APOSTILA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
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APOSTILA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II


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= (1 + x)\u22121 .
Portanto, basta substituir n = \u22121 na fórmula da série binomial. Assim,
1
1 + x
= 1 + (\u22121)x+ \u22121 (\u22121\u2212 1)
2!
x2 +
\u22121 (\u22121\u2212 1) (\u22121\u2212 2)
3!
x3 + · · ·
+
\u22121 (\u22121\u2212 1) (\u22121\u2212 2) · · · (\u22121\u2212 k + 1)
k!
xk + · · ·
= 1\u2212 x+ 2
2!
x2 +
\u22126
3!
x3 + · · ·+ \u22121 (\u22121\u2212 1) (\u22121\u2212 2) · · · (\u22121\u2212 k + 1)
k!
xk + · · ·
1
1 + x
= 1\u2212 x+ x2 \u2212 x3 + x4 + · · ·+ (\u22121)kxk + · · · =
\u221e\u2211
k=0
(\u22121)k xk.
EXEMPLO 5.18.2 Expresse como uma série de potências a função f(x) =
ln(x+ 1)
x
.
Solução: Vamos analisar inicialmente a função ln(x+ 1). A sua derivada é igual a
1
x+ 1
, e
no exemplo anterior mostramos que
1
x+ 1
= 1\u2212 x+ x2 \u2212 x3 + x4 + · · ·+ (\u22121)nxn + · · · =
\u221e\u2211
n=0
(\u22121)n xn,
portanto, devemos integrar ambos os membros da igualdade, obtendo
ln(x+ 1) =
\u222b
1
1 + x
dx =
\u221e\u2211
n=0
\u222b
(\u22121)n xndx =
\u221e\u2211
n=0
(\u22121)n x
n+1
n+ 1
.
Como queremos f(x) =
ln(x+ 1)
x
, devemos dividir todos os membros por x, donde,
ln(x+ 1)
x
=
\u221e\u2211
n=0
(\u22121)n x
n
n+ 1
.
EXEMPLO 5.18.3 Desenvolver em série de funções a função f (x) =
1\u221a
1 + x
.
Solução: Temos que
210
f (x) =
1\u221a
1 + x
= (1 + x)\u2212
1
2 .
Portanto, basta substituir n = \u22121
2
na fórmula da série binomial. Assim,
1\u221a
1 + x
= 1 +
(
\u22121
2
)
x+
\u22121
2
(\u22121
2
\u2212 1)
2!
x2 +
\u22121
2
(\u22121
2
\u2212 1) (\u22121
2
\u2212 2)
3!
x3 + · · ·
+
\u22121
2
(\u22121
2
\u2212 1) (\u22121
2
\u2212 2) · · · (\u22121
2
\u2212 k + 1)
k!
xk + · · ·
= 1\u2212 1
2
x+
\u22121
2
(
\u22123
2
)
2!
x2 +
\u22121
2
(
\u22123
2
)(
\u22125
2
)
3!
x3 + · · ·
+
\u22121
2
(
\u22123
2
)(
\u22125
2
)
· · · (1\u2212 2k
2
)
k!
xk + · · ·
1\u221a
1 + x
= 1\u2212 1
2
x+
1 · 3
222!
x2 \u2212 1 · 3 · 5
233!
x3 + · · ·+ (\u22121)k 1 · 3 · 5 · ... · (2k \u2212 1)
2kk!
xk + · · ·
EXEMPLO 5.18.4 Desenvolver em série de funções a função f (x) =
1\u221a
1\u2212 x2 .
Solução: Podemos aproveitar o resultado do Exemplo 5.18.3 substituindo x por (\u2212x2) .
Teremos então
1\u221a
1 + (\u2212x2) = 1\u2212
1
2
(\u2212x2)+ 1 · 3
222!
(\u2212x2)2 \u2212 1 · 3 · 5
233!
(\u2212x2)3 + · · ·
+(\u22121)n 1 · 3 · 5 · · · (2n\u2212 1)
2nn!
(\u2212x2)n + · · ·
1\u221a
1\u2212 x2 = 1 +
1
2
x2 +
1 · 3
222!
x4 +
1 · 3 · 5
233!
x6 + · · ·+ 1 · 3 · 5 · ... · (2n\u2212 1)
2nn!
x2n + · · ·
EXEMPLO 5.18.5 Desenvolver em séries de funções a função f (x) = arcsinx.
Solução: Como a derivada da função f (x) = arcsinx é f \u2032 (x) =
1\u221a
1\u2212 x2 podemos
aproveitar o resultado do Exemplo 5.18.4 e integrá-lo termo a termo, obtendo\u222b
dx\u221a
1\u2212 x2 =
\u222b
dx+
1
2
\u222b
x2dx+
1 · 3
222!
\u222b
x4dx+
1 · 3 · 5
233!
\u222b
x6dx+ · · ·
+
1 · 3 · 5 · ... · (2n\u2212 1)
2nn!
\u222b
x2ndx+ · · ·
que resulta em
arcsinx = x+
1
2 · 3x
3 +
1 · 3
222!5
x5 +
1 · 3 · 5
233!7
x7 + · · ·+ 1 · 3 · 5 · ... · (2n\u2212 1)
2nn! (2n+ 1)
x2n+1 + · · ·+ C
ou seja
arcsinx = x+
\u221e\u2211
n=1
1 · 3 · 5 · ... · (2n\u2212 1)
2nn! (2n+ 1)
x2n+1 +
pi
2
.
OBSERVAÇÃO 5.18.6 Vale ressaltar que o desenvolvimento obtido em todos os exemplos ante-
riores é válido apenas para |x| < 1.
211
5.19 Exercícios Gerais
1. Determine os quatro primeiros termos de cada uma das sequências dadas abaixo. Cal-
cule também lim
n\u2192\u221e
un, caso exista.
(a) un =
n
4n+2
(b) un =
(\u22121)n
5\u2212n (c) un =
(\u22121)n\u221an
n+1
(d) un =
100n
n
3
2+4
(e) un =
n+1\u221a
n
(f) un =
lnn
n
(g) un = ln
(
1
n
)
(h) un =
n2
5n+3
(i) un = cos
npi
2
(j) un = arctann (k) un =
(
1\u2212 2
n
)n
(l) un =
n2
2n
(m) un =
3n
e2n
(n) un = 1 + (\u22121)n (o) un = n
\u221a
n (p) un = 7
\u2212n3n\u22121
2. Dados os termos abaixo, determine uma expressão para as sequências.
(a)
{
1
3
, 2
9
, 4
27
, 8
81
, · · ·} (b) {1
3
, \u22122
9
, 4
27
, \u22128
81
, · · ·} (c) {1
2
, 3
4
, 5
6
, 7
8
, · · ·} (d) {0, 1
4
, 2
9
, 3
16
, · · ·}
3. Classi\ufffdque, se possível, as sequências abaixo quanto à sua monotonicidade.
(a) un =
n
2n\u22121 (b) un = n\u2212 2n (c) un = ne\u2212n (d) un = 5
n
2n2
(e) un =
10n
(2n)!
(f) un =
nn
n!
(g) un =
1
n+lnn
(h) un =
n!
3n
4. Suponha que un seja uma sequência monótona tal que 1 \u2264 un \u2264 5. Esta sequência
deve convergir? O que mais pode ser dito sobre o seu limite?
5. Suponha que un seja uma sequência monótona tal que un \u2264 5. Esta sequência deve
convergir? O que mais pode ser dito sobre o seu limite?
6. Pode-se obter aproximações de
\u221a
k utilizando a sequência recursiva un+1 =
1
2
(
un +
k
un
)
,
onde u1 =
1
2
.
(a) Encontre as aproximações u2, u3, u4, u5, u6 para
\u221a
10.
(b) Mostre que, se L = lim
n\u2192\u221e
un, então L =
\u221a
k.
7. Uma das mais famosas sequências é a sequência de Fibonacci (1710-1250), de\ufffdnida
pela recorrência un+1 = un + un\u22121, onde u1 = u2 = 1.
(a) Determine os dez primeiros termos desta sequência.
(b) Os termos da nova sequência xn =
un+1
un
dão uma aproximação para o igualmente
famoso número de ouro (ou razão áurea), denotado por \u3c4. Determine uma aproximação
dos cinco primeiros termos dessa nova sequência.
(c) Supondo que \u3c4 = lim
n\u2192\u221e
xn, mostre que \u3c4 =
1
2
(1 +
\u221a
5).
8. Encontre o termo geral da sequência de somas parciais de cada uma das séries abaixo.
A seguir, determine se a série converge ou diverge, obtendo o valor de sua soma, se
possível.
212
(a)
\u221e\u2211
n=1
1
(2n\u2212 1) (2n+ 1) (b)
\u221e\u2211
n=1
8
(4n\u2212 3) (4n+ 1)
(c)
\u221e\u2211
n=1
2n+ 1
n2 (n+ 1)2
(d)
\u221e\u2211
n=1
ln
(
n
n+ 1
)
(e)
\u221e\u2211
n=1
2n\u22121
5n
(f)
\u221e\u2211
n=1
1\u221a
n (n+ 1)
(\u221a
n+ 1 +
\u221a
n
)
(g)
\u221e\u2211
n=1
1
1.2.3.4.5. · · · .n.(n+ 2) (h)
\u221e\u2211
n=1
3n+ 4
n3 + 3n2 + 2n
9. Analise se as a\ufffdrmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justi\ufffdque seus argumen-
tos, exibindo contra-exemplos para as a\ufffdrmações falsas ou provando as a\ufffdrmações
verdadeiras.
(a) Toda sequência limitada é convergente.
(b) Toda sequência limitada é monótona.
(c) Toda sequência convergente é necessariamente monótona.
(d) Toda sequência monótona decrescente converge para zero.
(e) Se un for decrescente e un > 0 para todo n \u2208 N, então un é convergente.
(f) Se \u22121 < q < 1, então lim
n\u2192+\u221e
qn = 0.
(g) Se a sequência un converge, então a série
\u221e\u2211
n=1
un também converge.
(h) Se
\u221e\u2211
n=1
un converge, então
\u221e\u2211
n=1
\u221a
un também converge.
(i) Toda série alternada convergente é condicionalmente convergente.
(j) A série
\u221e\u2211
n=1
(n3 + 1)2
(n4 + 5)(n2 + 1)
é uma série numérica convergente.
(k) Desenvolvendo a função g(x) =
\u222b x
0
t2e\u2212t
2
dt em série de potências obtém-se g(x) =
\u221e\u2211
n=0
(\u22121)nx2n+3
n!(2n+ 3)
.
(l) A série de potências
\u221e\u2211
n=1
(\u22121)3nxn é convergente no intervalo (\u22121
3
, 1
3
) e sua soma é
igual a S =
\u22123x
1 + 3x
.
(m) Se a sequência un converge então a série
\u221e\u2211
n=1
(un+1 \u2212 un) também converge.
(n) O raio de convergência da série da série
\u221e\u2211
n=0
(\u22121)n(3x\u2212 5)2n
22n(n!)2
é in\ufffdnito.
(o) A série
\u221e\u2211
n=1
22n91\u2212n é convergente e sua soma é igual a
36
5
.
(p) O critério da integral garante que
\u221e\u2211
n=3
1
n lnn ln(lnn)
converge.
213
10. Encontre o termo geral da soma da série
\u221e\u2211
n=1
4
4n2 \u2212 1 e veri\ufffdque se ela é convergente.
11. Encontre a soma das séries abaixo, se possível.
(a)
\u221e\u2211
n=1
(
1
5
)n
(b)
\u221e\u2211
n=1
5
(5n+ 2)(5n+ 7)
(c)
\u221e\u2211
n=1
1
n2 + 6n+ 8
(d)
\u221e\u2211
n=1
\u22121\u221a
n+ 1 +
\u221a
n
12. Usando o teste de comparação veri\ufffdque se as séries abaixo são convergentes ou diver-
gentes.
(a)
\u221e\u2211
n=1
1
n3n
(b)
\u221e\u2211
n=1
\u221a
n
n2 + 1
(c)
\u221e\u2211
n=1
1
nn
(d)
\u221e\u2211
n=1
n2
4n3 + 1
(e)
\u221e\u2211
n=1
1\u221a
n2 + 4n
(f)
\u221e\u2211
n=1
|sen(n)|
2n
(g)
\u221e\u2211
n=1
n!
(2 + n)!
(h)
\u221e\u2211
n=1
1\u221a
n3 + 5
(i)
\u221e\u2211
n=1
1
n
\u221a
n2 + 5
(j)
\u221e\u2211
n=1
1
n+
\u221a
n+ 5
(k)
\u221e\u2211