APOSTILA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
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APOSTILA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II


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Agora, precisamos determinar uma expressão para o termo geral desta soma. Para isso,
reescrevemos o termo geral da série usando decomposição em frações parciais, tomando
20000
n(n+ 1)
=
A
n
+
B
n+ 1
=
A (n+ 1) +Bn
n(n+ 1)
=
A+ (A+B)n
n(n+ 1)
e obtendo que {
A = 20000
A+B = 0
\u21d2 A = 20000 e B = \u221220000.
Desse modo a série dada pode ser reescrita como
\u221e\u2211
n=1
20000
n(n+ 1)
=
\u221e\u2211
n=1
(
20000
n
\u2212 20000
n+ 1
)
e a soma dos seus k\u2212primeiros termos é dada por
Sk =
(
20000\u2212 20000
2
)
+
(
20000
2
\u2212 20000
3
)
+ · · ·+
(
20000
k
\u2212 20000
k + 1
)
e como podemos simpli\ufffdcar alguns termos intermediários, obtemos que
Sk = 20000\u2212 20000
k + 1
,
177
ou seja,
Sk =
20000k
k + 1
.
O leitor poderá veri\ufffdcar que as somas parciais determinadas anteriormente correspondem
às fornecidas por esta expressão.
Como a solução para a questão (i) do exemplo corresponde à sexagésima soma, temos
que
S60 =
20000 · 60
61
= 19672.
Desse modo, após 60 meses, o estudante terá recebido um montante de 19672 unidades
monetárias.
Passaremos agora a responder a segunda questão. Na Figura 5.3 podemos ver o compor-
tamento para o crescimento da soma da série.
S
k
k
Figura 5.3: Estimativa para o crescimento da série
Portanto, se o estudante \ufffdcar inde\ufffdnidamente na universidade, observando o grá\ufffdco,
podemos a\ufffdrmar que não receberia mais do que 20000 unidades monetárias. Isso signi\ufffdca
que a soma da série tem limite 20000 quando a quantidade de parcelas tende para in\ufffdnito,
ou seja,
lim
k\u2192\u221e
Sk = lim
k\u2192\u221e
20000k
k + 1
= 20000.
Em outras palavras, a série converge para 20000 e podemos escrever
\u221e\u2211
n=1
20000
n(n+ 1)
= 20000.
Como vimos acima, a soma de uma série in\ufffdnita é obtida pelo limite da sua sequência de
somas parciais. Assim, de\ufffdnimos o limite de uma série do mesmo modo com que foi de\ufffdnido
o limite de uma sequência.
5.6.4 Soma de uma Série
DEFINIÇÃO 5.6.5 Seja
\u221e\u2211
n=1
un uma série cuja sequência de somas parciais é Sk. Dizemos
que o número S é a soma da série, denotando S =
\u221e\u2211
n=1
un, se S for o limite de Sk quando k
tender para o in\ufffdnito, ou seja, se dado \u3b5 > 0 pudermos encontrar N0 > 0 tal que, para todo
k > N0 vale a desigualdade |Sk \u2212 S| < \u3b5.
178
EXEMPLO 5.6.6 Considere a série obtida no Exemplo 5.6.3, dada por
\u221e\u2211
n=1
20000
n(n+ 1)
. Mostre
que
\u221e\u2211
n=1
20000
n(n+ 1)
= 20000.
Solução: Como vimos acima, a sequência de somas parciais da série dada é Sk =
20000k
k+1
.
Devemos então mostrar que lim
k\u2192\u221e
20000k
k+1
= 20000, ou seja, que dado \u3b5 > 0 podemos encontrar
N0 > 0 tal que para, se k > N0 então |Sk \u2212 20000| < \u3b5. Como
|Sk \u2212 20000| =
\u2223\u2223\u2223\u222320000kk + 1 \u2212 20000
\u2223\u2223\u2223\u2223 = \u2223\u2223\u2223\u222320000k \u2212 20000k \u2212 20000k + 1
\u2223\u2223\u2223\u2223 = \u2223\u2223\u2223\u2223\u221220000k + 1
\u2223\u2223\u2223\u2223
temos que a desigualdade desejada será válida se
20000
k + 1
< \u3b5 \u21d2 20000 < k\u3b5+ \u3b5 \u21d2 20000\u2212 \u3b5
\u3b5
< k.
Consequentemente, podemos tomar N0 =
20000\u2212 \u3b5
\u3b5
e a De\ufffdnição 5.6.1 estará satisfeita.
Suponhamos que se deseja saber a partir de qual parcela a diferença entre o montante
e o total a receber será menor do que 300 u.m.. Para obter a resposta tomamos \u3b5 = 300 e
obteremos N0 =
20000\u2212 300
300
= 65, 667. Isso signi\ufffdca que em todas as parcelas, a partir da
sexagésima sexta, a diferença entre o montante e o limite é menor do que 300 u.m..
Suponhamos que se deseja saber a partir de qual parcela a diferença entre o montante
e o limite é menor do que 200 u.m.. Para obter a resposta tomamos \u3b5 = 200 e obteremos
N0 =
20000\u2212 200
200
= 99. Isso signi\ufffdca que em todas as parcelas, a partir da parcela de
número 99, a diferença entre o montante e o limite é menor do que 100 u.m..
5.6.7 Séries Convergentes
DEFINIÇÃO 5.6.8 Seja
\u221e\u2211
n=1
un uma série e seja Sk a soma parcial dos termos dessa série.
Dizemos que
\u221e\u2211
n=1
un é convergente se lim
k\u2192\u221e
Sk existe. Caso contrário, dizemos que a série é
divergente.
EXEMPLO 5.6.9 A série
\u221e\u2211
n=1
20000
n(n+1)
do Exemplo 5.6.3 é convergente pois
lim
k\u2192\u221e
Sk = lim
n\u2192\u221e
20000k
k + 1
= 20000.
EXEMPLO 5.6.10 Determine se a série
\u221e\u2211
n=1
2n
5n\u22121
é convergente ou divergente.
Solução: Devemos veri\ufffdcar se a sequência de somas parciais desta série tem limite. Todas
as séries que apresentam esse modelo (séries geométricas) podem ser resolvidas conforme o
modelo que segue.
(i) Escrevemos a soma dos k primeiros termos:
Sk = 2 +
22
5
+
23
52
+
24
53
+ · · ·+ 2
k
5k\u22121
179
(ii) Multiplicamos Sk por
2
5
2
5
Sk =
22
5
+
23
52
+
24
53
+ · · ·+ 2
k
5k\u22121
+
2k+1
5k
(iii) Tomamos a diferença entre os resultados de (i) e (ii), obtendo
Sk \u2212 2
5
Sk =
(
2 +
22
5
+
23
52
+ · · ·+ 2
k
5k\u22121
)
\u2212
(
22
5
+
23
52
+ · · ·+ 2
k
5k\u22121
+
2k+1
5k
)
ou seja,
3
5
Sk = 2\u2212 2
k+1
5k
ou ainda,
Sk =
10
3
\u2212 5
3
2k+1
5k
=
10
3
\u2212 10
3
(
2
5
)k
e como
2
5
< 1, temos que a
S = lim
k\u2192\u221e
Sk = lim
k\u2192\u221e
10
3
\u2212 10
3
(
2
5
)k
=
10
3
.
Consequentemente, a série
\u221e\u2211
n=1
2n
5n\u22121
converge para
10
3
.
EXEMPLO 5.6.11 Encontre o termo geral da sequência de somas parciais da série
\u221e\u2211
n=1
\u22124
(2n+ 3)(2n\u2212 1) .
A seguir, determine se a série converge ou diverge, obtendo o valor de sua soma, se possível.
Solução: Note que
\u221e\u2211
n=1
\u22124
(2n+ 3)(2n\u2212 1) =
1
2n+ 3
\u2212 1
2n\u2212 1 , assim temos que
\u221e\u2211
n=1
\u22124
(2n+ 3)(2n\u2212 1) =
\u221e\u2211
n=1
(
1
2n+ 3
\u2212 1
2n\u2212 1
)
.
Logo, a sequência das somas parciais é:
Sk =
k\u2211
n=1
(
1
2n+ 3
\u2212 1
2n\u2212 1
)
=
(
1
5
\u2212 1
)
+
(
1
7
\u2212 1
3
)
+
(
1
9
\u2212 1
5
)
+
(
1
11
\u2212 1
7
)
+ · · ·+
+ · · ·+
(
1
2k \u2212 1 \u2212
1
2k \u2212 5
)
+
(
1
2k + 1
\u2212 1
2k \u2212 3
)
+
(
1
2k + 3
\u2212 1
2k \u2212 1
)
= \u22121\u2212 1
3
+
1
2k + 1
+
1
2k + 3
Portanto, o termo geral da sequência de somas parciais da série dada é Sk = \u22124
3
+
1
2k + 1
+
1
2k + 3
.
180
Por de\ufffdnição a série converge se lim
k\u2192\u221e
Sk existe e a soma da série é o valor do limite.
Como
lim
k\u2192\u221e
Sk = lim
k\u2192\u221e
(
\u22124
3
+
1
2k + 1
+
1
2k + 3
)
= \u22124
3
.
A série dada converge e sua soma é S = \u22124
3
.
Observações:
1. Uma das propriedades das séries in\ufffdnitas é que a convergência ou divergência não
é afetada se subtrairmos ou adicionarmos um número \ufffdnito de termos a elas. Por
exemplo, se no Exemplo 5.6.3 o estudante só começasse a receber a primeira parcela
após 5 meses, a série seria escrita com n = 6 no primeiro termo, ou seja,
\u221e\u2211
n=6
20000
n(n+ 1)
,
e a soma seria S = 20000\u2212 S5. Se por outro lado, o seu pai decidisse nos primeiros 10
meses dar uma mesada \ufffdxa de 2000u.m. por mês e iniciar o pagamento com n = 1 no
décimo primeiro mês, a soma seria S = 2000(10) + lim
k\u2192\u221e
20000k
k + 1
. Em ambos os casos a
série continuará convergente.
2. Se a série
\u221e\u2211
n=1
un é convergente e a série
\u221e\u2211
n=1
yn é divergente, então a série
\u221e\u2211
n=1
(un+ yn) é
divergente. No entanto, se as séries
\u221e\u2211
n=1
un e
\u221e\u2211
n=1
yn são divergentes, a série
\u221e\u2211
n=1
(un+ yn)
pode ser convergente ou divergente.
3. Se
\u221e\u2211
n=1
un é uma série convergente de termos positivos, seus termos podem ser reagru-
pados de qualquer modo e a série resultante também será convergente e terá a mesma
soma que a série dada.
TEOREMA 5.6.12 Seja
\u221e\u2211
n=1
un uma série e \u3b1 \u2208 N\u2217. Se a série
\u221e\u2211
n=\u3b1
un = u\u3b1 + u\u3b1+1 + u\u3b1+2 + · · ·
for convergente, então a série
\u221e\u2211
n=1
un = u1 + u2 + u3 + · · ·+ uk + · · ·
também será convergente.
DEMONSTRAÇÃO: Supondo que a