APOSTILA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
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APOSTILA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II


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un = L.
Então
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(i) A série
\u221e\u2211
n=1
un converge se L < 1;
(ii) A série
\u221e\u2211
n=1
un diverge se L > 1;
(iii) Nada podemos a\ufffdrmar se L = 1.
EXEMPLO 5.9.17 Usando o critério de Cauchy, estude a convergência da série
\u221e\u2211
n=1
(
n
2n+ 5
)n
.
Solução: Temos que
n
\u221a
un =
n
\u221a(
n
2n+5
)n
= n
2n+5
e aplicando o critério de Cauchy, obtemos
que
L = lim
n\u2192\u221e
n
\u221a
un = lim
n\u2192\u221e
n
2n+ 5
=
1
2
< 1,
e concluímos que a série
\u221e\u2211
n=1
(
n
2n+ 5
)n
é convergente.
EXEMPLO 5.9.18 Estude a convergência da série
\u221e\u2211
n=1
52n
23n+1
.
Solução: Temos que
n
\u221a
un =
n
\u221a
52n
23n+1
=
52
23+
1
n
=
25
8.2
1
n
.
Assim,
L = lim
n\u2192\u221e
n
\u221a
un = lim
n\u2192\u221e
25
8.2
1
n
=
25
8
> 1
e a série
\u221e\u2211
n=1
52n
23n+1
diverge, pelo critério de Cauchy.
5.10 Séries de Termos Positivos e Negativos
DEFINIÇÃO 5.10.1 Seja un > 0 para todo n \u2208 N\u2217. Denominamos série alternada à série
da forma
\u221e\u2211
n=1
(\u22121)n\u22121 un = u1 \u2212 u2 + u3 \u2212 u4 + · · ·+ (\u22121)n\u22121 un + · · ·
ou \u221e\u2211
n=1
(\u22121)n un = \u2212u1 + u2 \u2212 u3 + · · ·+ (\u22121)n un + · · ·
EXEMPLO 5.10.2 A série
\u221e\u2211
n=1
(\u22121)n\u22121 1
np
= 1\u2212 1
2p
+
1
3p
\u2212 1
4p
+ · · · + (\u22121)n\u22121 1
np
+ · · · é um
exemplo de série alternada.
190
5.10.3 Convergência de uma série alternada
Infelizmente todos os critérios de convegência vistos até o momento não são válidos para
séries alternadas, pois eles exigiam que os termos da série fossem todos positivos. A seguir,
passaremos a ver alguns resultados que são válidos para séries de termos positivos e negativos.
TEOREMA 5.10.4 (Teorema de Leibnitz) Considere uma série alternada
\u221e\u2211
n=1
(\u22121)n\u22121 un = u1 \u2212 u2 + u3 \u2212 u4 + · · ·+ (\u22121)n\u22121 un + · · ·
tal que
(i) u1 > u2 > u3 > u4 > · · · (ii) lim
n\u2192\u221e
un = 0.
Então são válidas as seguintes conclusões:
(a) A série alternada é convergente.
(b) A soma parcial Sn da série alternada é tal que 0 < Sn < u1.
DEMONSTRAÇÃO: (a) Consideremos a soma dos 2n primeiros termos da série alternada.
Suponhamos que os termos de ordem ímpar da série são positivos e os de ordem par são
negativos. Se, por acaso o primeiro termo for negativo, iniciaremos a contagem em u2, pois
a retirada de um número \ufffdnito de termos não afeta a convergência da série. Desse modo, o
termo u2n\u22121 é positivo e o termo u2n é negativo. Assim, pela condição (i) temos que
(u1 \u2212 u2) > 0, (u3 \u2212 u4) > 0, · · · (un \u2212 un+1) > 0, · · · (u2n\u22121 \u2212 u2n) > 0
de modo que
S2 = u1 \u2212 u2 > 0 S4 = S2 + (u3 \u2212 u4) > S2 S6 = S4 + (u5 \u2212 u6) > S4
e assim sucessivamente. Portanto, obtemos que
0 < S2 < S4 < .... < S2n.
Ainda, associando os termos de outra forma, obtemos que
S2n = (u1 \u2212 u2) + (u3 \u2212 u4) + ...+ (u2n\u22121 \u2212 u2n)
= u1 \u2212 (u2 \u2212 u3)\u2212 (u4 \u2212 u5)\u2212 ...\u2212 (u2n\u22122 \u2212 u2n\u22121)\u2212 u2n
e, pela condição (i), cada termo entre parênteses é positiva. Portanto, estamos subtraindo
uma quantidade positiva de u1, obtendo um resultado inferior a u1, de modo que 0 < S2n <
u1.
Com isso, segue que S2n é limitada e como 0 < S2 < S4 < · · · < S2n, também é monótona.
Assim, concluímos que a sequência de somas S2, S4, · · · , S2n converge, pelo Teorema 5.5.8.
Seja lim
n\u2192\u221e
S2n = S. Como S2n < u1, segue que S < u1. Sendo S2n+1 = S2n + u2n+1 e
aplicando a condição (ii), temos que
lim
n\u2192\u221e
S2n+1 = lim
n\u2192\u221e
S2n + lim
n\u2192\u221e
u2n+1 = S + 0 = S.
Consequentemente as somas de ordem ímpar tem a mesma soma dos termos de ordem
par. Finalmente, mostraremos que lim
n\u2192\u221e
Sn = S.
Como lim
n\u2192\u221e
S2n = S, dado \u3b5 > 0 podemos encontrar K1 > 0 tal que |S2n \u2212 S| < \u3b5 sempre
que 2n > K1.
191
Como lim
n\u2192\u221e
S2n+1 = S, dado \u3b5 > 0 podemos encontrar K2 > 0 tal que |S2n \u2212 S| < \u3b5
sempre que 2n+ 1 > K2.
Tomando K = max {K1, K2} , para todo n > K vale a desigualdade |Sn \u2212 S| < \u3b5. Logo,
lim
n\u2192\u221e
Sn = S e a série
\u221e\u2211
n=1
(\u22121)n\u22121 un é convergente.
EXEMPLO 5.10.5 Usando o teorema de Leibnitz, estude a convergência da série
\u221e\u2211
n=1
(\u22121)n\u22121 n+ 2
n (n+ 1)
.
Solução: Vamos veri\ufffdcar se un satisfaz todas condições do Teorema 5.10.4. O termo geral
da série é un =
n+ 2
n (n+ 1)
> 0 para todo n \u2208 N\u2217. Agora, vamos veri\ufffdcar se un > un+1 para
todo n natural. Temos que
n+ 2
n (n+ 1)
>
n+ 3
(n+ 1) (n+ 2)
\u21d4 (n+ 2) (n+ 1) (n+ 2) > n (n+ 1) (n+ 3)
\u21d4 n3 + 5n2 + 8n+ 4 > n3 + 4n2 + 3n
\u21d4 4n2 + 8n > \u22121,
que é verdadeiro para todo n natural. Assim, a primeira condição do Teorema 5.10.4 está
satisfeita. Ainda,
lim
n\u2192\u221e
un = lim
n\u2192\u221e
n+ 2
n (n+ 1)
= 0.
e então todas as exigências do Teorema 5.10.4 estão satisfeitas. Podemos concluir então que
a série \u221e\u2211
n=1
(\u22121)n\u22121 n+ 2
n (n+ 1)
é convergente.
5.11 Série de Termos de Sinais Quaisquer
DEFINIÇÃO 5.11.1 Denominamos série de termos de sinais quaisquer à toda série formada
por termos positivos e negativos.
As séries alternadas são casos particulares das séries de termos de sinais quaisquer.
EXEMPLO 5.11.2 A série
\u221e\u2211
n=1
sin(npi
6
) = 1
2
+
\u221a
3
2
+1+
\u221a
3
2
+ 1
2
+0\u2212 1
2
\u2212
\u221a
3
2
\u22121\u2212
\u221a
3
2
\u2212 1
2
+0+ · · ·
é um exemplo de série de termos de sinais quaisquer.
Veremos na sequência um teorema que permite veri\ufffdcar se uma série de termos de sinais
quaisquer é convergente.
TEOREMA 5.11.3 Seja
\u221e\u2211
n=1
un uma série de termos de sinais quaisquer. Se a série
\u221e\u2211
n=1
|un|
for uma série convergente então a série
\u221e\u2211
n=1
un também será convergente.
192
No entanto, se a série
\u221e\u2211
n=1
|un| for divergente, nada poderemos a\ufffdrmar sobre a convergência
da série de sinais quaisquer
\u221e\u2211
n=1
un.
EXEMPLO 5.11.4 Vimos no Exemplo 5.10.5 que a série
\u221e\u2211
n=1
(\u22121)n\u22121 n+ 2
n (n+ 1)
é convergente.
Porém, a série
\u221e\u2211
n=1
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223(\u22121)n\u22121 n+ 2n (n+ 1)
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223 = \u221e\u2211n=1 n+ 2n (n+ 1) não é convergente. O leitor pode veri\ufffdcar
essa a\ufffdrmação usando o critério da comparação.
EXEMPLO 5.11.5 Usando o Teorema 5.11.3, estude a convergência da série
\u221e\u2211
n=1
(\u22121)n\u22121
n3
.
Solução: Temos que
\u221e\u2211
n=1
\u2223\u2223\u2223 (\u22121)n\u22121n3 \u2223\u2223\u2223 = \u221e\u2211
n=1
1
n3
. Como podemos observar, esta é uma série p com
p = 3 > 1 e, portanto, convergente. Logo,
\u221e\u2211
n=1
(\u22121)n\u22121
n3
é convergente. A convergência desta
série também pode ser estudada pelo teorema de Leibnitz.
EXEMPLO 5.11.6 Usando o Teorema 5.11.3 estude a convergência da série
\u221e\u2211
n=1
sin(nx) + 3 cos2(n)
n2
.
Solução: Temos que
\u221e\u2211
n=1
\u2223\u2223\u2223\u2223sin(nx) + 3 cos2(n)n2
\u2223\u2223\u2223\u2223 = \u221e\u2211
n=1
|sin(nx) + 3 cos2(n)|
n2
e como |sin(nx)| \u2264 1 e |cos2(n)| \u2264 1, usando propriedades de módulo, segue que\u2223\u2223sin(nx) + 3 cos2(n)\u2223\u2223 \u2264 |sin(nx)|+ \u2223\u22233 cos2(n)\u2223\u2223 \u2264 1 + 3 \u2223\u2223cos2(n)\u2223\u2223 \u2264 1 + 3 = 4,
e então podemos concluir que
\u221e\u2211
n=1
|sin(nx) + 3 cos2(n)|
n2
\u2264
\u221e\u2211
n=1
4
n2
para todo n natural. Como
\u221e\u2211
n=1
4
n2
é uma série p convergente (p = 2 > 1), temos que a série
\u221e\u2211
n=1
\u2223\u2223\u2223\u2223sin(nx) + 3 cos2(n)n2
\u2223\u2223\u2223\u2223
converge, pelo critério da comparação.
Assim, a série
\u221e\u2211
n=1
sin(nx) + 3 cos2(n)
n2
também converge, pelo Teorema 5.11.3.
193
5.12 Séries absolutamente convergente e condicionalmente
convergentes
Antes de de\ufffdnir séries absolutamente convergente e condicionalmente convergentes vamos
considerar os exemplos abaixo.
EXEMPLO 5.12.1 Consideremos a série harmônica
\u221e\u2211
n=1
1
n
= 1 +
1
2
+
1
3
+
1
4
+ · · ·+ 1
n
+ · · ·
já mostramos que esta série é divergente. Porém, a série harmônica alternada, dada por
\u221e\u2211
n=1
(\u22121)n\u22121 1
n
= 1\u2212 1
2
+
1
3
\u2212 1
4
+ · · ·+ (\u22121)n\u22121 1
n
+ · · ·
é convergente, pelo teorema de Leibnitz. Vamos mostrar que a série
\u221e\u2211
n=1
(\u22121)n\u22121 1
n
converge
sob condições, isto é, podemos interferir na sua forma de convergir.
Solução: Para modi\ufffdcar o valor de convergência de
\u221e\u2211
n=1
(\u22121)n\u22121 1
n
basta reagrupar os termos
desta