APOSTILA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
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APOSTILA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II


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=
\u222b 2pi
0
\u222b pi
4
0
\u222b 2
cos\u3c6+ sin\u3c6
0
e\u3c1
2
sin\u3c6 cos \u3b8 + sin\u3c6 sin \u3b8 + cos\u3c6
\u3c1 sin\u3c6d\u3c1d\u3c6d\u3b8
+
\u222b 2pi
0
\u222b pi
2
pi
4
\u222b 2 cos\u3c6
0
e\u3c1
2
sin\u3c6 cos \u3b8 + sin\u3c6 sin \u3b8 + cos\u3c6
\u3c1 sin\u3c6d\u3c1d\u3c6d\u3b8
30. (a)
\u222b pi
2
\u2212pi
2
\u222b a
2
0
\u222b 6\u2212a2r2
ar
rdzdrd\u3b8 (b) a = 1
169
Capítulo 5
SEQUÊNCIAS E SÉRIES
Objetivos (ao \ufffdnal do capítulo espera-se que o aluno seja capaz de):
1. Reconhecer uma sequência e veri\ufffdcar:
(a) se é convergente ou divergente;
(b) se é crescente ou decrescente;
(c) propriedades de uma sequência.
2. De\ufffdnir séries numéricas de termos positivos;
3. Encontrar a soma de séries;
4. Identi\ufffdcar as séries especiais: geométrica, harmônica, série-p;
5. Veri\ufffdcar se a série é convergente ou divergente, aplicando os critérios de convergência;
6. Analisar a convergência de séries alternadas e de sinais quaisquer;
7. Reconhecer séries absolutamente e condicionalmente convergentes;
8. Reconhecer séries de funções;
9. Encontrar o raio e o intervalo de convergência das séries de potências;
10. Desenvolver funções em séries de Taylor e Maclaurin;
11. Utilizar séries de funções na resolução de limites e integrais;
12. Resolver exercícios usando uma ferramenta tecnológica.
A prova será composta por questões que possibilitam veri\ufffdcar se os objetivos foram
atingidos. Portanto, esse é o roteiro para orientações de seus estudos. O modelo de formu-
lação das questões é o modelo adotado na formulação dos exercícios e no desenvolvimento
teórico desse capítulo, nessa apostila.
170
5.1 Introdução
Neste capítulo estudaremos séries in\ufffdnitas, as quais são somas que envolvem um número
in\ufffdnito de termos. As séries in\ufffdnitas desempenham um papel fundamental tanto na matemática
quanto na ciência. Elas são usadas, por exemplo, para aproximar funções trigonométricas
e logarítmicas, para resolver equações diferenciais, para efetuar integrais complicadas, para
criar novas funções e para construir modelos matemáticos de leis físicas (Anton, 1999).
5.2 Sequências
Na linguagem cotidiana, o termo sequência signi\ufffdca uma sucessão de coisas em uma ordem
determinada ordem cronológica, de tamanho, ou lógica, por exemplo. Em matemática o
termo sequência é usado comumente para denotar uma sucessão de números cuja ordem é
determinada por uma lei ou função.
Estudaremos um tipo especial de função de\ufffdnida nos números naturaisN\u2217 = {1, 2, 3, 4, · · · }
com imagem em R. Isto é, estudaremos a função f : N\u2217 \u2192 R quanto ao limite e suas pro-
priedades quando n\u2192\u221e. A função f : N\u2217 \u2192 R de\ufffdnida por f(n) = n
2n+1
é um exemplo de
sequência. O conjunto composto pelos pares ordenados (n, f(n)), dado por
I = {(1, f(1)), (2, f(2)), (3, f(3)), · · · , (n, f(n)), · · · }
ou
I =
{
(1,
1
3
), (2,
2
5
), (3,
3
7
), · · · , (n, n
2n+ 1
), · · ·
}
é denominado conjunto dos termos da sequência f(n). Geralmente, o conjunto I é escrito
de forma simpli\ufffdcada. Isto é, I é representado pelas imagens de n \u2208 N\u2217 de forma que a
posição que determinada imagem de f ocupa no conjunto dos termos da sequência f(n) é
determinada pelo elemento n \u2208 N\u2217, ou seja,
I = {f(1), f(2), f(3), · · · , f(n), · · · } =
{
1
3
,
2
5
,
3
7
,
4
9
,
5
11
, · · · , n
2n+ 1
, · · ·
}
.
Podemos observar que o termo
5
11
é imagem de n = 5, pois ocupa a quinta posição no
conjunto dos termos. O termo f(n) = n
2n+1
é denominado termo geral da sequência. A
forma usual de representar o termo geral de uma sequência é un =
n
2n+1
ou xn =
n
2n+1
ou
yn =
n
2n+1
etc. Passaremos agora à de\ufffdnição formal de sequência. Nesse caso, temos o
conjunto I = {u1, u2, u3, · · · , un, · · · }.
DEFINIÇÃO 5.2.1 Sejam N\u2217 = {1, 2, 3, 4, · · · } o conjunto dos naturais, R a reta real. De-
nominamos a aplicação un : N\u2217 \u2192 R de uma sequência numérica.
EXEMPLO 5.2.2 Para melhor compreensão, vamos supor que o crescimento diário de uma
linhagem de suínos é dada em função do crescimento total pela sequência un =
n
n+13
onde
n corresponde ao número de dias de vida do suíno e lim
n\u2192\u221e
un o tamanho de um suíno adulto.
Assim, o conjunto
{
1
14
, 2
15
, 3
16
, 4
17
, 5
18
, · · · , n
n+13
, · · ·} representa o tamanho diário do suíno em
relação ao tamanho \ufffdnal.
Gra\ufffdcamente podemos observar a curva de crescimento, cujo limite é representado pela
assíntota y = 1 (Figura 5.1).
171
Figura 5.1: Crescimento da linhagem de suínos
Como podemos observar a assíntota y = 1 representa o limite de crescimento do suíno.
Isso signi\ufffdca que podemos levantar questões como por exemplo, qual o número mínimo de
dias que o suíno deve \ufffdcar em tratamento para atingir, pelo menos, 80% de seu tamanho
\ufffdnal?
No Figura 5.2 podemos observar uma estimativa em torno de 50 dias.
Figura 5.2: Estimativa para obter 80 por cento do tamanho \ufffdnal
A questão agora é: como fazer uma estimativa em termos matemáticos? A resposta será
dada pela de\ufffdnição de limite de uma sequência.
5.2.3 Limite de uma Sequência
DEFINIÇÃO 5.2.4 Seja un uma sequência, dizemos que o número a é limite de un quando
n tende para o in\ufffdnito se, dado \u3b5 > 0 podemos encontrar K > 0 tal que para todo n > K
vale a desigualdade |un \u2212 a| < \u3b5.
EXEMPLO 5.2.5 Dada a sequência un : N\u2217 \u2192 R de\ufffdnida no Exemplo 5.2.2 por un = nn+13 ,
vamos mostrar que lim un = 1.
Solução: Devemos mostrar que, dado \u3b5 > 0 podemos encontrar K > 0 tal que para todo
n > K vale a desigualdade |un \u2212 a| < \u3b5. Agora,
|un \u2212 1| =
\u2223\u2223\u2223\u2223 nn+ 13 \u2212 1
\u2223\u2223\u2223\u2223 = \u2223\u2223\u2223\u2223n\u2212 n\u2212 13n+ 13
\u2223\u2223\u2223\u2223 = \u2223\u2223\u2223\u2223 13n+ 13
\u2223\u2223\u2223\u2223 < \u3b5.
172
De modo que podemos escrever
13
n+ 13
< \u3b5 \u21d2 13 < n\u3b5+ 13\u3b5 \u21d2 13\u2212 13\u3b5
\u3b5
< n.
Consequentemente, podemos tomar K = 13\u221213\u3b5
\u3b5
e a De\ufffdnição 5.2.4 estará satisfeita.
Comparando os dados do Exemplo 5.2.2 com a De\ufffdnição 5.2.4 concluímos que \u3b5 = 0, 2
representa a diferença entre o crescimento almejado e o crescimento total dos suínos. Por
outro lado, K é o número mínimo de dias que os suínos devem permanecer em tratamento
para atingir, pelo menos, 80% de seu crescimento total.
EXEMPLO 5.2.6 Determine o número mínimo de dias que um lote de suínos, cujo crescimento
é dado pela sequência un =
n
n+13
deve permanecer em tratamento para atingir, respectiva-
mente, 80%, 90% e 95% do seu tamanho \ufffdnal.
Solução: No Exemplo 5.2.5 concluímos que dado \u3b5 > 0 podemos tomar K = 13\u221213\u3b5
\u3b5
. Como
para 80%, 90% e 95% do tamanho \ufffdnal os valores de \u3b5 são respectivamente 0.2, 0.1 e
0.05 temos, respectivamente, o número mínimo de dias é dado por
(a) K =
13\u2212 13\u3b5
\u3b5
=
13\u2212 13 · 0, 2
0, 2
= 52 dias
(b) K =
13\u2212 13\u3b5
\u3b5
=
13\u2212 13 · 0, 1
0, 1
= 117 dias
(c) K =
13\u2212 13\u3b5
\u3b5
=
13\u2212 13 · 0, 05
0, 05
= 247 dias
Outra conclusão que podemos tirar é que, a partir de um determinado tempo, a variação
do crescimento é muito pequena em relação à quantidade de ração que o suíno consome.
Portanto, o produtor deve estimar o tempo mínimo de tratamento em dias para obter o
máximo de lucro.
5.2.7 Sequências Convergentes
DEFINIÇÃO 5.2.8 Seja un uma sequência. Dizemos que un é convergente se, e somente se,
lim
n\u2192\u221e
un = L para algum L \u2208 R.
Se un não for convergente, diremos que un é divergente.
EXEMPLO 5.2.9 A sequência un =
2n+3
3n+5
é convergente, pois lim
n\u2192\u221e
un = lim
n\u2192\u221e
2n+3
3n+5
= 2
3
.
EXEMPLO 5.2.10 Determine se a sequência un =
1
4
n2 \u2212 1 converge ou diverge.
Solução: A sequência dada é tal que lim
n\u2192\u221e
un = lim
n\u2192\u221e
1
4
n2 \u2212 1 =\u221e.
Como o limite de un não existe, a sequência diverge.
TEOREMA 5.2.11 Seja un : N\u2217 \u2192 R uma sequência em R tal que lim
n\u2192\u221e
un existe, então
este limite é único.
DEMONSTRAÇÃO: Suponhamos que un : N\u2217 \u2192 R é uma sequência em R tal que lim
n\u2192\u221e
un
existe e suponhamos que a e b, com a 6= b, são limites dessa sequência. Então dado \u3b5 > 0