APOSTILA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
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APOSTILA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II


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(x,y)\u2192(0,0)
2xy
3
· y
2
x2 + y2
= 0.
2.4 Continuidade de uma Função de duas Variáveis
DEFINIÇÃO 2.4.1 Seja f : D \u2282 R2 \u2192 R uma função de duas variáveis e (x0, y0) \u2208 D.
Dizemos que f é contínua em (x0, y0) se satisfaz as condições:
(i) f (xo, yo) existe
(ii) lim
(x,y)\u2192(x0,y0)
f (x, y) existe
(iii) lim
(x,y)\u2192(x0,y0)
f (x, y) = f (x0, y0) .
EXEMPLO 2.4.2 Veri\ufffdque se a função f (x, y) =
{ xy
x2 + y2
se (x, y) 6= (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0)
é contínua
em (0, 0) .
Solução: Devemos veri\ufffdcar se f satisfaz as condições da De\ufffdnição 2.4.1.
(i) Como f (0, 0) = 0, a primeira condição está satisfeita.
(ii) Vimos no Exemplo 2.3.5 que lim
(x,y)\u2192(0,0)
xy
x2+y2
não existe. Portanto, a segunda condição
da De\ufffdnição 2.4.1 não é satisfeita.
Logo, f (x, y) não é contínua em (0, 0) .
83
EXEMPLO 2.4.3 A função de\ufffdnida por f(x, y) =
\uf8f1\uf8f2\uf8f3
x4 \u2212 (y \u2212 1)4
x2 + (y \u2212 1)2 se (x, y) 6= (0, 1)
0 se (x, y) = (0, 1)
é con-
tínua em (0, 1)?
Solução: Devemos veri\ufffdcar se f satisfaz as condições da De\ufffdnição 2.4.1.
(i) Como f(0, 1) = 0, a primeira condição está satisfeita.
(ii) Vamos veri\ufffdcar se lim
(x,y)\u2192(0,1)
f (x, y) existe e é igual a zero (se for diferente a função não
será contínua no ponto)
lim
(x,y)\u2192(0,1)
x4 \u2212 (y \u2212 1)4
x2 + (y \u2212 1)2 = lim(x,y)\u2192(0,1)
[x2 \u2212 (y \u2212 1)2][x2 + (y \u2212 1)2]
x2 + (y \u2212 1)2 = lim(x,y)\u2192(0,1)
[
x2 \u2212 (y \u2212 1)2] = 0.
(iii) Dos itens anteriores, segue que
lim
(x,y)\u2192(0,1)
f(x, y) = 0 = f(0, 1).
Portanto, a função f(x, y) dada é contínua no ponto (0, 1).
EXEMPLO 2.4.4 Veri\ufffdque se a função f (x, y) =
\uf8f1\uf8f2\uf8f3
3x2y
x2 + y2
se (x, y) 6= (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0)
é contínua em
(0, 0) .
Solução: Devemos veri\ufffdcar se f satisfaz as condições da De\ufffdnição 2.4.1.
(i) Como f (0, 0) = 0, a primeira condição está satisfeita.
(ii) Como vimos no Exemplo 2.3.6, lim
(x,y)\u2192(0,0)
3x2y
x2 + y2
= 0, a segunda condição está satisfeita.
(iii) Segue dos itens anteriores que
lim
(x,y)\u2192(0,0)
f(x, y) = f (0, 0) .
Portanto, as três condições da De\ufffdnição 2.4.1 estão satisfeitas. Logo, f (x, y) é contínua
em (0, 0) .
EXEMPLO 2.4.5 Utilize argumentos consistentes para determinar, se existir, o valor de b que
torne as funções de\ufffdnidas abaixo contínuas.
(a) f(x, y) =
{
x2y2
x4+y2
, se (x, y) 6= (0, 0)
b, se (x, y) = (0, 0)
.
(b) g(x, y) =
{
x3(y\u22125)2
2x7+3(y\u22125)4 , se (x, y) 6= (0, 5)
b, se (x, y) = (0, 5)
84
Solução (a) 1: Queremos determinar, se existe, lim
(x,y)\u2192(0,0)
f(x, y). Para tal, primeiro veri\ufffd-
caremos se por caminhos diferentes obtemos o mesmo valor numérico para este limite.
Considere o caminho C1 = {(x, y) \u2208 R2/ y = kx}
lim
(x,y)\u2212\u2192
C1
(0,0)
f(x, y) = lim
(x,kx)\u2192(0,0)
f(x, kx) = lim
x\u21920
[
x2(kx)2
x4 + (kx)2
]
= lim
x\u21920
[
k2x4
x2(x2 + k2)
]
= lim
x\u21920
[
k2x2
x2 + k2
]
= 0
Considere o caminho C2 = {(x, y) \u2208 R2/ y = kx2}
lim
(x,y)\u2212\u2192
C2
(0,0)
f(x, y) = lim
(x,kx2)\u2192(0,0)
f(x, kx2) = lim
x\u21920
[
x2k2x4
x4 + k2x4
]
= lim
x\u21920
[
k2x2
1 + k2
]
= 0
Como por C1 e C2 obtivemos o limite como sendo 0, há probabilidades que o limite exista.
Para con\ufffdrmar devemos mostrar que dado \ufffd > 0, existe \u3b4 > 0 de modo que
|f(x, y)| < \ufffd sempre que 0 < \u2016(x, y)\u2212 (0, 0)\u2016 < \u3b4.
Por propriedades modulares temos
|f(x, y)| =
\u2223\u2223\u2223\u2223 x2y2x4 + y2
\u2223\u2223\u2223\u2223 = x2y2x4 + y2 \u2264 x2(x4 + y2)x4 + y2 = x2 \u2264 x2 + y2 < \u3b42
assim, escolhendo \u3b4 =
\u221a
\ufffd, provamos usando a de\ufffdnição, que lim
(x,y)\u2192(0,0)
f(x, y) = 0. Portanto,
escolhendo b = 0 temos que a função f(x, y) é contínua em todos os pontos (x, y).
Solução (a) 2: Note que podemos escrever
lim
(x,y)\u2192(0,0)
f(x, y) = lim
(x,y)\u2192(0,0)
x2y2
x4 + y2
= lim
(x,y)\u2192(0,0)
x2
y2
x4 + y2
= lim
(x,y)\u2192(0,0)
x2 · lim
(x,y)\u2192(0,0)
y2
x4 + y2
Como lim
(x,y)\u2192(0,0)
x2 = 0 e
y2
x4 + y2
é uma função limitada numa vizinhança da origem, exceto
em (0, 0), temos que
lim
(x,y)\u2192(0,0)
f(x, y) = lim
(x,y)\u2192(0,0)
(
x2 · y
2
x4 + y2
)
= 0.
Portanto, escolhendo b = 0 temos que a função f(x, y) é contínua em todos os pontos
(x, y) \u2208 R2.
Solução (b): Queremos determinar, se existe, lim
(x,y)\u2192(0,5)
g(x, y). Para tal, primeiro veri\ufffd-
caremos se por caminhos diferentes obtemos o mesmo valor numérico para este limite.
Considere o caminho C1 = {(x, y) \u2208 R2/ y = kx+ 5}
lim
(x,y)\u2212\u2192
C1
(0,5)
g(x, y) = lim
(x,kx+5)\u2192(0,5)
g(x, kx+ 5) = lim
x\u21920
[
x3(kx)2
2x7 + 3(kx)4
]
= lim
x\u21920
[
k2x5
x4(2x3 + 3k2)
]
= lim
x\u21920
[
k2x
2x3 + 3k2
]
= 0
85
Considere o caminho C2 = {(x, y) \u2208 R2/ y = kx2 + 5}
lim
(x,y)\u2212\u2192
C2
(0,5)
g(x, y) = lim
(x,kx2+5)\u2192(0,5)
g(x, kx2 + 5) = lim
x\u21920
[
x3k2x4
2x7 + 3k2x8
]
= lim
x\u21920
[
k2
2 + 3k2x
]
=
k2
2
Como pelo caminho C2 obtivemos o valor do limite dependendo de k temos que para valores
distintos de k obtemos respostas distintas para o valor do limite, logo lim
(x,y)\u2192(0,5)
g(x, y) não
existe. Portanto, não existe b de modo que g(x, y) seja contínua no ponto (0, 5).
2.5 Derivadas Parciais
Seja z = f(x, y) uma função real de duas variáveis reais e seja (x0, y0) um ponto do
domínio de f. Fixando y0 podemos considerar a função de uma variável g(x) = f(x, y0). A
derivada desta função no ponto x = x0, quando existe, denomina-se derivada parcial de f,
em relação a x, no ponto (x0, y0) e indica-se por
\u2202f
\u2202x
(x0, y0) ou
\u2202z
\u2202x
(x0, y0).
Assim,
\u2202f
\u2202x
(x0, y0) = g
\u2032(x0) = lim
x\u2192x0
g(x)\u2212 g(x0)
x\u2212 x0
= lim
x\u2192x0
f(x, y0)\u2212 f(x0, y0)
x\u2212 x0
= lim
\u2206x\u21920
f(x0 +\u2206x, y0)\u2212 f(x0, y0)
\u2206x
De modo análogo, \ufffdxando x0 podemos considerar a função de uma variável h(y) =
f(x0, y). A derivada desta função no ponto y = y0, quando existe, denomina-se derivada
parcial de f, em relação a y, no ponto (x0, y0) e indica-se por
\u2202f
\u2202y
(x0, y0) ou
\u2202z
\u2202y
(x0, y0).
Assim,
\u2202f
\u2202y
(x0, y0) = h
\u2032(y0) = lim
y\u2192y0
h(y)\u2212 y(y0)
y \u2212 y0
= lim
y\u2192y0
f(x0, y)\u2212 f(x0, y0)
y \u2212 y0
= lim
\u2206y\u21920
f(x0, y0 +\u2206y)\u2212 f(x0, y0)
\u2206y
Assim, de\ufffdnimos
DEFINIÇÃO 2.5.1 Seja f : D \u2282 R2 \u2192 R uma função real de duas variáveis reais e (x, y) \u2208
D. As derivadas parciais \u2202f
\u2202x
e
\u2202f
\u2202y
de f em (x, y) são dadas por
\u2202f (x, y)
\u2202x
= lim
\u2206x\u21920
f (x+\u2206x, y)\u2212 f (x, y)
\u2206x
e
\u2202f (x, y)
\u2202y
= lim
\u2206y\u21920
f (x, y +\u2206y)\u2212 f (x, y)
\u2206y
.
86
EXEMPLO 2.5.2 Seja f (x, y) = x2y + xy2 encontre \u2202f(x,y)
\u2202x
e
\u2202f(x,y)
\u2202y
.
Solução: Aplicando a De\ufffdnição 2.5.1 obtemos
\u2202f (x, y)
\u2202x
= lim
\u2206x\u21920
f (x+\u2206x, y)\u2212 f (x, y)
\u2206x
= lim
\u2206x\u21920
(x+\u2206x)2y + (x+\u2206x)y2 \u2212 (x2y + xy2)
\u2206x
= lim
\u2206x\u21920
x2y + 2xy\u2206x+ y (\u2206x)2 + xy2 + y2\u2206x\u2212 x2y \u2212 xy2
\u2206x
= lim
\u2206x\u21920
2xy\u2206x+ y (\u2206x)2 + y2\u2206x
\u2206x
= lim
\u2206x\u21920
(2xy + y\u2206x+ y2)\u2206x
\u2206x
= lim
\u2206x\u21920
2xy + y\u2206x+ y2 = 2xy + y2.
Analogamente, encontra-se que
\u2202f (x, y)
\u2202y
= lim
\u2206y\u21920
f (x, y +\u2206y) + f (x, y)
\u2206y
= x2 + 2xy.
OBSERVAÇÃO 2.5.3 Note que, para encontrar
\u2202f
\u2202x
bastou considerar y como uma constante na
função f (x, y) e aplicar as regras de derivação estudadas na derivação de funções de uma
variável. Para encontrar
\u2202f
\u2202y
deriva-se em relação a y, mantendo x constante.
EXEMPLO 2.5.4 Seja f (x, y) = 3x2y + 2 sinxy, encontre \u2202f
\u2202x
e
\u2202f
\u2202y
.
Solução: Tomando y constante no primeiro caso e x no segundo, obtemos
\u2202f (x, y)
\u2202x
= 6xy + 2y cos xy
\u2202f (x, y)
\u2202y
= 3x2 + 2x cos xy.
OBSERVAÇÃO 2.5.5 No caso de f ter mais de duas variáveis, são consideradas constantes
todas as variáveis em relação a qual f não está sendo derivada.
EXEMPLO 2.5.6 Seja f (x, y, z, t) = 3x2yz3t2 + 2 sinx2yz3t2. Encontre as derivadas parciais
\u2202f
\u2202x
,
\u2202f
\u2202y
,
\u2202f
\u2202z
e
\u2202f
\u2202t
.
Solução: Fazendo y, z, t constantes podemos derivar parcialmente em x :
\u2202f (x, y, z, t)