x, y) = x2 + 4y2 graus.
(a) Determine a temperatura no ponto (3, 1).
(b) Determine e represente geometricamente a curva ao longo da qual a temperatura tem
um valor constante igual a 16 graus.
Solução: (a) Temos que T (3, 1) = 32 + 4 = 13 graus.
(b) A curva desejada tem equação T (x, y) = 16, ou seja, x2 + 4y2 = 16, que nos fornece a
elipse
x2
16
+ y
2
4
= 1, representada na Figura 2.1.
70
y
x
Figura 2.1: 16 graus ao longo da elipse.
2.2.5 Grá\ufffdco de uma Função de Várias Variáveis
DEFINIÇÃO 2.2.6 Seja f : D \u2282 Rn \u2192 R uma função de n variáveis. De\ufffdnimos o grá\ufffdco
de f como o subconjunto de Rn+1 formado por todos os pontos da forma
(x1, x2, · · · , xn, f(x1, x2, · · · , xn)) \u2282 Rn+1,
onde (x1, x2, · · · , xn) \u2208 Rn.
No caso n = 2, o grá\ufffdco de f é uma superfície em R3. Quando n \u2265 3, não é mais possível
visualizar o grá\ufffdco de f, pois este será um subconjunto de R4.
EXEMPLO 2.2.7 O grá\ufffdco de f (x, y) = 9 \u2212 x2 \u2212 y2 é um parabolóide, conforme mostra a
Figura 2.2.
Figura 2.2: Parabolóide z = f(x, y) = 9\u2212 x2 \u2212 y2
A equação de uma superfície pode ser escrita na forma implícita ou explícita, em função
de duas variáveis, isto é, F (x, y, z) = 0 ou z = f(x, y).
EXEMPLO 2.2.8 A equação da esfera centrada na origem pode ser escrita como segue
\u2022 Implicitamente: x2 + y2 + z2 \u2212R2 = 0.
\u2022 Explicitamente em função de x e y, com z = ±\u221aR2 \u2212 x2 \u2212 y2.
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Representação Grá\ufffdca de uma Superfície
Para representar gra\ufffdcamente uma superfície procede-se como segue:
1. Determina-se as interseções com os eixos cartesianos determinando os pontos
(x, 0, 0), (0, y, 0) e (0, 0, z).
2. Determina-se os traços das superfícies sobre os planos coordenados
(a) xy fazendo z = 0 na equação da superfície;
(b) xz fazendo y = 0 na equação da superfície;
(c) yz fazendo x = 0 na equação da superfície.
3. Determina-se as simetrias
(a) em relação aos planos coordenados
\u2022 Uma superfície é simétrica em relação ao plano xy se para qualquer ponto P (x, y, z)
existe um ponto P \u2032(x, y,\u2212z);
\u2022 Uma superfície é simétrica em relação ao plano xz se para qualquer ponto P (x, y, z)
existe um ponto P \u2032(x,\u2212y, z);
\u2022 Uma superfície é simétrica em relação ao plano yz se para qualquer ponto P (x, y, z)
existe um ponto P \u2032(\u2212x, y, z).
(b) em relação aos eixos coordenados
\u2022 Uma superfície é simétrica em relação ao eixo x se para qualquer ponto P (x, y, z)
existe um ponto P \u2032(x,\u2212y,\u2212z);
\u2022 Uma superfície é simétrica em relação ao eixo y se para qualquer ponto P (x, y, z)
existe um ponto P \u2032(\u2212x, y,\u2212z);
\u2022 Uma superfície é simétrica em relação ao eixo z se para qualquer ponto P (x, y, z)
existe um ponto P \u2032(\u2212x,\u2212y, z).
(c) em relação à origem
\u2022 Uma superfície é simétrica em relação à origem se para qualquer ponto P (x, y, z)
existe um ponto P \u2032(\u2212x,\u2212y,\u2212z).
4. Secções e Extensão: Quando os traços principais não forem su\ufffdcientes para caracte-
rização da superfície, recorre-se a determinação de secções com planos paralelos aos
planos coordenados. Para isso fazemos
\u2022 z = k sendo k uma constante na equação F (x, y, z) = 0, isto é, teremos a equação
F (x, y, k) = 0 sobre o plano coordenado xy;
\u2022 y = k sendo k uma constante na equação F (x, y, z) = 0, isto é, teremos a equação
F (x, k, z) = 0 sobre o plano coordenado xz;
\u2022 x = k sendo k uma constante na equação F (x, y, z) = 0, isto é, teremos a equação
F (k, y, z) = 0 sobre o plano coordenado yz.
EXEMPLO 2.2.9 Esboçar geometricamente a superfície de equação
\u2212x
2
52
+
y2
42
\u2212 z
2
32
= 1.
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Solução: Vamos proceder conforme os passos listados acima.
1. Interseções com os eixos coordenados: Os pontos (x, 0, 0) e (0, 0, z) não são reais e o
ponto (0, y, 0) é duplo ou seja temos os pontos P (0, 4, 0) e P \u2032(0,\u22124, 0).
2. Traços sobre os planos coordenados
\u2022 Sobre o plano xy : Fazendo z = 0 tem-se a hipérbole \u2212x
2
52
+
y2
42
= 1 (Figura 2.3).
Figura 2.3: Traço sobre xy
\u2022 Sobre o plano xz : Fazendo y = 0 tem-se o conjunto vazio.
\u2022 Sobre o plano yz : Fazendo x = 0 tem-se a hipérbole y
2
42
\u2212 z
2
32
= 1 (Figura 2.4).
Figura 2.4: Traço sobre yz
3. Simetrias: Explicitamente, a equação \u2212x2
52
+ y
2
42
\u2212 z2
32
= 1 pode ser escrita como
y = 4
\u221a
1 +
x2
52
+
z2
32
ou y = \u22124
\u221a
1 +
x2
52
+
z2
32
logo, é simétrica em relação aos planos coordenados, aos eixos coordenados e à origem.
4. Secções e extensões: fazendo z = k, com k \u2208 R, obtemos uma família de hipérboles de
eixo real paralelo ao eixoy. Fazendo y = k, com k > 4 ou k < \u22124, obtemos uma família
de elipses. Fazendo x = k, com k \u2208 R, obtemos novamente uma família de hipérboles
de eixo real paralelo ao eixo y.
\u2022 Por exemplo, fazendo z = 3 temos a equação de uma hipérbole (Figura 2.5)
\u2212x
2
52
+
y2
42
\u2212 3
2
32
= 1 \u21d2 \u2212x
2
52
+
y2
42
= 2.
73
Figura 2.5: Traço sobre o plano z = 3.
\u2022 Por exemplo, fazendo y = ±8 temos a equação de elipses (Figura 2.6)
\u2212x
2
52
+
(±8)2
42
\u2212 z
2
32
= 1 \u21d2 \u2212x
2
52
\u2212 z
2
32
= \u22123 \u21d2 x
2
52
+
z2
32
= 3.
Figura 2.6: Traços sobre os planos y = ±8.
5. Construção da superfície. Os elementos fornecidos pela discussão