APOSTILA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
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APOSTILA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II


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série, separando a soma dos termos de ordem ímpar da soma dos termos de ordem par,
conforme segue:
Sn =
(
1 +
1
3
+
1
5
+ · · ·+ 1
2n\u2212 1 + · · ·
)
\u2212
(
1
2
+
1
4
+
1
6
+ · · ·+ 1
2n
+ · · ·
)
.
Como o leitor pode observar, podemos escrever
Sn =
\u221e\u2211
n=1
1
2n\u2212 1 \u2212
\u221e\u2211
n=1
1
2n
e, cada uma destas sub-somas é divergente. Logo, temos que Sn =\u221e\u2212\u221e, isto é, a soma é
indeterminada, signi\ufffdcando que, se escrevermos
\u221e\u2211
n=1
(\u22121)n\u22121 1
n
na forma
\u221e\u2211
n=1
(\u22121)n\u22121 1
n
=
(
1 +
1
3
+
1
5
+ · · ·+ 1
2n\u2212 1 + · · ·
)
\u2212
(
1
2
+
1
4
+
1
6
+ · · ·+ 1
2n
+ · · ·
)
nada podemos a\ufffdrmar sobre a sua convergência. Isso ocorre porque a série
\u221e\u2211
n=1
\u2223\u2223\u2223\u2223(\u22121)n\u22121 1n
\u2223\u2223\u2223\u2223 = \u221e\u2211
n=1
1
n
não converge.
Com base no exemplo anterior, vamos de\ufffdnir séries absolutamente convergente e condi-
cionalmente convergente.
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DEFINIÇÃO 5.12.2 Seja
\u221e\u2211
n=1
un uma série de termos de sinais quaisquer, então:
(i) Se
\u221e\u2211
n=1
|un| converge, a série é denominada absolutamente convergente.
(ii) Se
\u221e\u2211
n=1
un converge e
\u221e\u2211
n=1
|un| diverge, então a série
\u221e\u2211
n=1
un é denominada condicional-
mente convergente.
EXEMPLO 5.12.3 A série
\u221e\u2211
n=1
(\u22121)n\u22121 1
n
, estudada no Exemplo 5.12.1, é condicionalmente
convergente enquanto que a série
\u221e\u2211
n=1
sin(nx) + 3 cos2(n)
n2
, estudada no Exemplo 5.11.6, é
absolutamente convergente.
EXEMPLO 5.12.4 Classi\ufffdque a série numérica
\u221e\u2211
n=1
(\u22121)n\u22121 n2
n3 + 4
como absolutamente conver-
gente, condicionalmente convergente ou divergente.
Solução: Temos que
\u221e\u2211
n=1
\u2223\u2223\u2223\u2223(\u22121)n\u22121 n2n3 + 4
\u2223\u2223\u2223\u2223 = \u221e\u2211
n=1
n2
n3 + 4
, e esta é uma série divergente, pois a
função f(x) =
x2
x3 + 4
é contínua para todo x 6= 3\u221a\u22124, em particular para todo x \u2265 1, é
positiva para todo x \u2265 3\u221a\u22122, em particular para x \u2265 1, e como f \u2032(x) = x(8\u2212 x
3)
(x3 + 4)2
> 0 para
todo x > 2, ou seja, logo a função f(x) é decrescente para todo x \u2265 2, e assim podemos
aplicar o critério da integral, e deste segue que\u222b +\u221e
2
x2
x3 + 4
dx = lim
b\u2192+\u221e
\u222b b
2
x2
x3 + 4
dx = lim
b\u2192+\u221e
1
3
ln(x3 + 4)
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223
b
2
= +\u221e,
ou seja, a integral imprópria, e consequentemente a série, diverge.
Porém,
\u221e\u2211
n=1
(\u22121)n\u22121 n2
n3 + 4
é uma série alternada convergente, pois satisfaz as condições do
teorema de Leibnitz, visto que
lim
n\u2192+\u221e
n2
n3 + 4
= 0 e un+1 =
(n+ 1)2
(n+ 1)3 + 4
\u2264 n
2
n3 + 4
= un, para todo n \u2265 2
pois acima veri\ufffdcamos que a função f(x) =
x2
x3 + 4
é decrescente para todo x \u2265 2.
Portanto a série dada é condicionalmente convergente.
EXEMPLO 5.12.5 Classi\ufffdque as séries numéricas abaixo como absolutamente convergente,
condicionalmente convergente ou divergente, justi\ufffdcando sua resposta.
(a)
\u221e\u2211
n=2
(\u22122)n
(lnn)n + 2
\u221a
n+ 1
(b)
\u221e\u2211
n=1
(\u22121)n2
4
\u221a
n3 + 2n
Solução: (a) Analisando a convergência absoluta temos\u2223\u2223\u2223\u2223 (\u22122)n(lnn)n + 2\u221an+ 1
\u2223\u2223\u2223\u2223 = 2n(lnn)n + 2\u221an+ 1 \u2264 2n(lnn)n
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Aplicando o teste da raiz, temos
L = lim
n\u2192\u221e
n
\u221a
2n
(lnn)n
= lim
n\u2192\u221e
2
lnn
= 0.
Como L < 1 a série
\u221e\u2211
n=2
2n
(lnn)n
converge. Logo, pelo teste da comparação, a série dada
converge absolutamente.
(b) Analisando a convergência absoluta temos\u2223\u2223\u2223\u2223 (\u22121)n24\u221an3 + 2n
\u2223\u2223\u2223\u2223 = 24\u221an3 + 2n \u2264 24\u221an3 ,
com isso nada podemos concluir, pois a série dada é menor que uma série p divergente.
Porém, observe que
2
4
\u221a
n3 + 2n
=
2
[n3(1 + 2
n2
)]
1
4
=
2
n
3
4 (1 + 2
n2
)
1
4
e 1 \u2264 (1 + 2
n2
)
1
4 \u2264 3 14 . Logo,
2
4
\u221a
n3 + 2n
\u2265 2
4
\u221a
3n
3
4
,
e, por comparação, a série dada não converge absolutamente.
Analisando a convergência condicional, usando o Teorema de Leibnitz, pois a série dada
é alternada, temos lim
n\u2192\u221e
2
4
\u221a
n3 + 2n
= 0 e an =
2
4
\u221a
n3 + 2n
é decrescente.
Portanto, a série dada é condicionalmente convergente.
5.13 Séries de Funções
Considerando as funções fi : R \u2192 R de\ufffdnidas por f0 (x) = 1, f1 (x) = x, f2 (x) = x2,
f3 (x) = x
3, f4 (x) = x
4, · · · , fn (x) = xn, · · · , podemos escrever a soma
S (x) = f0 (x) + f1 (x) + f2 (x) + f3 (x) + f4 (x) + · · ·+ fn (x) + · · ·
= 1 + x+ x2 + x3 + x4 + · · ·+ xn + · · ·
Essa soma in\ufffdnita é um exemplo de série de funções, pois o seu termo geral depende de
uma variável real x. Mais geralmente, de\ufffdnimos série de funções como segue.
DEFINIÇÃO 5.13.1 Denominamos série de funções a toda série na qual o termo geral é uma
função da variável real x e a denotaremos por
\u221e\u2211
n=0
un (x) = u0 (x) + u1 (x) + u2 (x) + · · ·+ un (x) + · · ·
5.13.2 Convergência de séries de funções
Como no estudo das séries numéricas, estamos interessados na convergência das séries de
funções. Uma série de funções, se for convergente, convergirá para uma função. A imagem
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de cada valor de x numa série de funções é uma série numérica que pode ser convergente ou
divergente. Por exemplo, para cada valor de x, a série
\u221e\u2211
n=0
xn = 1 + x+ x2 + x3 + x4 + · · ·+ xn + · · ·
é uma série geométrica e, portanto, converge se |x| < 1 e diverge caso contrário. Já sua soma
será a função S (x) =
1
1\u2212 x, se |x| < 1. Isso signi\ufffdca que uma série de funções convergente,
converge para um determinado conjunto de valores de x, denominado domínio ou intervalo
de convergência.
DEFINIÇÃO 5.13.3 Seja
\u221e\u2211
n=0
un (x) uma série de funções. Denominamos domínio ou inter-
valo de convergência da série ao conjunto de todos os valores de x para os quais a série é
convergente e denominamos raio de convergência à distância entre o centro e as extremidades
do intervalo convergência.
EXEMPLO 5.13.4 O raio de convergência da série
\u221e\u2211
n=0
xn é R = 1 e o seu intervalo de con-
vergência é I = (\u22121, 1) . Para todo x \u2208 (\u22121, 1) tem-se que
\u221e\u2211
n=0
xn =
1
1\u2212 x.
EXEMPLO 5.13.5 Determine o intervalo e o raio de convergência da série
\u221e\u2211
n=1
cos(x) + sin(x)
n4 + n
.
Solução: Analisando a convergência absoluta da série, temos que\u2223\u2223\u2223\u2223cos(x) + sin(x)n4 + n
\u2223\u2223\u2223\u2223 = |cos(x) + sin(x)|n4 + n \u2264 |cos(x)|+ |sin(x)|n4 + n \u2264 2n4 + n \u2264 2n4
e como
\u221e\u2211
n=1
2
n4
é uma p-série convergente, concluímos, por comparação, que a série dada é
absolutamente convergente. Ou seja, a série
\u221e\u2211
n=1
cos(x) + sin(x)
n4 + n
converge para todo valor
real de x. Assim, o intervalo de convergência desta série é R e seu raio de convergência é
in\ufffdnito.
5.14 Séries de Potências
As séries de potências são as séries de funções que aparecem com mais frequência nos
problemas de matemática e engenharia, pois são úteis na integração de funções que não
possuem antiderivadas elementares, na resolução de equações diferenciais e também para
aproximar funções por polinômios (cientistas fazem isso para simpli\ufffdcar expresões complexas,
programadores fazem isso para representar funções em calculadoras e computadores). Em
vista disso, vamos dar atenção especial ao estudo das Séries de Potências.
DEFINIÇÃO 5.14.1 Uma série de potências é uma série cujos termos envolvem apenas
potências de x multiplicadas por coe\ufffdcientes constantes cn, ou seja, uma série de potências
é escrita na forma
\u221e\u2211
n=0
cnx
n = c0 + c1x+ c2x
2 + c3x
3 + · · ·+ cnxn + · · · .
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EXEMPLO 5.14.2 A série
\u221e\u2211
n=0
xn do Exemplo 5.13.4 é uma série de potências onde todos os
coe\ufffdcientes cn são iguais a 1. Já a série
\u221e\u2211
n=1
cos(x) + sin(x)
n4 + n
do Exemplo 5.13.5 não é uma
série de potências, pois seus termos não envolvem apenas potências de x.
OBSERVAÇÃO 5.14.3 Para que os resultados anteriores possam ser usados sem mudanças nas
notações, vamos admitir que un(x) = cnx
n
para o caso das séries de potências.
5.14.4 Processo para determinar o intervalo e o raio de convergên-
cia de