APOSTILA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
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APOSTILA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II


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uma série de potências
Utilizam-se os critérios de D 'Alambert ou de Cauchy para a convergência absoluta,
tomando lim
n\u2192\u221e
\u2223\u2223\u2223\u2223un+1un
\u2223\u2223\u2223\u2223 ou limn\u2192\u221e( n\u221a|un|) onde un = cnxn. Caso o limite exista vale a
condição dos critério usado. Em qualquer caso teremos que
lim
n\u2192\u221e
\u2223\u2223\u2223\u2223un+1un
\u2223\u2223\u2223\u2223 = limn\u2192\u221e
\u2223\u2223\u2223\u2223cn+1xn+1cnxn
\u2223\u2223\u2223\u2223 = |x|L
onde
L = lim
n\u2192\u221e
\u2223\u2223\u2223\u2223cn+1cn
\u2223\u2223\u2223\u2223 .
Desse modo, o raio e o intervalo de convergência serão obtidos resolvendo a inequação
|x|L < 1, que nos dá |x| < 1
L
, ou seja, o raio de convergência é
R =
1
L
.
OBSERVAÇÃO 5.14.5 Como o critério de D 'Alambert é inconclusivo quando o limite da razão
é igual a 1, nada podemos a\ufffdrmar se |x|L = 1. Assim, devemos veri\ufffdcar se a série con-
verge para x =
1
L
e x = \u2212 1
L
. Feita esta veri\ufffdcação, pode-se estabelecer o intervalo de
convergência.
EXEMPLO 5.14.6 Determine o intervalo e o raio de convergência da série
\u221e\u2211
n=0
3nxn
5n (1 + n2)
.
Solução: Aplicando o critério de D'Alambert para a convergência absoluta, temos que
lim
n\u2192\u221e
\u2223\u2223\u2223\u2223un+1un
\u2223\u2223\u2223\u2223 = limn\u2192\u221e
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223
3n+1xn+1
5n+1
(
1 + (n+ 1)2
)
3nxn
5n (1 + n2)
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223 = limn\u2192\u221e
\u2223\u2223\u2223\u2223 5n3n3xnx (1 + n2)5n5 (n2 + 2n+ 2) 3xn
\u2223\u2223\u2223\u2223
= lim
n\u2192\u221e
\u2223\u2223\u2223\u2223 3x (1 + n2)5 (n2 + 2n+ 2)
\u2223\u2223\u2223\u2223 = |x| limn\u2192\u221e
\u2223\u2223\u2223\u2223 3 (1 + n2)5 (n2 + 2n+ 2)
\u2223\u2223\u2223\u2223 = 35 |x|
Assim, a série convergirá se
3
5
|x| < 1, ou seja, se |x| < 5
3
. Portanto, o raio de convergência
é R = 5
3
.
Na sequência devemos veri\ufffdcar se a série converge para x = \u22125
3
e x =
5
3
.
198
\u2022 Se x = \u22125
3
, temos a série
\u221e\u2211
n=0
3n
(\u22125
3
)n
5n (1 + n2)
=
\u221e\u2211
n=0
(\u22121)n 3
n5n
5n (1 + n2) 3n
=
\u221e\u2211
n=0
(\u22121)n 1
(1 + n2)
.
que converge, pelo critério de Leibnitz.
\u2022 Se x = 5
3
temos a série
\u221e\u2211
n=0
3n
(
5
3
)n
5n (1 + n2)
=
\u221e\u2211
n=0
3n5n
5n (1 + n2) 3n
=
\u221e\u2211
n=0
1
(1 + n2)
.
que converge por comparação, pois
\u221e\u2211
n=0
1
(1 + n2)
\u2264 1 +
\u221e\u2211
n=1
1
n2
.
Conclusão: O raio de convergência da série
\u221e\u2211
n=0
3nxn
5n (1 + n2)
é R =
5
3
e o seu intervalo
de convergência é \u22125
3
\u2264 x \u2264 5
3
.
EXEMPLO 5.14.7 Determinar o intervalo e o raio de convergência da série
\u221e\u2211
n=0
n!xn.
Solução: Aplicando novamente o critério de D 'Alambert, temos que
lim
n\u2192\u221e
\u2223\u2223\u2223\u2223un+1un
\u2223\u2223\u2223\u2223 = limn\u2192\u221e
\u2223\u2223\u2223\u2223(n+ 1)!xn+1n!xn
\u2223\u2223\u2223\u2223 = limn\u2192\u221e(n+ 1) |x| =
{
0, se x = 0
\u221e, se x 6= 0 .
Assim, a série dada converge apenas quando x = 0. Portanto, o seu intervalo de con-
vergência é I = {0} e R = 0 é o seu raio de convergência.
5.14.8 Série de potências centrada em x = a
DEFINIÇÃO 5.14.9 Denominamos série de potências centrada em x = a à toda série da
forma
\u221e\u2211
n=0
cn (x\u2212 a)n .
Para obter o raio e o intervalo de convergência das séries em (x\u2212 a) , basta fazer z =
(x\u2212 a) e encontrar o intervalo de convergência para a série
\u221e\u2211
n=0
cnz
n. Após esta etapa,
substitui-se z por (x\u2212 a) na inequação \u2212R < z < R.
EXEMPLO 5.14.10 Determinar o raio e o intervalo de convergência da série
\u221e\u2211
n=0
2 (x\u2212 5)
n2 + 3
n
.
Solução: Seja z = (x\u2212 5). Então podemos escrever
\u221e\u2211
n=0
2 (x\u2212 5)
n2 + 3
n
=
\u221e\u2211
n=0
2zn
n2 + 3
.
Usando o teorema de D'Alambert temos que
199
lim
n\u2192\u221e
\u2223\u2223\u2223\u2223un+1un
\u2223\u2223\u2223\u2223 = limn\u2192\u221e
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223
2zn+1
(n+ 1)2 + 3
2zn
n2 + 3
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223 = limn\u2192\u221e
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223 (n2 + 3) 2zn+1((n+ 1)2 + 3) 2zn
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223
= lim
n\u2192\u221e
(n2 + 3) |z|
(n2 + 2n+ 4)
= |z| lim
n\u2192\u221e
n2 + 3
n2 + 2n+ 4
= |z|
e assim a série converge se |z| < 1. Portanto, o seu raio de convergência é R = 1. Na
sequência, devemos veri\ufffdcar se a série converge para z = \u22121 e z = 1.
\u2022 Se z = \u22121 temos a série
\u221e\u2211
n=0
2zn
n2 + 3
=
\u221e\u2211
n=0
2 (\u22121)n
n2 + 3
=
\u221e\u2211
n=0
(\u22121)n 2
(n2 + 3)
que converge, pelo teorema de Leibnitz.
\u2022 Se z = 1 temos a série
\u221e\u2211
n=0
2zn
n2 + 3
=
\u221e\u2211
n=0
2(1)n
n2 + 3
=
\u221e\u2211
n=0
2
(n2 + 3)
.
que converge por comparação com uma p\u2212série, pois
\u221e\u2211
n=0
2
(n2 + 3)
\u2264 2
3
+
\u221e\u2211
n=1
2
n2
.
Conclusão: O raio de convergência da série
\u221e\u2211
n=0
2zn
n2 + 3
é R = 1 e o seu intervalo de
convergência é \u22121 \u2264 z \u2264 1. Substituindo z por x\u2212 5, obtemos
4 \u2264 x \u2264 6,
que é o intervalo de convergência da série
\u221e\u2211
n=0
2 (x\u2212 5)
n2 + 3
n
.
5.14.11 Continuidade da soma de uma Série de Funções.
Sabemos do Cálculo 1 que a soma de um número \ufffdnito de funções contínuas é contínua.
Porém, se a soma envolver in\ufffdnitos termos, seu resultado pode não ser contínuo. Vejamos
um exemplo onde isso ocorre.
EXEMPLO 5.14.12 Mostre que a série
\u221e\u2211
n=1
(
x
1
2n+1 \u2212 x
1
2n\u22121
)
converge para uma função des-
contínua.
Solução: Escrevendo a soma dos n\u2212primeiros termos desta série
Sn (x) =
(
x
1
3 \u2212 x
)
+
(
x
1
5 \u2212 x 13
)
+
(
x
1
7 \u2212 x 15
)
+ · · ·+
(
x
1
2n+1 \u2212 x
1
2n\u22121
)
e eliminando os parênteses, obtemos que Sn (x) = \u2212x+ x 12n+1 . Assim,
200
S(x) = lim
n\u2192\u221e
Sn (x) = lim
n\u2192\u221e
(
\u2212x+ x
1
2n+1
)
=
{
1\u2212 x, se x 6= 0
0, se x = 0.
Portanto, lim
n\u2192\u221e
Sn (x) existe para todo x \u2208 R e a série de funções dada é convergente.
Note que a soma desta série é uma função descontínua em x = 0, enquanto que cada um
de seus termos era contínuo. Observe ainda que a série em questão não é uma série de
potências.
5.14.13 Derivação de uma série de funções contínuas
No Cálculo 1, vimos que a derivada de uma soma \ufffdnita de funções é igual à soma das
derivadas. No entanto, se tivermos uma quantidade in\ufffdnita de funções, essa propriedade
pode deixar de ser válida. Da mesma forma, a derivada de uma série de funções convergente
pode ser divergente. Vejamos um exemplo:
EXEMPLO 5.14.14 Considere a série
\u221e\u2211
n=1
sin(n4x)
n2
. Mostre que esta é uma série convergente e
que a série de suas derivadas é divergente.
Solução: Como |sin(n4x)| \u2264 1 para todo n natural e todo x real, segue que\u2223\u2223\u2223\u2223sin(n4x)n2
\u2223\u2223\u2223\u2223 = |sin(n4x)|n2 \u2264 1n2
e por comparação com uma p-série convergente (p = 2), podemos concluir que a série dada é
absolutamente convergente. Ainda, esta série converge para todo valor real de x. Seja S(x)
a soma desta série, ou seja,
S(x) =
\u221e\u2211
n=1
sin(n4x)
n2
=
sinx
12
+
sin(24x)
22
+
sin(34x)
32
+
sin(44x)
42
+ · · ·+ sin(n
4x)
n2
+ · · ·
derivando termo a termo esta soma, temos que
S \u2032 (x) =
cosx
12
+
24 cos(24x)
22
+
34 cos(34x)
32
+
44 cos(44x)
42
+ · · ·+ n
4 cos(n4x)
n2
+ · · ·
= cos x+ 22 cos(24x) + 32 cos(34x) + 42 cos(44x) + · · ·+ n2 cos(n4x) + · · ·
e aplicando em x = 0, obtemos
S \u2032 (0) = cos 0 + 22 cos 0 + 32 cos 0 + 42 cos 0 + · · ·+ n2 cos 0 + · · ·
= 12 + 22 + 32 + 42 + · · ·+ n2 + · · ·
que é uma sequência de somas divergente. Assim, a série de funções converge para x = 0,
enquanto que a derivada desta série diverge em x = 0. Observe que a série em questão não
é uma série de potências.
Da mesma forma que na derivada, a integração de uma série de funções também exige
cuidados. Enquanto que a integral de uma soma \ufffdnita de funções é igual a soma das integrais,
o mesmo pode não ser válido para uma quantidade in\ufffdnita de funções.
No entanto isto não ocorrerá quando se tratar de séries de potências, ou seja, quando
uma série de potências for convergente pode-se efetuar a derivação e a integração termo a
termo que as novas séries obtidas por estes processos também serão convergentes, com o
mesmo raio de convegência, conforme veremos a seguir.
201
5.15 Diferenciação e Integração de Séries de Potências
A soma de uma série de potências é uma função f(x) =
\u221e\u2211
n=0
cn (x\u2212 a)n , cujo domínio é
o intervalo de convergência da série. Dentro deste intervalo, a derivação e a integração de f
ocorre termo a termo, ou seja, pode-se derivar e integrar