APOSTILA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
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APOSTILA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II


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será convergente, com limite L \u2264 5. Porém, se
a sequência for monótona decrescente nada podemos a\ufffdrmar.
6. Dica para o item (b): Note que se L = lim
n\u2192+\u221e
un então lim
n\u2192+\u221e
un+1 = L. Com isso,
aplica-se limites em ambos lados da relação de recorrência dada e obtém-se que L =
1
2
(
L+ k
L
)
. Agora basta isolar L.
7. Dica para o item (c): Note que se \u3c4 = lim
n\u2192+\u221e
xn = lim
n\u2192+\u221e
un+1
un
então lim
n\u2192+\u221e
un\u22121
un
=
1
\u3c4
.
Com isso, aplica-se limites em ambos lados da relação de recorrência dada e obtém-se
que \u3c4 = 1 +
1
\u3c4
. Agora basta isolar \u3c4.
8. .
(a) Sk =
k
2k + 1
. Converge para
1
2
(b) Sk =
8k
4k + 1
. Converge para 2
(c) Sk =
k (k + 2)
(k + 1)2
. Converge para 1 (d) Sk = \u2212 ln(k + 1). Diverge
(e) Sk =
1
3
\u2212 2
k
3.5k
. Converge para
1
3
(f) Sk = 1\u2212 1\u221a
k + 1
.Converge para 1
(g) Sk =
1
2
\u2212 1
(k + 2)!
. Converge para
1
2
(h) Sk =
5
2
\u2212 2
k + 1
\u2212 1
k + 2
. Converge para
5
2
9. .
(a) F (b) F (c) F (d) F (e) V (f) V (g) F (h) F
(i) F (j) F (k) V (l) V (m) V (n) V (o) V (p) F
10. Sk = 2\u2212 2
2k + 1
. A série converge para 2.
11. (a) S =
1
4
(b) S =
1
7
(c) S =
7
24
(d) A série diverge
12. Legenda: C (convergente), D (divergente), I (inconclusivo):
(a) C (b) C (c) C (d) D (e) D (f) C (g) C (h) C (i) C
(j) D (k) C (l) C (m) D (n) D (o) C (p) D (q) C (r) C
218
13. Legenda: C (convergente), D (divergente), I (inconclusivo):
(a) C (b) D (c) C (d) I (e) D (f) C (g) I (h) C (i) I (j) C (k) D (l) D (m) C
14. Legenda: C (convergente), D (divergente), I (inconclusivo):
(a) C (b) C (c) C (d) C
15. Legenda: C (convergente), D (divergente), I (inconclusivo):
(a) C (b) D (c) D (d) D (e) C (f) C (g) C (h) C (i) D (j) C (k) C
16. .
(a) absolutamente (b) absolutamente (c) absolutamente
(d) absolutamente (e) divergente (f) absolutamente
(g) absolutamente (h) condicionalmente (i) divergente
(j) condicionalmente (k) divergente (l) absolutamente
(m) condicionalmente (n) absolutamente (o) condicionalmente
17. .
(a) absolutamente (b) condicionalmente (c) condicionalmente
(d) absolutamente (e) absolutamente (f) absolutamente
(g) divergente (h) absolutamente (i) divergente
18. I é o intervalo de convergência e R é o raio de convergência
(a) R = 1, I = [\u22121, 1) (b) R = 1, I = [\u22121, 1] (c) R =\u221e, I = (\u2212\u221e,\u221e)
(d) R = 1
4
, I = (\u22121
4
, 1
4
) (e) R = 1
2
, I = (\u22121
2
, 1
2
] (f) R = 4, I = (\u22124, 4]
(g) R = 3, I = (\u22125, 1) (h) R = 1, I = (3, 5) (i) R = 2, I = (\u22124, 0]
(j) R = 0, I = {1
2
} (k) R = 3, I = [\u22123, 3] (l) R = 1
4
, I = [1, 3
2
]
(m) I = [4, 6), R = 1 (n) I = (\u22124, 0), R = 2 (o) I = (1\u2212 e, 1 + e), R = e
(p) I = [\u22123
2
,\u22121
2
], R = 1
2
(q) I = [0, 2], R = 1 (r) I = (\u22123
2
, 3
2
), R = 3
2
19. [\u22121, 1], [\u22121, 1] e (\u22121, 1), respectivamente.
20. .
(a)
1
(1\u2212 x)2 (b)
x
(1\u2212 x)2 (c) 2 (d)
2x2
(1\u2212 x)3
(e) 4 (f) 6 (g) \u2212 ln(1 + x) (h) 2 ln 3
2
21. .
(a) f(x) =
\u221e\u2211
n=0
(\u22121)nx3n (b) f(x) =
\u221e\u2211
n=0
(\u22121)nx3n
4n+1
(c)f(x) =
\u221e\u2211
n=0
(\u22121)n4nx2n+1
9n+1
(d) f(x) =
\u221e\u2211
n=1
2n\u22121nxn+1
(e) f(x) =
\u221e\u2211
n=1
nxn+2
2n+1
(f) f(x) = \u2212
\u221e\u2211
n=0
xn+1
(n+ 1)5n+1
(g) f(x) =
\u221e\u2211
n=0
(\u22121)nx2n+3
n+ 1
22. .
(a)
\u221e\u2211
n=0
x8n+2
8n+ 2
+K (b) \u2212
\u221e\u2211
n=1
x2n\u22121
n(2n\u2212 1) +K (c)
\u221e\u2211
n=1
(\u22121)n+1x2n\u22121
4n2 \u2212 1 +K
(d)
\u221e\u2211
n=0
(\u22121)nx4n+3
(4n+ 3)(2n+ 1)
+K
219
23. Dica: Mostre que arctanx =
\u221e\u2211
n=0
(\u22121)nx2n+1
2n+ 1
e depois faça x =
\u221a
3
3
.
24. Dica: derive termo a termo, desloque o índice do somatório e substitua na equação
dada.
25. Dica: derive termo a termo, desloque o índice do somatório e substitua na equação
dada.
26. (a)
\u221a
2
2
(b)
\u221a
3
2
(c) e3 \u2212 1 (d) e 35
27. Intervalo de convergência:
\u22121
2
\u2264 x \u2264 9
2
e raio de convergência R =
5
2
.
28. Intervalo de convergência:
\u22122
3
\u2264 x < 4.
29. Dica: Note que a série dada é geométrica!
30.
\u221e\u2211
n=0
(\u22121)n(4n+ 4)(x\u2212 1)n, intervalo de convergência: 0 < x < 2.
31. cosh(x3) =
\u221e\u2211
n=0
x6n
(2n)!
, que converge para todo x \u2208 R
32. Desenvolvimento em séries de MacLaurin : f(x) =
\u221e\u2211
n=1
x2n\u22121
n!
que converge para todo
x \u2208 R, ou seja, o raio de convergência é in\ufffdnito.
33. Basta integrar termo a termo.
34. f(x) =
\u221e\u2211
n=0
(\u22121)n4n+1x2n+5
(n+ 1)(2n+ 5)
converge para
\u22121
2
\u2264 x \u2264 1
2
.
35. Desenvolvimento em séries de Maclaurin
(a)
\u221e\u2211
n=0
(\u22121)n22n+1x2n+2
(2n+ 2)!
(b)
\u221e\u2211
n=0
(\u22121)n22n+1x2n+3
(2n+ 1)!
(c)
\u221e\u2211
n=0
3nxn
n!
(d)
\u221e\u2211
n=0
(\u22121)nx2n
n!
(e)
\u221e\u2211
n=0
(\u22121)n22nx2n
(2n)!
(f)
\u221e\u2211
n=0
(\u22121)nx10n+2
(2n+ 1)!
(g)
\u221e\u2211
n=1
(\u22121)nx2n\u22122
(2n)!
(h)
\u221e\u2211
n=0
x2n+3
n!
36. (a)
2
3
(b) \u2212 2
3
(c) 2 (d) \u2212 5 (e) \u2212 1 (f) 2 (g) \u2212 3 (h) \u2212 7
2
37. (a) k = ln
8
9
(b) k = \u22121
2
220
38. Desenvolvimento em Séries de MacLaurin
(a)
\u221e\u2211
n=0
xn (b) 1 +
\u221e\u2211
n=1
(\u22121)n1.3.5. · · · .(2n\u2212 1)xn
2nn!
(c)
\u221e\u2211
n=0
(\u22121)nx2n (d) 1 +
\u221e\u2211
n=1
1.3.5. · · · .(2n\u2212 1)x2n
2nn!
(e)
\u221e\u2211
n=0
(\u22121)nx2n+1
(2n+ 1)!(2n+ 1)
+ C (f)
\u221e\u2211
n=0
(\u22121)nx2n+1
(2n+ 1)!
+ C
(g)
\u221e\u2211
n=0
(\u22121)nxn+1
(n+ 1)2
+ C (h)
\u221e\u2211
n=0
2x2n+1
2n+ 1
(i) x+
\u221e\u2211
n=1
1.3.5. · · · .(2n\u2212 1)x2n+1
(2n+ 1)2nn!
(j) \u2212 x\u2212
\u221e\u2211
n=1
1.3.5. · · · .(2n\u2212 1)x2n+1
(2n+ 1)2nn!
(k)
\u221e\u2211
n=0
(\u22121)nx2n+1
2n+ 1
(l) 1 +
1
3
x+
\u221e\u2211
n=2
(\u22121)n2.5.8. · · · .(3n\u2212 4)xn
3nn!
39.
\u222b t
0
1
3
\u221a
1 + x4
dx = t+
\u221e\u2211
n=1
(\u22121)n1.4.7.10. · · · .(3n\u2212 2)t4n+1
(4n+ 1).3nn!
221