APOSTILA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
227 pág.

APOSTILA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II


DisciplinaCiências4.414 materiais270.473 seguidores
Pré-visualização47 páginas
podemos encontrar K1 > 0 e K2 > 0 tal que para todo n > K1 tenhamos |un \u2212 a| < \u3b52 e
para todo n > K2 tenhamos |un \u2212 b| < \u3b52 . Agora seja K = max{K1, K2}. Então podemos
escrever, para todo n > K
173
|a\u2212 b| = |a\u2212 un + un \u2212 b| = |\u2212(un \u2212 a)\u2212 (un \u2212 b)|
\u2264 |un \u2212 a|+ |un \u2212 b| < \u3b52 + \u3b52 = \u3b5.
Como a e b são constantes, teremos |a\u2212 b| < \u3b5 para todo \u3b5 > 0 se, e somente se
|a\u2212 b| = 0, isto é, se a = b. Logo, o limite de un, se existe, é único.
5.3 Subsequências
DEFINIÇÃO 5.3.1 Seja un : N\u2217 \u2192 R uma sequência. Seja N \u2032 = {n1 < n2 < n3 < · · · <
nk < · · · } um subconjunto in\ufffdnito de N\u2217, então unk = un
\u2223\u2223
N \u2032 : N
\u2217 \u2192 R é dita uma subse-
quência de un.
EXEMPLO 5.3.2 Seja un : N\u2217 \u2192 R uma sequência dada por un = 1n2 . Seja N \u2032 = {1, 3, 5, 7, · · · } \u2282
N\u2217. Então a sequência unk : N \u2032 \u2192 R é uma subsequência de un. Os termos da sequência são
{1, 1
4
, 1
9
, 1
16
, 1
25
, 1
36
, 1
49
, · · · } e os termos da subsequência são {1, 1
9
, 1
25
, 1
49
, · · · }.
TEOREMA 5.3.3 Se uma sequência converge para L, então todas suas subsequências tam-
bém convergem para L.
DEMONSTRAÇÃO: Suponhamos que un : N\u2217 \u2192 R é uma sequência tal que lim
n\u2192\u221e
un = L. Assim,
dado \u3b5 > 0, existe K > 0 tal que para todo n > K é válida a desigualdade |un \u2212 L| < \u3b5.
Agora, se unk : N
\u2032 \u2192 R é uma subsequência de un, onde N \u2032 = {n1 < n2 < · · · < nk < · · · }
é um conjunto in\ufffdnito, temos que, para cada \u3b5 > 0, existe um k0 \u2208 N\u2217 tal que nk0 > K e
então, para k > k0 temos que nk > nk0 > K e assim |unk \u2212 L| < \u3b5, o que prova que unk
também converge para L, como queríamos demonstrar.
EXEMPLO 5.3.4 A sequência un = (\u22121)n é divergente, pois admite subsequências que con-
vergem para valores diferentes, contrariando o teorema anterior. De fato, a subsequência de
índices pares, dada por u2n = (\u22121)2n = 1 converge para L1 = 1, enquanto que sua subse-
quência de índices ímpares, dada por un = (\u22121)2n+1 = \u22121 converge para L2 = \u22121. Como os
limites das subsequências são diferentes, a sequência diverge.
5.4 Sequência Limitada
DEFINIÇÃO 5.4.1 Seja un : N\u2217 \u2192 R uma sequência em R. Dizemos que un é limitada se
o conjunto {u1, u2, u3, · · · , un · · · } for limitado, ou seja, se existirem k1 e k2 \u2208 R tais que
k1 \u2264 un \u2264 k2 para todo n \u2208 N\u2217.
TEOREMA 5.4.2 Seja un : N\u2217 \u2192 R uma sequência convergente em R, então un é limitada.
DEMONSTRAÇÃO: Suponhamos que un : N\u2217 \u2192 R é uma sequência convergente em R e
suponhamos que a é limite dessa sequência. Então, dado \u3b5 = 1, podemos encontrar K > 0,
tal que para todo n > K tenhamos |un \u2212 a| < 1. Assim, para todo n > K, temos un \u2208
B(a, 1). Como o conjunto {u1, u2, u3, · · · , uK} é \ufffdnito, logo admite um valor máximo, seja
M = maxu1, u2, · · · , uK , segue que {u1, u2, u3, · · · , un\u22121, un, · · · } \u2282 B(a, 1)\u222aB(0,M). Logo,
un é limitada.
OBSERVAÇÃO 5.4.3 A recíproca desse teorema não é verdadeira. Por exemplo, un = (\u22121)n é
limitada, com \u22121 \u2264 un \u2264 1, mas un não é convergente.
174
5.5 Sequências Numéricas Monótonas
Neste parágrafo analisaremos algumas propriedades das sequências em R.
DEFINIÇÃO 5.5.1 Seja un uma sequência de valores reais. Dizemos que un é
\u2022 não-decrescente se un+1 \u2265 un para todo n \u2208 N\u2217;
\u2022 crescente se un+1 > un para todo n \u2208 N\u2217;
\u2022 não-crescente se un \u2265 un+1 para todo n \u2208 N\u2217;
\u2022 decrescente se un > un+1 para todo n \u2208 N\u2217.
DEFINIÇÃO 5.5.2 Seja un uma sequência de valores reais. Então un é denominada monó-
tona se pertencer a um dos tipos descritos na De\ufffdnição 5.5.1.
EXEMPLO 5.5.3 Mostre que a sequência un =
n+1
n2+2
é monótona.
Solução: Devemos mostrar que un pertence a um dos tipos descritos na De\ufffdnição 5.5.1.
Temos que un =
n+1
n2+2
e un+1 =
(n+1)+1
(n+1)2+2
= n+2
n2+2n+3
. Veri\ufffdcaremos se un+1 \u2264 un
n+ 2
n2 + 2n+ 3
\u2264 n+ 1
n2 + 2
\u21d4 (n2 + 2)(n+ 2) \u2264 (n+ 1)(n2 + 2n+ 3)
\u21d4 n3 + 2n2 + 2n+ 4 \u2264 n3 + 3n2 + 5n+ 3
\u21d4 1 \u2264 n2 + 3n.
A última desigualdade é verdadeira para todo n. Logo, un =
n+1
n2+2
é decrescente e, assim,
monótona.
DEFINIÇÃO 5.5.4 Sejam un uma sequência numérica, C e K dois números reais. Dizemos
que C é limitante inferior de un se C \u2264 un para todo n e que K é limitante superior de un
se K \u2265 un para todo n.
EXEMPLO 5.5.5 Consideremos a sequência monótona decrescente un =
n+1
n2+2
cujos termos são
2
3
, 3
6
, 4
11
, 5
18
, · · · e cujo limite é L = 0. Então, todo número real C \u2264 0 é limitante inferior de
un e todo K \u2265 23 é limitante superior de un, pois un < u1 = 23 .
DEFINIÇÃO 5.5.6 Seja un uma sequência numérica que possui limitantes inferiores e supe-
riores, então un é dita sequência limitada.
OBSERVAÇÃO 5.5.7 Note que uma sequência, para ser limitada, não precisa ter limite. Por
exemplo, un = (\u22121)n não tem limite, mas é limitada.
TEOREMA 5.5.8 Toda sequência monótona limitada em R é convergente.
TEOREMA 5.5.9 Sejam un e yn sequências numéricas em R tais que lim
n\u2192\u221e
un = a e
lim
n\u2192\u221e
yn = b. Então são válidas as a\ufffdrmações:
(i) lim
n\u2192\u221e
c = c;
175
(ii) lim
n\u2192\u221e
cun = ca;
(iii) lim
n\u2192\u221e
(un ± yn) = a± b;
(iv) lim
n\u2192\u221e
unyn = ab;
(v) Se b 6= 0 e yn 6= 0 então lim
n\u2192\u221e
un
yn
= a
b
;
(vi) lim
n\u2192\u221e
c
nk
= 0, se k é uma constante positiva.
5.6 Séries Numéricas
DEFINIÇÃO 5.6.1 Seja un : N\u2217 \u2192 R uma sequência numérica. Denominamos série in\ufffdnita
à soma de todos os in\ufffdnitos termos dessa sequência, ou seja, uma série é uma expressão da
forma
\u221e\u2211
n=1
un = u1 + u2 + u3 + · · ·+ uk + · · · .
A sequência un, cujos in\ufffdnitos termos são somados, é chamada de termo geral ou n\u2212ésimo
termo da série.
Questões pertinentes no estudo de séries são: Como se determina o resultado de uma
soma in\ufffdnita? Toda série possui uma soma \ufffdnita?
Passaremos a responder tais questões no desenvolvimento do restante deste capítulo. No
entanto, estaremos muito mais preocupados com o fato de determinar se uma série in\ufffdnita
possui ou não uma soma \ufffdnita do que propriamente encontrar o valor desta soma.
Começaremos com o conceito de somas parciais de uma série.
DEFINIÇÃO 5.6.2 Seja
\u221e\u2211
n=1
un uma série. A soma dos primeiros k termos desta série, dada
por
Sk =
k\u2211
n=1
un = u1 + u2 + u3 + · · ·+ uk
é denominada soma parcial da série dada.
Note que as somas
S1 = u1
S2 = u1 + u2 = S1 + u2
S3 = u1 + u2 + u3 = S2 + u3
· · ·
Sk = Sk\u22121 + uk
formam uma sequência, chamada de sequência de somas parciais. Se esta sequência
convergir, ou seja, se existir S tal que lim
k\u2192\u221e
Sk = S, dizemos que a série dada converge para
S e denotaremos
\u221e\u2211
n=1
un = S.
Se não existir tal S, diremos que a série diverge, signi\ufffdcando que não podemos obter
um valor \ufffdnito para a soma das in\ufffdnitas parcelas da série.
Para melhor entendimento, vamos considerar e analisar um exemplo.
176
EXEMPLO 5.6.3 Durante o tempo que permanecer na universidade, um estudante da Udesc
deverá receber uma mesada de seu pai, em unidades monetárias, que obdedece à sequência
un =
20000
n(n+ 1)
, onde n corresponde ao número da parcela a ser recebida. Pergunta-se
(i) Qual o montante que o estudante deverá receber até o \ufffdnal da faculdade, supondo que ele
conclua o curso em 60 meses?
(ii) No caso do estudante permanecer na universidade inde\ufffdnidamente, como \ufffdcará o mon-
tante recebido?
Solução: As parcelas mensais recebidas pelo estudante são dadas pela sequência que des-
creve o valor da mesada, que são
10000,
10000
3
,
5000
3
, 1000,
2000
3
,
10000
21
,
2500
7
, · · ·
Para responder a primeira pergunta, vamos escrever o problema no formato de uma série
in\ufffdnita, isto é,
\u221e\u2211
n=1
20000
n(n+ 1)
= 10000 +
10000
3
+
5000
3
+ 1000 +
2000
3
+
10000
21
+
2500
7
+ · · ·
Os primeiros termos das somas parciais desta série são dadas por
S1 = u1 = 10000,
S2 = S1 + u2 =
40000
3
,
S3 = S2 + u3 = 15000,
S4 = S3 + u4 = 16000