APOSTILA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
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APOSTILA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II


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: [a, b]\u2192 R de\ufffdnida num intervalo fechado
[a, b] e limitada nesse intervalo, isto é, existem m,M \u2208 R tais que m \u2264 f (x) \u2264M para todo
x \u2208 [a, b] .
DEFINIÇÃO 1.3.1 Seja f : [a, b]\u2192 R uma função limitada e seja P = {x0, x1, x2, ..., xi, ..., xn}
uma partição de [a, b], com a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b. Seja Mi o valor supremo de f
no intervalo [xi\u22121, xi] , onde i = 1, 2, 3, · · · , n. Denominamos soma superior de f em relação
à partição P e denotamos por S(f, P ) à expressão:
S(f, P ) = M1(x1 \u2212 x0) +M2(x2 \u2212 x1) + ..+Mn(xn \u2212 xn\u22121) =
n\u2211
i=1
Mi(xi \u2212 xi\u22121). (1.3.1)
EXEMPLO 1.3.2 Considere a função f : [0, 2] \u2192 R de\ufffdnida por f (x) = xsenx. Na Figura
1.4 podemos ver o grá\ufffdco de uma soma superior referente a uma partição composta por 15
pontos. Já uma soma superior referente a uma partição com maior número de pontos (80
pontos), é ilustrada pela Figura 1.5.
Note que, conforme aumentamos o número de pontos da partição, aqui uniformemente
distribuídos, a soma superior S(f, P ) vai se aproximando da área sob o grá\ufffdco de f (x) =
x sin x, no intervalo [0, 2] .
4
y
x
f(x)=xsen x
Figura 1.4: Soma Superior, S(f, P ), P com 15 pontos: A = 1, 863 u.a.
y
x
f(x)=xsen x
Figura 1.5: Soma Superior, S(f, P ), P com 80 pontos: A = 1, 746 u.a.
1.4 Soma Inferior
DEFINIÇÃO 1.4.1 Seja f : [a, b]\u2192 R uma função limitada e seja P = {x0, x1, x2, ..., xi, ..., xn}
uma partição de [a, b], onde a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b. Seja mi o valor ín\ufffdmo de f
no intervalo [xi\u22121, xi] para i = 1, 2, 3, ..., n. Denominamos soma inferior de f em relação à
partição P e denotamos por S(f, P ) à expressão:
S(f, P ) = m1(x1 \u2212 x0) +m2(x2 \u2212 x1) + ...+mn(xn \u2212 xn\u22121) =
n\u2211
i=1
mi(xi \u2212 xi\u22121). (1.4.1)
EXEMPLO 1.4.2 Considere a função f : [0, 2] \u2192 R de\ufffdnida por f (x) = xsenx. Na Figura
1.6 podemos ver o grá\ufffdco de uma soma inferior referente a uma partição composta por um
número reduzido de pontos (15 pontos) e na Figura 1.7 de uma soma inferior referente a
uma partição com maior número de pontos (80 pontos).
Note que, aumentando o número de pontos de [a, b] a soma inferior S (f, P ) vai se apro-
ximando da área sob o grá\ufffdco de f (x) = x sin x no intervalo [0, 2].
5
y
x
f(x)=xsen x
Figura 1.6: Soma Inferior, S(f, P ), P com 15 pontos: A = 1, 642 u.a.
y
x
f(x)=xsen x
Figura 1.7: Soma Inferior, S(f, P ), P com 80 pontos: A = 1, 718 u.a.
1.5 Função Integrável
DEFINIÇÃO 1.5.1 Seja f : [a, b]\u2192 R uma função limitada. Dizemos que f é integrável se
lim
n\u2192+\u221e
S(f, P ) = lim
n\u2192+\u221e
S(f, P )
ou seja, se
lim
n\u2192+\u221e
n\u2211
i=1
mi(xi \u2212 xi\u22121) = lim
n\u2192+\u221e
n\u2211
i=1
Mi(xi \u2212 xi\u22121),
sendo P = {x0, x1, x2, · · · , xn} qualquer partição de [a, b].
No caso de uma função integrável, denotaremos a integral de\ufffdnida de f de a até b
por \u222b b
a
f (x) dx = lim
n\u2192+\u221e
n\u2211
i=1
f (wi) (xi \u2212 xi\u22121), onde wi \u2208 [xi\u22121, xi] .
OBSERVAÇÃO 1.5.2 As somas superiores e inferiores acima de\ufffdnidas são casos particulares
de Somas de Riemann, que são quaisquer expressões da forma S =
n\u2211
i=1
f (wi)\u2206xi, onde
wi \u2208 [xi\u22121, xi] não é necessariamente um máximo ou um mínimo de f em cada subintervalo
6
da partição considerada, nem \u2206xi é necessariamente constante. No entanto, em nossos
propósitos, não iremos considerar esses casos mais gerais.
Ainda, como f(x) pode ser negativa, certos termos de uma soma superior ou inferior
também podem ser negativos. Consequentemente, nem sempre S(f, P ) e S(f, P ) irão repre-
sentar uma soma de áreas de retângulos. De forma geral, estas somas representam a soma
das áreas dos retângulos situados acima do eixo-x (onde f \u2265 0) com o negativo das áreas
dos retângulos que estão situados abaixo deste eixo (onde f \u2264 0).
OBSERVAÇÃO 1.5.3 Para calcular integrais de\ufffdnidas usando a de\ufffdnição de somas superiores
ou inferiores, serão usadas as seguintes expressões:
(i) 1 + 1 + 1 + ...+ 1\ufe38 \ufe37\ufe37 \ufe38 = k
k vezes
(ii) 1 + 2 + 3 + ...+ k =
(1 + k)k
2
(iii) 12 + 22 + 32 + ...+ k2 =
k (k + 1) (2k + 1)
6
(iv) 13 + 23 + 33 + ...+ k3 =
k2 (k + 1)2
4
(v) 14 + 24 + 34 + ...+ k4 =
k (k + 1) (6k3 + 9k2 + k \u2212 1)
30
EXEMPLO 1.5.4 Usando a de\ufffdnição de soma superior, encontre a área delimitada pelas curvas
y = x2 + 1, x = 0, x = 4 e y = 0 (sabendo que a função é integrável).
Solução: Tomamos P = {x0,x1, x2, ..., xn} uma partição do intervalo [0, 4], conforme ilustra
a Figura 1.8
y
x
Figura 1.8: Soma Superior de f(x) = x2 + 1 com 10 retângulos
Como os subintervalos da partição podem ser quaisquer, podemos admitir que todos
possuem o mesmo diâmetro, isto é, \u2206x = \u2206x1 = \u2206x2 = ... = \u2206xn. Portanto, temos que
\u2206x =
4\u2212 0
n
=
4
n
e podemos atribuir valores para cada xi \u2208 P como sendo
x0 = 0, x1 = \u2206x, x2 = 2\u2206x, x3 = 3\u2206x, ..., xn = n\u2206x.
7
Seja Mi o supremo de f(x) = x
2 + 1 no intervalo [xi\u22121, xi]. Como neste exemplo temos
uma função crescente, o máximo de f em cada subintervalo ocorre no seu extremo direito,
ou seja, Mi = f(xi). Assim, a soma superior de f é dada por
S(f, P ) = M1\u2206x+M2\u2206x+M3\u2206x+ ....+Mn\u2206x
= f(x1)\u2206x+ f(x2)\u2206x+ f(x3)\u2206x+ ...+ f(xn)\u2206x
= f(\u2206x)\u2206x+ f(2\u2206x)\u2206x+ f(3\u2206x)\u2206x+ ...+ f(n\u2206x)\u2206x
= \u2206x[(\u2206x)2 + 1 + (2\u2206x)2 + 1 + (3\u2206x)2 + 1 + ...+ (n\u2206x)2 + 1]
= \u2206x[1 + 1 + ...+ 1 + (\u2206x)2 + 4(\u2206x)2 + 9(\u2206x)2 + ...+ n2(\u2206x)2]
= \u2206x[n+\u2206x2(1 + 22 + 32 + ...+ n2)]
= \u2206x
(
n+\u2206x2
n(n+ 1)(2n+ 1)
6
)
=
4
n
(
n+
42
n2
n(n+ 1)(2n+ 1)
6
)
= 4 +
64
6
(n+ 1)(2n+ 1)
n2
= 4 +
32
3
(
2 +
3
n
+
1
n2
)
= 4 +
64
3
+
32
n
+
32
3n2
.
Portanto, a área desejada é dada por\u222b 4
0
(x2 + 1)dx = lim
n\u2192+\u221e
(
4 +
64
3
+
32
n
+
32
3n2
)
=
76
3
.
Agora, se desejarmos encontrar a soma inferior de f, quais modi\ufffdcações deveremos efetuar
nos cálculos acima? Sugere-se que o estudante refaça este exercício, prestando bastante
atenção no que ocorre com as alturas dos retângulos inscritos e nas consequências deste fato.
EXEMPLO 1.5.5 Usando a de\ufffdnição de soma inferior, encontre a área delimitada pelas curvas
y = 16\u2212 x2, x = 1, x = 4 e y = 0 (sabendo que a função é integrável).
Solução: Tomamos P = {x0,x1, x2, ..., xn} uma partição do intervalo [1, 4], conforme ilustra
a Figura 1.9
y
x
Figura 1.9: Soma Inferior de f(x) = 16\u2212 x2 com 10 retângulos
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Como os subintervalos da partição podem ser quaisquer, podemos admitir que todos
possuem o mesmo diâmetro, isto é, \u2206x = \u2206x1 = \u2206x2 = ... = \u2206xn. Portanto, temos que
\u2206x =
4\u2212 1
n
=
3
n
e podemos atribuir valores para cada xi \u2208 P como sendo
x0 = 1, x1 = 1 +\u2206x, x2 = 1 + 2\u2206x, x3 = 1 + 3\u2206x, · · · , xn = 1 + n\u2206x.
Seja mi o ín\ufffdmo de f(x) = 16 \u2212 x2 no intervalo [xi\u22121, xi]. Como no intervalo [1, 4] a
função é decrescente, o mínimo de f em cada subintervalo ocorre no seu extremo direito, ou
seja, mi = f(xi). Assim, a soma inferior de f é dada por
S(f, P ) = m1\u2206x+m2\u2206x+m3\u2206x+ ....+mn\u2206x
= f(x1)\u2206x+ f(x2)\u2206x+ f(x3)\u2206x+ ...+ f(xn)\u2206x
= f(1 + \u2206x)\u2206x+ f(1 + 2\u2206x)\u2206x+ f(1 + 3\u2206x)\u2206x+ ...+ f(1 + n\u2206x)\u2206x
= [16\u2212 (1 + \u2206x)2 + 16\u2212 (1 + 2\u2206x)2 + 16\u2212 (1 + 3\u2206x)2 + · · ·+ 16\u2212 (1 + n\u2206x)2]\u2206x
= 16n\u2206x+ [1 + 2\u2206x+ (\u2206x)2 + 1 + 2 · 2\u2206x+ (2\u2206x)2 + 1 + 2 · 3\u2206x+ (3\u2206x)2 +
+ · · ·+ 1 + 2 · n\u2206x+ (n\u2206x)2]\u2206x
= 16n\u2206x\u2212 n\u2206x\u2212 2(1 + 2 + 3 + · · ·+ n)(\u2206x)2 \u2212 (12 + 22 + 32 + · · ·+ n2)(\u2206x)3
= 15n\u2206x\u2212 2 · n(n+ 1)
2
· (\u2206x)2 \u2212 n(n+ 1)(2n+ 1)
6
· (\u2206x)3
= 15n · 3
n
\u2212 9 · n
2 + n
n2
\u2212 9 · 2n
3 + 3n2 + n
2n3
= 45\u2212 9\u2212 9
n
\u2212 9\u2212 27
2n
\u2212 9
2n2
= 27\u2212 45
2n
\u2212 9
2n2
Portanto, a área desejada é dada por\u222b 4
1
(16\u2212 x2)dx = lim
n\u2192+\u221e
(
27\u2212 45
2n
\u2212 9
2n2
)
= 27.
OBSERVAÇÃO 1.5.6 Até o momento não exigimos que a função seja contínua. Isso porque a
condição de continuidade não é necessária para que uma função seja integrável. Daqui para
frente só trabalharemos com funções contínuas. A integrabilidade de funções não contínuas,