APOSTILA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
227 pág.

APOSTILA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II


DisciplinaCiências4.421 materiais272.373 seguidores
Pré-visualização47 páginas
Como a região de integração está situada no primeiro quadrante do plano xy, temos
que \u3b8 \u2208 [0, arctan 3]. E como o raio polar varia desde a parábola até a reta, temos que
r \u2208 [tan \u3b8 sec \u3b8, sec \u3b8]. Lembrando que, em coordenadas polares, temos x = r cos \u3b8, y = r sin \u3b8
e dxdy = rdrd\u3b8, obtemos que
I =
\u222b arctan 3
0
\u222b 3 sec \u3b8
tan \u3b8 sec \u3b8
r3 sin \u3b8 cos(r7 cos7 \u3b8)drd\u3b8.
135
(c) Para calcular o valor numérico de I, devemos optar por sua melhor expressão. Analisando
as três expressões disponíveis, percebemos que a integral do item (a) é a mais simples de ser
resolvida. Portanto, temos que
I =
\u222b 3
0
\u222b x2
0
y2 cos(x7)dydx =
\u222b 3
0
y3
3
cos(x7)
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223
x2
0
dx
=
\u222b 3
0
x6
3
cos(x7)dx =
1
21
sin(x7)
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223
3
0
=
1
21
sin(2187).
136
3.5 Exercícios Gerais
1. Calcule as integrais duplas dadas abaixo:
(a)
\u222b 1
0
\u222b 3x+1
x
xydydx (b)
\u222b 1
0
\u222b 3y+1
y
xy2dxdy (c)
\u222b 4
0
\u222b 1
0
xexydydx
(d)
\u222b pi
2
pi
6
\u222b 4 cos \u3b8
0
cos \u3b8 sin \u3b8 rer
2
drd\u3b8 (e)
\u222b pi
0
\u222b y2
0
cos
x
y
dxdy (f)
\u222b ln 2
0
\u222b y
0
xy5ex
2y2dxdy
2. Escreva as integrais duplas que permitem calcular a área da região R delimitada si-
multaneamente pelas curvas dadas abaixo, tomando inicialmente x como variável in-
dependente e após tomando y como variável independente.
(a) y = x2 \u2212 1, y = 1\u2212 x, y = 4x
3
+ 12 e y = 12\u2212 9x
2
.
(b) y = 4x
3
+ 8
3
, y = \u22122\u2212 x, y = x
2
\u2212 2 e y = 16
3
\u2212 4x
3
.
3. Esboce a região de integração e calcule as integrais duplas dadas abaixo, trocando a
ordem de integração, se necessário.
(a)
\u222b 2
0
\u222b 4
x2
x sin(y2)dydx.
(b)
\u222b 1
0
\u222b pi
2
arcsin y
cos x
\u221a
1 + cos2 xdxdy.
4. Nos problemas a seguir, esboce geometricamente a região de integração e utilize coor-
denadas polares para calcular as integrais.
(a)
\u222b\u222b
R
\u221a
14\u2212 x2 \u2212 y2dxdy onde R é a região dada por 4 \u2264 x2 + y2 \u2264 9.
(b)
\u222b\u222b
R
\u221a
14\u2212 x2 \u2212 y2dxdy onde R é a região dada por x2 + y2 \u2264 4 com x \u2265 0 e
y \u2265 0.
(c)
\u222b 3
\u22123
\u222b \u221a9\u2212x2
\u2212\u221a9\u2212x2
e\u2212x
2\u2212y2dydx.
(d)
\u222b 2
0
\u222b 0
\u2212\u221a4\u2212x2
1
4 +
\u221a
x2 + y2
dydx.
(e)
\u222b 0
\u22122
\u222b 2+\u221a4\u2212x2
2\u2212\u221a4\u2212x2
xy\u221a
x2 + y2
dydx.
(f)
\u222b\u222b
R
1
(x2 + y2)3
dxdy onde R é a região dada por 4 \u2264 x2 + y2 \u2264 9.
5. Escreva, em coordenadas cartesianas, a(s) integral(is) dupla(s) que permite(m) calcular
a área da menor região delimitada pelas curvas x2 + y2 = 9 e y2 + 1 = 3x, tomando:
(a) x como variável independente; (b) y como variável independente.
137
6. Escreva a(s) integral(is) dupla(s) que permite(m) calcular a área da menor região
delimitada pelas curvas x2 + y2 = 20 e y = x2, usando:
(a) x como variável independente; (b) y como variável independente; (c) coordenadas
polares.
7. Considere a expressão I =
\u222b 2
1
\u222b \u221a2x\u2212x2
0
\u221a
x2 + y2
x+ y
dydx.
(a) Reescreva a expressão dada, invertendo sua ordem de integração.
(b) Transforme a expressão dada para coordenadas polares.
8. Transforme para coordenadas cartesianas a seguinte integral
I =
\u222b pi
2
\u2212pi
2
\u222b 3
3 cos \u3b8
sin \u3b8drd\u3b8.
9. Considere a expressão I =
\u222b \u221a2
2
0
\u222b \u221a1\u2212y2
y
2x+ 4y\u221a
x2 + y2
dxdy.
(a) Reescreva a expressão dada, invertendo sua ordem de integração.
(b) Transforme a expressão dada para coordenadas polares.
(c) Utilize uma das expressões encontradas nos itens anteriores para calcular o valor
numérico de I.
10. Transforme a integral I =
\u222b pi
2
pi
4
\u222b 1
0
r3drd\u3b8 de coordenadas polares para coordenadas
cartesianas, tomando:
(a) x como variável independente; (b) y como variável independente.
11. Considere a seguinte expressão:
I =
\u222b 1
0
\u222b x2
0
x cos((1\u2212 y)2)dydx+
\u222b \u221a2
1
\u222b 2\u2212x2
0
x cos((1\u2212 y)2)dydx.
(a) Represente geometricamente a região de integração da expressão acima.
(b) Calcule o valor numérico de I, adotando a melhor expressão para isso.
12. Utilize coordenadas polares para reescrever a soma
I =
\u222b 1
1\u221a
2
\u222b x
\u221a
1\u2212x2
xydydx+
\u222b \u221a2
1
\u222b x
0
xydydx+
\u222b 2
\u221a
2
\u222b \u221a4\u2212x2
0
xydydx
em uma única integral dupla.
13. Considere a seguinte expressão:
I =
\u222b 1
0
\u222b 1\u2212\u221a1\u2212y2
0
\u221a
x2 + y2
x2 + y2
dxdy +
\u222b 2
1
\u222b \u221a2y\u2212y2
0
\u221a
x2 + y2
x2 + y2
dxdy.
(a) Reescreva esta expressão, invertendo a sua ordem de integração.
(b) Transforme esta expressão para coordenadas polares.
(c) Calcule o valor numérico de I, utilizando umas das expressões anteriores.
138
14. Calcule
\u222b\u222b
D
(x+ 3y)dA, onde D é a região triangular de vértices (0, 0), (1, 1) e (2, 0).
15. Calcule
\u222b\u222b
D
1\u221a
x2+y2
dA, sendo D a região do semiplano x > 0 interna à cardióide r =
1 + cos \u3b8 e externa à circunferência r = 1.
139
3.6 Respostas
1. (a)
9
4
(b)
103
60
(c) e4 \u2212 5 (d) e
12 \u2212 13
64
(e) pi (f) 1
8
(eln
4 2 \u2212 ln4 2\u2212 1)
2. .
(a) A =
\u222b \u22122
\u22123
\u222b 4x
3
+12
x2\u22121
dydx+
\u222b 0
\u22122
\u222b 4x
3
+12
1\u2212x
dydx+
\u222b 1
0
\u222b 12\u2212 9x
2
1\u2212x
dydx+
\u222b 2
1
dint
12\u2212 9x
2
x2\u22121 dydx
A =
\u222b 3
0
\u222b \u221ay+1
1\u2212y
dxdy +
\u222b 8
3
\u222b 24\u22122y
9
\u2212\u221ay+1
dxdy +
\u222b 12
8
\u222b 24\u22122y
9
3y
4
\u22129
dxdy
(b) A =
\u222b 0
\u22122
\u222b 4x+8
3
\u22122\u2212x
dydx+
\u222b 1
0
\u222b 4x+8
3
x
2
\u22122
dydx+
\u222b 4
1
\u222b 16
3
\u2212 4x
3
x
2
\u22122
dydx
A =
\u222b 0
\u22122
\u222b 2y+4
\u22122\u2212y
dxdy +
\u222b 4
0
\u222b 4\u2212 3y
4
3y\u22128
4
dxdy
3. (a)
1\u2212 cos 16
4
(b)
2
\u221a
2\u2212 1
3
4. .
(a) 10pi
3
(2
\u221a
10\u2212\u221a5) (b) pi
3
(7
\u221a
14\u2212 5\u221a10) (c)pi(1\u2212 e\u22129)
(d) pi + 4pi ln 2\u2212 2pi ln 6 (e)\u221264
15
(f)
65pi
2592
5. (a) A =
\u222b 2
1
3
\u222b \u221a3x\u22121
\u2212\u221a3x\u22121
dydx+
\u222b 3
2
\u222b \u221a9\u2212x2
\u2212\u221a9\u2212x2
dydx
(b) A =
\u222b \u221a5
\u2212\u221a5
\u222b \u221a9\u2212y2
y2+1
3
dxdy
6. (a) A =
\u222b 2
\u22122
\u222b \u221a20\u2212x2
x2
dydx
(b) A =
\u222b 4
0
\u222b \u221ay
\u2212\u221ay
dxdy +
\u222b \u221a20
4
\u222b \u221a20\u2212y2
\u2212
\u221a
20\u2212y2
dxdy
(c) A = 2
\u222b arctan 2
0
\u222b tan \u3b8 sec \u3b8
0
rdrd\u3b8 + 2
\u222b pi
2
arctan 2
\u222b \u221a20
0
rdrd\u3b8
7. (a) I =
\u222b 1
0
\u222b 1+\u221a1\u2212y2
1
\u221a
x2 + y2
x+ y
dxdy
(b) I =
\u222b pi
4
0
\u222b 2 cos \u3b8
sec \u3b8
r
cos \u3b8 + sin \u3b8
drd\u3b8
8. I =
\u222b 3
0
\u222b \u221a9\u2212x2
\u221a
3x\u2212x2
y
x2 + y2
dydx+
\u222b 3
0
\u222b \u2212\u221a3x\u2212x2
\u2212\u221a9\u2212x2
y
x2 + y2
dydx
140
9. (a) I =
\u222b \u221a2
2
0
\u222b x
0
2x+ 4y\u221a
x2 + y2
dydx+
\u222b 1
\u221a
2
2
\u222b \u221a1\u2212x2
0
2x+ 4y\u221a
x2 + y2
dydx
(b) I =
\u222b pi
4
0
\u222b 1
0
(2r cos \u3b8 + 4r sin \u3b8)drd\u3b8
(c) 2\u2212 1
2
\u221a
2
10. (a) I =
\u222b \u221a2
2
0
\u222b \u221a1\u2212x2
x
(x2 + y2)dydx
(b) I =
\u222b \u221a2
2
0
\u222b y
0
(x2 + y2)dxdy +
\u222b 1
\u221a
2
2
\u222b \u221a1\u2212y2
0
(x2 + y2)dxdy
11. (a)
(b) I =
1
2
sin 1
12. I =
\u222b pi
4
0
\u222b 2
1
r3 cos \u3b8 sin \u3b8drd\u3b8
13. (a) I =
\u222b 1
0
\u222b 1+\u221a1\u2212x2
\u221a
2x\u2212x2
\u221a
x2 + y2
x2 + y2
dydx
(b) I =
\u222b pi
2
pi
4
\u222b 2 sin \u3b8
2 cos \u3b8
drd\u3b8
(c) I = 2
\u221a
2\u2212 2
14. I = 2
15. I = 2
141
Capítulo 4
INTEGRAIS TRIPLAS
Objetivos (ao \ufffdnal do capítulo espera-se que o aluno seja capaz de):
1. Encontrar o valor de uma integral tripla;
2. Interpretar geométrica e \ufffdsicamente uma integral tripla;
3. Calcular integrais triplas em coordenadas retangulares;
4. Calcular integrais triplas em coordenadas cilíndricas;
5. Calcular integrais triplas em coordenadas esféricas;
6. Transformar uma integral tripla de coordenadas retangulares para cilíndricas e de
cilíndricas para retangulares;
7. Transformar uma integral tripla de coordenadas retangulares para esféricas e de esféri-
cas para retangulares;
8. Transformar uma integral tripla de coordenadas cilíndricas para esféricas e de esféricas
para cilíndricas;
9. Montar uma integral tripla nos três sistemas de coordenadas e decidir qual o sistema
mais adequado para resolvê-la;
10. Fazer a maquete de uma \ufffdgura