APOSTILA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
227 pág.

APOSTILA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II


DisciplinaCiências4.413 materiais270.169 seguidores
Pré-visualização47 páginas
podemos utilizá-lo para estudar a convergência da série
\u221e\u2211
n=1
ne\u2212n.
O teste da integral a\ufffdrma que a série
\u221e\u2211
n=1
ne\u2212n converge se, a integral I =
\u222b \u221e
1
xe\u2212xdx
converge e a série diverge se a integral divergir.
Assim,
I =
\u222b \u221e
1
xe\u2212xdx = lim
b\u2192+\u221e
\u222b b
1
xe\u2212xdx
= lim
b\u2192+\u221e
\uf8eb\uf8ed\u2212xe\u2212x\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223
b
1
+
\u222b b
1
e\u2212xdx
\uf8f6\uf8f8
= lim
b\u2192+\u221e
(\u2212be\u2212b + e\u22121 \u2212 e\u2212b + e\u22121) = 2
e
+ lim
b\u2192+\u221e
(
\u2212 b
eb
\u2212 1
eb
)
=
2
e
.
Como a integral imprópria converge, pelo teste da integral a série
\u221e\u2211
n=1
ne\u2212n também converge.
5.9.4 Série p ou Série Hiper-harmônica
DEFINIÇÃO 5.9.5 Denominamos série p todas as séries escritas na forma
\u221e\u2211
n=1
1
np
, onde p é
uma constante positiva.
185
Vamos utilizar o Teorema 5.9.2 para estudar a convergência da série p.
EXEMPLO 5.9.6 Estude a convergência da série
\u221e\u2211
n=1
1
np
= 1+
1
2p
+
1
3p
+
1
4p
+ · · ·+ 1
np
+ · · · .
Solução: Considerando f (x) =
1
xp
, temos que f é positiva, contínua e decrescente, satis-
fazendo todas as condições do Teorema 5.9.2, de modo que podemos tomar a integral\u222b \u221e
1
1
xp
dx = lim
n\u2192\u221e
\u222b n
1
1
xp
dx.
Temos três casos a considerar:
(i) Se p = 1 teremos que
\u222b \u221e
1
1
x
dx = lim
n\u2192\u221e
\u222b n
1
1
x
dx = lim
n\u2192\u221e
ln x
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223
n
1
= lim
n\u2192\u221e
(lnn\u2212 ln 1) =\u221e.
Consequentemente, quando p=1, a série
\u221e\u2211
n=1
1
np
=
\u221e\u2211
n=1
1
n
é divergente. Note que neste
caso, temos a série harmônica.
(ii) Se p < 1 teremos que 1\u2212 p > 0 e assim
\u222b \u221e
1
1
xp
dx = lim
n\u2192\u221e
\u222b n
1
1
xp
dx = lim
n\u2192\u221e
x1\u2212p
1\u2212 p
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223
n
1
= lim
n\u2192\u221e
(
n1\u2212p
1\u2212 p \u2212
1
1\u2212 p
)
=\u221e.
Consequentemente, se p<1, a série
\u221e\u2211
n=1
1
np
é divergente.
(iii) Se p > 1 teremos que 1\u2212 p < 0 e assim
\u222b \u221e
1
1
xp
dx = lim
n\u2192\u221e
\u222b n
1
1
xp
dx = lim
n\u2192\u221e
x1\u2212p
1\u2212 p
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223
n
1
= lim
n\u2192\u221e
(
n1\u2212p
1\u2212 p \u2212
1
1\u2212 p
)
=
\u22121
1\u2212 p.
Consequentemente, se p>1 a série
\u221e\u2211
n=1
1
np
é convergente.
EXEMPLO 5.9.7 As séries abaixo são exemplos de séries p.
(a)
\u221e\u2211
n=1
1
n9
convergente, pois é uma série-p com p = 9 > 1.
(b)
\u221e\u2211
n=1
1\u221a
n
divergente, pois é uma série-p com p = 1
2
< 1.
186
5.9.8 Critério da comparação
TEOREMA 5.9.9 Seja
\u221e\u2211
n=1
un uma série e seja
\u221e\u2211
n=1
yn uma série cuja convergência queremos
estudar, então:
(i) Se
\u221e\u2211
n=1
un for uma série convergente e 0 \u2264 yn \u2264 un para todo n, então a série
\u221e\u2211
n=1
yn é
convergente.
(ii) Se
\u221e\u2211
n=1
un for uma série divergente e yn \u2265 un \u2265 0 para todo n, então a série
\u221e\u2211
n=1
yn é
divergente.
DEMONSTRAÇÃO: (i) Sejam
\u221e\u2211
n=1
un uma série convergente e
\u221e\u2211
n=1
yn uma série tal que 0 \u2264 yn \u2264
un para todo n. Como
\u221e\u2211
n=1
un é uma série convergente, a sequência de suas somas parciais Sn
tem limite L, de modo que u1 + u2 + u3 + · · ·+ uk + · · · < L. Como 0 \u2264 yn \u2264 un para todo
n, segue que
0 \u2264 y1 + y2 + y3 + · · ·+ yk + · · · \u2264 u1 + u2 + u3 + · · ·+ uk + · · · < L.
Consequentemente, a sequência de somas parciais de
\u221e\u2211
n=1
yn é limitada e, além disso,
monótona. Logo, pelo Teorema 5.5.8 é convergente e, assim, a série
\u221e\u2211
n=1
yn é convergente.
(ii) Sejam
\u221e\u2211
n=1
un uma série divergente e yn \u2265 un \u2265 0 para todo n. Como
\u221e\u2211
n=1
un é uma
série divergente a sua sequência de somas parciais Sn não tem limite, de modo que dado um
número L > 0, existe K > 0 tal que u1 + u2 + u3 + · · · + uk + · · · > L para todo n > K.
Como yn \u2265 un para todo n, segue que
y1 + y2 + y3 + · · ·+ yk + · · · \u2265 u1 + u2 + u3 + · · ·+ uk + · · · > L.
Consequentemente, a sequência de somas parciais y1 + y2 + y3 + · · · + yk + · · · não é
limitada e, assim, a série
\u221e\u2211
n=1
yn é divergente.
EXEMPLO 5.9.10 Usando o Teorema 5.9.9 estude a convergência da série
\u221e\u2211
n=1
n
n3 + n2 + n+ 1
.
Solução: Conforme o Teorema 5.9.9, devemos encontrar uma série que sabemos ser conver-
gente ou divergente e fazer a comparação do termo geral dessa série com a série em estudo.
Um procedimento usado para encontrar um termo geral adequado é majorar o termo geral
da série proposta. Vamos descrever o processo.
(i) Temos duas formas de majorar um quociente: aumentando o denominador ou dimin-
uindo o denominador. No termo geral da série em estudo, vamos diminuir o denomi-
nador passo a passo
n
n3 + n2 + n+ 1
<
n
n3 + n2 + n
<
n
n3 + n2
=
1
n(n+ 1)
.
187
No Exemplo 5.6.3, vimos que a série
\u221e\u2211
n=1
20000
n(n+ 1)
é convergente. Como podemos escrever
\u221e\u2211
n=1
20000
n(n+ 1)
= 20000
\u221e\u2211
n=1
1
n(n+ 1)
, segue (pela propriedade i), que
\u221e\u2211
n=1
1
n(n+ 1)
também é
convergente.
(ii) Vamos veri\ufffdcar que, de fato,
n
n3 + n2 + n+ 1
\u2264 1
n(n+ 1)
para todo n \u2208 N\u2217.
n
n3 + n2 + n+ 1
\u2264 1
n(n+ 1)
\u21d4 n2(n+ 1) \u2264 n3 + n2 + n+ 1
\u21d4 n3 + n2 \u2264 n3 + n2 + n+ 1
\u21d4 0 \u2264 n+ 1
que é válido para todo n. Logo, pelo Teorema 5.9.9, a série
\u221e\u2211
n=1
n
n3 + n2 + n+ 1
é convergente.
5.9.11 Critério de D'Alambert ou Critério da Razão
TEOREMA 5.9.12 Seja
\u221e\u2211
n=1
un uma série tal que un > 0 para todo n e lim
n\u2192\u221e
un+1
un
= L.
Então
(i) A série
\u221e\u2211
n=1
un converge se L < 1;
(ii) A série
\u221e\u2211
n=1
un diverge se L > 1;
(iii) Nada podemos a\ufffdrmar se L = 1.
DEMONSTRAÇÃO: Seja
\u221e\u2211
n=1
un uma série tal que lim
n\u2192\u221e
un+1
un
= L. Então, dado \u3b5 > 0 podemos
encontrar K > 0 tal que, para todo n > K vale a desigualdade
\u2223\u2223\u2223\u2223un+1un \u2212 L
\u2223\u2223\u2223\u2223 < \u3b5.
Suponhamos que L < 1. Então existe q tal que L < q < 1 e isso implica que q \u2212 L < 1.
Tomando \u3b5 = q \u2212 L podemos escrever
\u2223\u2223\u2223\u2223un+1un \u2212 L
\u2223\u2223\u2223\u2223 < q \u2212 L donde vem
\u2212 (q \u2212 L) < un+1
un
\u2212 L < q \u2212 L ou \u2212 (q \u2212 L) + L < un+1
un
< q.
Da última relação concluímos que un+1 < unq. Dessa relação temos que
un+1 < unq
un+2 < un+1q < unqq < unq
2
un+3 < un+2q < unq
2q < unq
3
· · ·
un+k < un+(k\u22121)q < unqk\u22121q < unqk
e assim sucessivamente, de forma que
un+1 + un+2 + un+3 + · · · < unq + unq2 + unq3 + · · · .
188
Note que unq+ unq
2 + unq
3 + · · · é uma série geométrica, com razão |q| < 1 e, portanto,
convergente. Assim, pelo Teorema 5.9.9, a série
\u221e\u2211
n=1
un converge se L < 1.
Por outro lado, suponhamos que lim
n\u2192\u221e
un+1
un
= L > 1, então obteremos un+1 > un para todo
n e, desse modo, lim
n\u2192\u221e
un 6= 0. Consequentemente, a série não possui a condição necessária
para convergência. Logo, a série
\u221e\u2211
n=1
un diverge se L > 1.
A parte (iii) do Critério de D'Alambert diz que, se lim
n\u2192\u221e
un+1
un
= 1, então este critério
é inconclusivo. Observe isso considerando os exemplos:
\u221e\u2211
n=1
1
n2
e
\u221e\u2211
n=1
1
n
. Para ambas
lim
n\u2192\u221e
un+1
un
= 1, porém a primeira é uma série p, com p = 2, convergente e a segunda é
a série harmônica que sabemos ser divergente.
EXEMPLO 5.9.13 Usando o critério de D 'Alambert, estude a convergência da série
\u221e\u2211
n=1
2n
n
.
Solução: Temos que un =
2n
n
e un+1 =
2n+1
n+ 1
. Logo,
un+1
un
=
n2n+1
2n (n+ 1)
=
n2n2
2n (n+ 1)
=
2n
(n+ 1)
e assim, pelo critério de D'Alembert, temos que
L = lim
n\u2192\u221e
un+1
un
= lim
n\u2192\u221e
2n
(n+ 1)
= 2 > 1.
Consequentemente, a série
\u221e\u2211
n=1
2n
n
é divergente.
EXEMPLO 5.9.14 Estude a convergência da série
\u221e\u2211
n=1
1
n!
.
Solução: Temos que un =
1
n!
e un+1 =
1
(n+ 1)!
e então
L = lim
n\u2192\u221e
un+1
un
= lim
n\u2192\u221e
n!
(n+ 1)!
= lim
n\u2192\u221e
1
n+ 1
= 0 < 1,
portanto a série
\u221e\u2211
n=1
1
n!
converge, pela critério de D'Alembert.
5.9.15 Critério de Cauchy ou Critério da Raíz
TEOREMA 5.9.16 Seja
\u221e\u2211
n=1
un uma série tal que un > 0 para todo n e lim
n\u2192\u221e
n
\u221a